1、高等数学（一）期末复习题一、选择题1、极限 的结果是 （ ）2lim()xx（A） （B） （C） （D）不存在0122、方程 在区间 内 （ ）31(0,)（A）无实根 （B）有唯一实根 （C）有两个实根 （D）有三个实根3、 是连续函数, 则 是 的 （ ）)(xfdxf)()(f（A）一个原函数； (B) 一个导函数； (C) 全体原函数； (D) 全体导函数；4、由曲线 和直线 所围的面积是 （ ）)0(siny0y（A） (B) (C) (D) 2/125、微分方程 满足初始条件 的特解是 ( )x|0x（A） （ B） （C） （D）333231x6、下列变量中，是无穷小量的为（
2、）(A) (B) (C) (D) )1(lnx)0(1lnxcos(0)2(42x7、极限 的结果是（ ）0imsi)x（A） （B） （C） （D）不存在18、函数 在区间 上 （ ）arctnxye,（A）单调增加 （B）单调减小 （C）无最大值 （D）无最小值9、不定积分 = （ ）dx12(A) (B) (C) (D) arctn2l(1)arctn2xC21ln()xC10、由曲线 和直线 所围的面积是 （ ）)0(xey0y（A） (B) (C) (D) 1e11、微分方程 的通解为 （ ）dyx（A） （B） （C） （D）2Ce21xeCxye2xye12、下列函数中哪一个是微
3、分方程 的解( )03y（A） （B） （C） （D）2xy3xy2xy3xy13、 函数 是 （ ）1cosin(A) 奇函数； (B) 偶函数； (C)非奇非偶函数； (D)既是奇函数又是偶函数.14、当 时， 下列是无穷小量的是 （ ）0x（A） (B) (C) (D) 1e)1ln(x)1sin(x1x15、当 时，下列函数中有极限的是 （ ）（A） (B) (C) (D) 21xcosxearct16、方程 的实根个数是 （ ）30()p（A）零个 （B）一个 （C）二个 （D）三个17、 （ ）21()dx（A） （B） （C） （D） 21xarctnxarctnx18、定积分
4、是 （ ）()bafx（A）一个函数族 （B） 的的一个原函数 （C）一个常数 （D）一个非负常数()f19、 函数 是（ ）2ln1y（A）奇函数 （B）偶函数 （C） 非奇非偶函数 （D）既是奇函数又是偶函数20、设函数 fx在区间 0,上连续，在开区间 0,1内可导，且 0fx，则( ) (A) (B) 1f (C) f (D) 1f21、设曲线 则下列选项成立的是（ ）21xye令(A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线22、 ( )(cosin)xd（A） （B） sCsincosxC（C） （D） sincox23、数
5、列 的极限为（ ）)1(（A） (B) (C) (D) 不存在024、下列命题中正确的是（ ）（A）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量（C）两无穷大量的和仍为无穷大量 （D）两无穷大量的差为零25、若 ，则下列式子一定成立的有（ ）()fxg(A) (B) ()()dfxg(C) (D)()()dfxx 126、下列曲线有斜渐近线的是 ( )(A) (B) siny2sinyx(C) (D)1x 1二、填空题 1、 20coslimx2、 若 ，则 )(xef )0(f3、 13cos51d4、 dxet5、微分方程 满足初始条件 的特解为 0y 0|2
6、xy6、 24 lim3x7、 极限 4li2xx8、设 则 sin1,y()f9、 1(cod10、 23x11、微分方程 的通解为 yd12、 145x13、 sin2limx14、设 ，则 2coydy15、设 则 s3,x()f16、不定积分 xde17、微分方程 的通解为 2y222222110, 01xxxxxeedyedyCxeyey代 入 上 式 可 得 到所 求 的 特 解 为 或 者18、微分方程 的通解是 ln19、 xx3)21(lim20、 ,xy设 函 数 则21、 的值是 )2(li2nn22、 31)(limxx23、 ,xyd设 函 数 则24、 2031li
