1、新定义型专题第一部分 讲解部分（一）专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力（二）解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移（三）考点精讲考点一：规律题型中的新定义例 1.定义：a 是不为 1 的有理数，我们把 称为 a 的差倒数如：2 的差倒数
2、是1，1 的差倒数是 已知 a1 ，a 2 是 a1 的差倒数，a 3 是 a22()3的差倒数，a 4 是 a3 的差倒数，依此类推，a 2009 【分析】：理解差倒数的概念，要根据定义去做通过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可【解】：解：根据差倒数定义可得： ，2134a32143a4311显然每三个循环一次，又 20093669 余 2，故 a2009 和 a2 的值相等【评注】：此类题型要严格根据定义做，这也是近几年出现的新类型题之一，同时注意分析循环的规律考点二：运算题型中的新定义例 2.对于两个不相等的实数 a、b，定义一种新的运算如下，如： ，*0ab（ ） 32*5那
3、么 6*（5*4）= 【分析】：本题需先根据已知条件求出 5*4 的值，再求出 6*（5*4）的值即可求出结果【解】： ，*0ab（ ）5*4= =3，546*（5*4）=6*3，= ，63=1故答案为：1【评注】：本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关键例 3.我们定义 ，例如 =2534=1012=2，若 x，y 均为整数，且满足 1abdc23453，则 x+y 的值是 14xy【分析】：先根据题意列出不等式，根据 x 的取值范围及 x 为整数求出 x 的值，再把 x 的值代入求出 y 的值即可【解】：由题意得，114 xy3，即 14xy3， ，3xyx
4、、y 均为整数， xy 为整数，xy=2，x=1 时，y=2；x=2 时， y=1；x+y=2+1=3 或 x+y=21=3【评注】：此题比较简单，解答此题的关键是根据题意列出不等式，根据 x，y 均为整数求出x、y 的值即可考点三：探索题型中的新定义例 4.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点如图 1，PH=PJ ，PI=PG，则点 P 就是四边形 ABCD 的准内点（1）如图 2，AFD 与DEC 的角平分线 FP，EP 相交于点 P求证：点 P 是四边形 ABCD的准内点（2）分别画出图 3 平行四边形和图 4 梯形的准内点 （作图工具不限，不写
5、作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“ 假”任意凸四边形一定存在准内点 （ ）任意凸四边形一定只有一个准内点 （ ）若 P 是任意凸四边形 ABCD 的准内点，则 PA+PB=PC+PD 或 PA+PC=PB+PD （ ）【分析】：（1）过点 P 作 PGAB ，PHBC ，PI CD，PJAD ，由角平分线的性质可知 PJ=PH，PG=PI ；（2）平行四边形对角线的交点，即为平行四边形的准内点；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点，即为梯形的准内点；（3）当凸四边形为平行四边形时，易知其对角线交点即为其准内点；当凸四边形不为平行四边形时，可以将四边形的两边
6、延长，构造三角形，其对角线交点即为准内点【解】：（1）如图2，过点 P 作 PGAB ，PHBC ，PI CD，PJADEP 平分DECPJ=PH （3 分）同理 PG=PI （1 分）P 是四边形 ABCD 的准内点 （1 分）（2）（4 分）平行四边形对角线 AC，BD 的交点 P1 就是准内点，如图 3（1） 或者取平行四边形两对边中点连线的交点 P1 就是准内点，如图 3（2） ；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点 P2 就是准内点如图 4（3）真；真；假【评注】：此题是一道新定义探索性题目，考查了对新信息的理解与应用能力，同时考查了三角形及四边形的性质考点四：开放题型中的新定义例
