1、一元二次方程与二次函数初高中衔接一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用本节将对一元二次方程根的判 别式、根与系数的关系进行阐述一）、一元二次方程的根的判断式一元二次方程 ，用配方法将其变形为：20 ()axbca224()bx(1) 当 时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实数根 ：0ac24bacx(2) 当 时，右端是零因此，方程有两个相等的实数根：240bac 1,2bxa(3) 当 时，右端是负数因此，方程没有实数根 由于可以用 的
2、取值情况来判定一元二次方程的根的情况因此，把2c叫做一元二次方程 的根的判别式，表示为：24bac20 ()axbca【例 1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1) (2) (3) 2310x2491y25(3)60x解：(1) ， 原方程有两个不相等的实数根()4(2) 原方程可化为： 20y， 原方程有两个相等的实数根2(1)9(3) 原方程可化为： 2561x， 原方程没有实数根2(6)440说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式【例 2】已知关于 的一元二次方程 ，根据下列条件，分别求出 的x23xkk范围：(1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程
3、有两个相等的实数根(3)方程有实数根； (4) 方程无实数根解： 2()4312k(1) ； (2) ；101403k(3) ； (4) 32k2k【例 3】已知实数 、 满足 ，试求 、 的值xy21xyxy解：可以把所给方程看作为关于 的方程，整理得： 22()10x由于 是实数，所以上述方程有实数根，因此：，22()4(1)30yyy代入原方程得： xx综上知： 1,0y二）、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程 的两个根为：2 ()axbca2244,cbacx所以： ，2212bax222212 244()4)cbacbacca 定理：如果一元二次方程 的两个根为 ，那么：20
4、()ax12,x1212,bcxa说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理” 【例 4】若 是方程 的两个根，试求下列各式的值：12,x207x(1) ； (2) ； (3) ； (4) 121212(5)x12|x分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算这里，可以利用韦达定理来解答解：由题意，根据根与系数的关系得： 1212,07xx(1) 221112()()()48xx(2) 212107(3) 212(5)5()075(2)1972xxx(4) 121 12|()4405说明：利用根与系数的关系求值，
5、要熟练掌握以下等式变形：， ，221112()xxx122x221112()()4xx， ，212112|()42121()x等等韦达定理体现了整体思想332()xx*【例 5】一元二次方程 0a有两个实根，一个比 3 大，一个比 3 小，求 a的取值范围。解一：由 )3(021x解得： 3a解二：设 )f4，则如图所示，只须 0)(f，解得 3a*【例 6】 已知一元二次方程 65)9(22axax一个根小于 0，另一根大于2，求 的取值范围。解：如图，设 )()(22f则只须 0)2(f，解之得 381a 38a【例 7】已知关于 的方程 ，根据下列条件，分别求出 的x22()104kxk
6、值(1) 方程两实根的积为 5； (2) 方程的两实根 满足 12,x12|xxyxy=2分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是 ，二是 ，120x12x所以要分类讨论解：(1) 方程两实根的积为 5 22121()4()03,42kkkx所以，当 时，方程两实根的积为 5k(2) 由 得知：12|当 时， ，所以方程有两相等实数根，故 ；0x12x 302k当 时， ，由于112011k，故 不合题意，舍去32k综上可得， 时，方程的两实根 满足 12,x12|x说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足 0【
7、例 8】已知 是一元二次方程 的两个实数根12,x240kx(1) 是否存在实数 ，使 成立？若存在，求出 的值；k12123()() k若不存在，请您说明理由(2) 求使 的值为整数的实数 的整数值12xk解：(1) 假设存在实数 ，使 成立k12123()()xx 一元二次方程 的两个实数根40k ，20()(1)6k k又 是一元二次方程 的两个实数根12,x240kx 124k 2 2121211211()()()5()9xxxxx，但 939425kk0不存在实数 ，使 成立12123()()xx(2) 121212441x k 要使其值是整数，只需 能被 4 整除，故 ，注意到 ，k,20k要使 的值为整数的实数 的整数值为 12x,35说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在(2) 本题综合性较强，要学会对 为整数的分析方法41k