7、4x25、若 ，则 2()sin6xfe)0(f26、 51i)ad ().a为 任 意 实 数27、设 ，则微分 _. ln(xyey28、 . 322cos)d 1三、解答题1、 （本题满分 9分）求函数 的定义域。162yxx2、 （本题满分 10分）设 ，求 。()(014)f (0)f3、 （本题满分 10分）设曲线方程为 ,求曲线在点 处的切线方程。321,4、 （本题满分 10分）求由直线 及抛物线 所围成的平面区域的面积。xyxy5、 （本题满分 10分）讨论函数 在 处的连续性。2 1()3xfx6、 （本题满分 10分）求微分方程 的特解。1xyd|7、 （本题满分 9分）
8、求函数 的定义域。24cos5x8、 （本题满分 10分）设 ，求 。()()(2)f n (0)f9、 （本题满分 10分）设平面曲线方程为 ，求曲线在点（ 2，1）处的切线方程。322yx10、 （本题满分 10分）求由曲线 及直线 和 所围成的平面图形的面积（如下图） ye1x11、 （本题满分 10分）讨论函数 在 处的连续性。0()1xfex12、 （本题满分 10分）求方程 的通解。)122dyy13、 （本题满分 10分）证明方程 在区间 内至少有一个实根。475,(14、 （本题满分 10分）设 ，求 。()015)fxx (0)f15、 （本题满分 10分）求曲线 在点（0，
9、1）处的法线方程。ey16、 （本题满分 10分）求曲线 与直线 及 轴所围成平面图形的面积。cosx2,xy17、 （本题满分 10分）讨论函数 在 处的连续性。()10f18、 （本题满分 10分）求微分方程 的特解。|02xyxyd19、 （本题满分 20分）2(01)1AB(), ,A BABayxa AxVBy VV曲 线 将 边 长 为 的 正 方 形 分 成 、 两 部 分 如 图 所 示 ， 其 中 绕 轴旋 转 一 周 得 到 一 旋 转 体 记 其 体 积 为 ， 绕 轴 旋 转 一 周 得 到 另 一 旋 转 体 记 其 体 积 为问 当 取 何 值 时 的 值 最 小
10、Axo2xya11Ba20、 （本题满分 20分） 假定足球门的宽度为 4 米，在距离右门柱 6 米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，问：该球员应在离底线多少米处射门才能获得最大的射门张角 ？若球员以 5.2 米每秒的速度沿垂直于底线的方向向球门前进，求在距离底线 2 米处，射门张角的变化率。21、 （本题满分 10 分）设 ，求 .1ln()()(0)xtfdx 1()fx22、证明题（本题满分 10 分）设函数 在 上连续,在 内可导, ， 。试证()fx0303()1(2)3ff()1f必存在一点 ，使得 .f23、（本题满分20分）一火箭发射升空后沿竖直方向运动，在距离发射台4000
11、m处装有摄像机，摄像机对准火箭。用 表示高度，假h设在时刻 ，火箭高度 =3000m，运动速度等于300m/s,（1） 用 表示火箭与摄像机的距离，求在 时刻 的增加速度.0thL0tL（2） 用 表示摄像机跟踪火箭的仰角（弧度） ，求在 时刻 的增加速度. 0t高等数学（一）期末复习题答案一、选择题1、C 解答：第一步，先分子有理化；第二步，分子利用平方差公式，第三步，分子分母同时除以 x；第四步化简即可。222()()lim()lixxx22()limli()xx21lili()()xx2、B 解答：设 ， 则 ， 有零点定理得 在区间 内 存在实数根，又因3fx(0)1,ff()fx(0
12、,1)， 可知函数具有单调性，所以有唯一的实根。2()30fx3、C 本题考察不定积分的概念，不定积分是所有原函数的全体。4、C 解答：利用定积分的几何意义，所求面积为 0sin2xd5、D 解答：直接积分法 ， 代入已知点坐标可得31yxCC6、A 解答：因为 ， 所以此时是无穷小量。1limnl0x7、C 解答： 0(si)1xx8、A 解答：因为 ，所以单调增加。210xye9、D 解答： 2222 211()ln()ddxdxxC10、A 解答：利用定积分的几何意义，所求面积为10xee11、B 解答：先分离变量，两端再积分 2111lndyxdyxdyxyxC所求通解为21Ce12、
13、D 解答：直接积分法 ， 当 时有3yx0C3yx13、C 解答： 是奇函数加上偶函数 ，所以是非奇非偶函数。1cosin14、B 解答： ， 所以此时是无穷小量。0lm()lx15、A 解答：，其它三项极限都不存在。2 1lililim01()()xxx16、B 解答：设 ， 则 ， 有零点定理得 在区间 内存在实数根 ， 又因3)fp0,ffp()fx(1,0)， 可知函数具有单调性，所以有唯一的实根。 2()30fxp17、B 解答：求导与求积分是互逆的运算，先求导再求积分，是所有原函数所以选 B18、C 解答：考察定积分的概念，定积分计算完以后是一个确切的常数，可能是正数，也可能是 0