7、 5.如果点 P（x ，y ）的坐标满足 x+y=xy，那么称点 P 为和谐点请写出一个和谐点的坐标：【分析】：由题意点 P（x ，y ）的坐标满足 x+y=xy，解答 x+y=xy，即可得出答案【解】：点 P（x，y ）的坐标满足 x+y=xy，x，y 符号相同，代入数字进行验证，符合条件的点的坐标有（0，0） ， （2，2）等故答案为：（0，0）【评注】：本题考查了和谐点的性质及等式求解，比较简单考点五：阅读材料题型中的新定义阅读材料我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等
8、）来逐步认识四边形；我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识；请解决以下问题：如图，我们把满足 AB=AD、 CB=CD 且 ABBC 的四边形 ABCD 叫做“筝形”；（1）写出筝形的两个性质（定义除外） ；（2）写出筝形的两个判定方法（定义除外） ，并选出一个进行证明【分析】：（1）根据题意及图示即可得出筝形的性质；（2）根据筝形的性质即可写出判断方法，然后根据题意及图示即可进行证明【解】：（1）性质 1：只有一组对角相等，性质 2：只有一条对角线平分对角；（2）判定方法 1：只有一条对角线平分对角的四边形是筝形，判
9、定方法 2：两条对角线互相垂直且只有一条被平分的四边形是筝形，证明方法 1：BAC=DAC ，BCA=DCA，AC=AC，ABCADC，AB=AD，CB=CD，易知 ACBD，又ABD CBD，BACCBA，AB BC，由知四边形 ABCD 是筝形【评注】：本题主要考查了根据题意及图示判断筝形的定义及性质，然后根据题目要求依次进行解答，难度适中（4）真题演练1.定义运算 a b=a（1b） ，下列给出了关于这种运算的几点结论：2 （2）=6；a b=b a；若 a+b=0，则（a b）+（b a）=2ab；若a b=0，则 a=0其中正确结论序号是 （把在横线上填上你认为所有正确结论的序号）2
10、.如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线，例如平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有 ；（2）如图，梯形 ABCD 中，ABDC，如果延长 DC 到 E，使 CEAB，连接 AE，那么有 S 梯形 ABCDS ADE 请你给出这个结论成立的理由，并过点 A 作出梯形 ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹） ；（3）如图，四边形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行，S ADC S ABC ，过点 A 能否作出四边形ABCD 的面
11、积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由3. 如图，六边形 ABCDEF 是正六边形，曲线 FK1K2K3K4K5K6K7叫做“正六边形的渐开线”，其中 ， ， ， ， ， ，的圆心依次按点A1FK2A34KA56A，B，C ，D，E，F 循环，其弧长分别记为 l1，l 2，l 3，l 4，l 5，l 6，.当 AB1 时，l 2 011 等于（ ）A. B. C. D. 020130401（第 12 题图）ABCD EFK1K2K3K4K5 K6K7第二部分 练习部分一、选择题1、定义一种运算，其规则为 ab= ，根据这个规则，计算 23 的值是（ ）1a 1bA. B
12、. C.5 D.65652.在快速计算法中，法国的“小九九”从“ 一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九” 的运算就改用手势了如计算 89 时，左手伸出 3 根手指，右手伸出 4 根手指，两只手伸出手指数的和为 7，未伸出手指数的积为 2，则89=107+2=72那么在计算 67 时，左、右手伸出的手指数应该分别为（ ）A、1，2 B、1，3C、4，2 D、4，33.（2010 浙江杭州，10，3 分）定义 ， ， 为函数 2+ 的特征数，下面给abcyaxbc出特征数为2m，1m， 1m的函数的一些结论：当 m3 时，函数图象的顶点坐标是（ ） ；18,
13、3当 m0 时，函数图象截 轴所得的线段长度大于 ；x2当 m0 时，函数在 时， 随 的增大而减小；14y当 m0时，函数图象经过同一个点其中正确的结论有（ ）A、 B、 C、 D、1.二、填空题4.通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图在ABC中，AB=AC，顶角 A 的正对记作 sadA，这时 sadA .容易知道一个角的大小与这BCA底 边腰个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，
