1、 讲 义 内 容知识概括知识点一：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的解的情况等价于抛物线 y=ax2+bx+c(c0)与直线 y=0(即 x轴)的公共点的个数。抛物线 y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点） ，一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0) 一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实根 =b 2-4ac0。(2)抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点 一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个相等实根，(3)抛
2、物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴没有公共点 一元二次方程 ax2+bx+c=0 没有实数根 =b 2-4ac0.(4)事实上，抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=h 的公共点情况 方程 ax2+bx+c=h 的根的情况。抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=mx+n 的公共点情况 方程 ax2+bx+c=mx+n 的根的情况。方法总结： 求二次函数的图象与 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；x 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 中 ， ， 的符号，或由二次函数中 ， ，2yaxbcabcab的符号判断图象的位置
3、，要数形结合；c 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 .x 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 本身就是所含字母 的二次2(0)axbcx函数；下面以 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0a0抛物线与 轴有x两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与 轴只有一个交点二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与 轴无x交点二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.题型一 求字母系数的取值范围【例 1】若二次函数 的图象
4、与 x 轴有两个交点，求 k 的取值范围；)1(24)1(22kxky练习 1：已知：关于 x 的函数 的图象与 x 轴总有交点，求 的取值范围？72xky k练习 2：已知抛物线 2234yxk（ k 为常数，且 k0） 证明：此抛物线与 x 轴总有两个交点；练习 3：已知关于 x 的二次函数 y x2（2 m1） x m23 m4.探究 m 满足什么条件时，二次函数 y 的图象与 x 轴的交点的个数.题型二 一次函数图象和二次函数图象的交点问题【例 2】已知抛物线 C 经过（-5，0），（0， ），（1，6）三点,直线 的函数表达式为25l；32xy（1）求抛物线的表达式；（2）证明抛物线
5、 C 与直线 无交点；l（3）若与 平行的直线 与抛物线 C 只有一个公共点 P，求点 P 的坐标；l mxy2练习 1：已知二次函数 y=x 2+bx+c 的图象如图所示，它与 x 轴的一个交点坐标为（1，0） ，与y 轴的交点坐标为（0，3） （1）求出 b，c 的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值 y 为正数时，自变量 x 的取值范围题型三 关于二次函数图象交点的综合问题【例 3】已知抛物线 （ k 为常数，且 k0） 2234yx（1）证明：此抛物线与 x 轴总有两个交点； （2）设抛物线与 x 轴交于 M、 N 两点，若这两点到原点的距离分别为 OM、 ON，且
6、 ，123ONM求 k 的值练习 1：抛物线 2yxbc的部分图象如图所示，则方程 的两根为 .02cbx练习 2：下列命题：若 ，则 ；0abc240bac若 ，则一元二次方程 有两个不相等的实数根；bac2x若 ，则一元二次方程 有两个不相等的实数根；3c若 ，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3.240bac其中正确的是（ ） .只有只有只有只有【例 4】已知二次函数 y=x2+bxc 的图象与 x 轴两交点的坐标分别为（m，0） ， （3m，0）（m0） （1）证明 4c=3b2；（2）若该函数图象的对称轴为直线 x=1，试求二次函数的最小值练习：已知关于 x 的方程 mx2（3m1）x+2m2=0（1）求证：无论 m 取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于 x 的二次函数 y=mx2（3m1）x+2m2 的图象与 x 轴两交点间的距离为 2 时，求抛物线的解析式；（3）在直角坐标系 xoy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线 y=x+b 与（2）中的函数图象只有两个交点时，求 b 的取值范围