14、，还可能是负数。19、 A 解答：由函数的奇函数和偶函数的定义去判断即可，设，则2()ln1yfxx2222211()llnlnxxxf 221lnl()xfx20、B 解答：由于 0f所以 10f21、C 解答： 是水平渐近线；2lim1xxye=20lim01xxe=是铅直渐近线。22、D 考查定积分的性质与基本的积分表 (cosin)sicosdC23、A 解答：分子分母同时除以 n 可以得到(1)limnn24、B 解答：考查无穷小量的重要性质之一，有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量，其它选项都不一定正确。25、C 解答： ，其它选项都有反例可以排除。()fxg()dfxg()()df
15、xgx26、C 解答：有求解斜渐近线的方法可得，所1sin1sinlimlilim01xxxyyxk 11li()lim(sin)lisn0xxxbyk求斜渐近线为 。其它选项都没有。二、填空题 1、 解答：221cosx2201coslilixxx或者用罗比达法则也可以求解。2、 2 解答： ，则2)(xef 2()(0)2xfef3、 2 解答：应用奇函数在关于原点对称区间上的积分为 01 111(cos5)(05)=(+)=xdddx4、 分析：被积函数 相对于积分变量来说是常数，所以teCtetteC5、 解答： ，代入初始条件 得到 所求特解为2xyxyyC0|2xy02e2xye6
16、、0 解: 22240limlili35xxx7、 解:432222()1()13lililimli4xxxx8、 1 解: 则sin1sincosyy()sincosf 9、 2 解：应用性质，奇函数在对称区间上的积分为 0 1 1(cos)02xdx10、 解：由基本的积分公式3artnC23arctn1dxC11、 解：对方程 两端积分2yxydx2yyx12、 2 解：利用偶函数的积分性质1144501520dx13、1 解： sin21sin210limlilimxxx14、 解：由微分的定义 ，先求出导数，再求微分 2sddy222cosinsinsinyydyxd15、 解： 1
17、co3co()cosi1xyxf 16、 解：将 看成一个整体，利用凑微元法得Cx2ee 21exxC17、解：先分离变量，再积分得通解21xy222xxxdeeyed221xxyedye18、 解：先整理，再分离变量求通解xyClnxxxeydeyeC19、 解：利用重要极限进行恒等变形，再求解 6e()6322lim(1)li1xxx e20、 解：本题是幂指函数，利用对数求导法来求导数(ln1)xlln1lnyyxx (1ln)(l)xy21、 解：分母相同，分子先通分，分子分母最高次幂都是 2次幂，自变量趋于无穷大，极限等于最高次幂的系数之比22222(1)113.lim()limli
18、mnnn22、 解：分子分母最高次幂都是 3次幂，自变量趋于无穷大，极限等于最高次幂的系数之比 3(1)2limx23、 解：由微分的定义 ，先求出导数，再求微分，本题是幂指函数可以利用对数求导法来求导数(l1)xddyx1nllnlny (1ln)(l)xy()x24、 解： 142003limli44xx25、2 解：先求导数，再代入具体数值 2()xfe0()2fe26、 解：利用奇函数与偶函数的积分性质 251sin1aadx27、 解：由微分的定义 ，先求出导数，再求微分 1xeddyxln()11xx xeeyyd28、 2 解：利用奇函数与偶函数的积分性质. 322022(cos
19、)coscos1xdxdxd三、解答题1、 （本题满分 9分）解：由题意可得， 102x解得 所以函数的定义域为 1，2 2、 （本题满分 10分）解： )0(f0xf)(lim12014)x 2!3、 （本题满分 10分）解：方程两端对 x 求导，得 26yx将 代入上式，得 0(0,1)从而可得：切线方程为 即 )1yx4、 （本题满分 10分）解：作平面区域，如图示 11 y =x2y =x0yx解方程组 得交点坐标：（0，0） ， （1，1） 2xy所求阴影部分的面积为： = =dxS)(102103265、 （本题满分 10分）解： 11 lim()li3(1)xxff 在 处是连续
20、的。 ()f6、 （本题满分 10分）解：将原方程化为 dxdy)(32两边求不定积分，得 ，于是 23yxC将 代入上式，有 ，所以 ， 31xy| 1C1故原方程的特解为 。 32xy7、 （本题满分 9分）解：由题意可得， 405解得 x所以函数的定义域为 4，5 8、 （本题满分 10分）解： )0(f0xf)(lim12)x n !9、 （本题满分 10分）解：方程两端对 x 求导，得 06yxy)(将点（2，1）代入上式，得 12),(从而可得：切线方程为 即 310、 （本题满分 10分）解：所求阴影部分的面积为 10()xSed2e11、 （本题满分 10分）解： 00 lim
21、()li1(0)xxffx 在 处是连续的。 ()f12、 （本题满分 10分）解：由方程 ，得0)1(22dyy221xd两边积分： 221dy得 Carctnt所以原方程的通解为： 或 xta)tan(rcCxy13、 （本题满分 10分）解：令 ， 在 上连续 5()74Fx()F1,2， 102由零点定理可得，在区间 内至少有一个 ，使得函数 ， ),()F0475即方程 在区间 内至少有一个实根。 475x2,114、 （本题满分 10分）解： )0(f0fx)(lim0li()(2015)xx !15、 （本题满分 10分）解：方程两端对 求导，得 yey将点（0，1）代入上式，得
22、 1),0(从而可得： 法线方程为 xy16、 （本题满分 10分）解：作平面图形，如图示20(cos)Sxd(2sin)0x(in)0117、 （本题满分 10分）2x2y=2y=cosx0y=2解： 00 lim()licos1(0)xxff() 在 处是连续的。 ()f18、 （本题满分 10分）解：将原方程化为 或 )1(2yxdydx)1(2两边求不定积分，得 Carctn由 得到 1|0xy4C故原方程的特解为 或 421arctnxy ).421tan(xy19、 （本题满分 20分）解： 的 曲 边 梯 形 和为 底 、 高 为由 以 2a,0A.1为 高 的 矩 形 两 部
23、分 构 成为 底 、，以 a由切片法可得： )(202AdxyV14aa，54102yxB ，202y，令 BA)()(VF)1,0(a54:54a驻 点 为，由 令又根据问题的实际意义 的最小值存在, 驻 点 唯 一 ，)(a)(F.)(54的 最 小 值 点就 是 aF或者, 点 ，为 极 小 值 点 ， 亦 最 小 值又 .540,54aFa.BA达 到 最 小时 ，可 见 ： 当 V20、 （本题满分 20分）解：由题意可得张角 与球员距底线的距离 满足 x106arctnrtax222d1031xxx 2240(36)1)x令 ，得到驻点 (不合题意，舍去) 及 . 由实际意义可知
24、, 所求最值存在, 驻点只一个, 故所求结果就0d6Axyo2xya11Ba是最好的选择. 即该球员应在离底线 米处射门才能获得最大的射门张角。若球员以 5.2 米每秒的速度跑向球门，则 . 60 d52tx在距离球门两米处射门张角的变化率为：(弧度/ 秒)。222dd xxxtt416(5.2)0.8(3)021、 （本题满分 10 分）解法 1 设 ，则 11lnln()()()xttFfdd(1)F2lln(1)xx2211l()lnlxFd解法 2 1111l()l() ln()ln()tuxxxx uf ddut令=111ln()ln()l()xxxtttfxd221l()llxtt
25、22、证明题（本题满分 10 分）证明: 在 上连续，故在 上连续，且在 上有最大值 和最小值 ，故()fx03,02,02,Mm(1)(0),1(2)ffmffMmM由介值定理得，至少存在一点 ，使得 ,()13ff，且 在 上连续,在 内可导， ()3ff()fx3,由罗尔定理可知，必存在 ，使得 (0)0f23、（本题满分20分） 【解】 （1）设时刻 高度为 ，火箭与摄像机的距离为 ，则t()ht ()Lt22()40tht两边关于 求导得t2240dLdtt代入 =3000m， =300m/s，得 180 m/shdtdt（2）设时刻 摄像机跟踪火箭的仰角（弧度）为 ，则有 t ()ttan40h两边关于 求导得 t21sec40dhtt当 =3000m时， ， =300m/s，故 (或 )h5t0.48/dradst6/125radst