14、解下列问题：（1）sad60= .（2）对于 0A180，A 的正对值 sadA 的取值范围是 .（3）如图，已知 sinA ，其中A 为锐角，试求 sadA 的值.35AAB C CB图 图5、若记 y=f（x）= ，其中 f（1）表示当 x=1 时 y 的值，即 f（1）= = ；f（ ）21 21表示当 x= 时 y 的值，即 f（ ）= ；则 f（1）+f（2）+ f（1212215f（ ）（ ） （ ）+ f（3）+f （ ）+f（2011） +f（ ）= 215f（ ）（ ） （ ） 201三、解答题7.在平面直角坐标系中过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等
15、，则这个点叫做和谐点例如图中过点 P 分別作 x 轴，y 轴的垂线与坐标轴围成矩形OAPB 的周长与面积相等，则点 P 是和谐点（1）判断点 M（l，2） ，N（4，4）是否为和谐点，并说明理由；（2）若和谐点 P（a，3）在直线 y=x+b（b 为常数）上，求 a，b 的值8.阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过 两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数的图象为直线 ，一次函数11(0)ykxb1l的图象为 直线 ，若222，且 ，我们就称直线 与直线 互1k11ll相平行. 解答下面的问题：（1）求过点 且与已知直线(,4)P平行的直线
16、 的函数表达式,并画出直线 的图象；2yxl l（2）设直线 分别与 轴、 轴交于点 、 ，如果直线 ： 与直线lyxABm(0)ykxt平行且交 轴于点 ，求出 的面积 关于 的函数表达式.lCStyxO2462 4 622（第 23 题）（10 分）3.解：l 1= = l2= = l3= = l4= =60836018260183601843按照这种规律可以得到：l n= l 2011= 故选 B练习部分1.解：ab= ，23= 故选 A115362.解：要计算 ab，左手应伸出（a5）个手指，未伸出的手指数为 5（a5）=10a；右手应伸出（b5）个手指，未伸出的手指数为 5（b5）=
17、10b两手伸出的手指数的和为（a5）+（b5）=a+b10，未伸出的手指数的积为（10a）（10b）=10010a10b+ab根据题中的规则，ab 的结果为 10（a+b10）+（10010a10b+ab）而 10（a+b10）+ （10010a10b+ab）=10a+10b100+10010a10b+ab=ab所以用题中给出的规则计算 ab 是正确的故选 A3.解：根据定义可得函数 2m 2+（1m ） +（ 1m） ，yx当 m3 时，函数解析式为 6 2+4 +2， ，2414()8,2(6)33bacba顶点坐标是（ ） ，正确；8,函数 2m 2+（1m） +（1 m）与 x 轴两交
18、点坐标为（ 1，0） ， （ ，0） ，yx 12m当 m0 时，1（ ） ，正确；32当 m0 时，函数 2m 2+（1m） +（1m ）开口向下，对称轴 ，错yx 4x误；当 m0时， 1 代入解析式 0，则函数一定经过点（1，0） ，正确x故选 B4.解：（1）根据正对定义，当顶角为 60时，等腰三角形底角为 60，则三角形为等边三角形，则 sad60= =1故答案为 11（2）当A 接近 0时，sad 接近 0，当A 接近 180时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故 sad接近 2于是 sadA 的取值范围是 0 sadA2故答案为 0sadA2（3）如图，在ABC 中，ACB =90
19、，sin A= 35在 AB 上取点 D，使 AD=AC，作 DHAC，H 为垂足，令 BC=3k，AB =5k，则 AD=AC= =4k，2(5)3k又在ADH 中， AHD =90，sin A= DH=ADsinA= k，351AH= = k2AD165则在CDH 中，CH= ACAH= k，CD= = k42DHC4105于是在ACD 中，AD=AC=4k，CD= k105由正对的定义可得：sadA= = ，即 sad= 6.解：y=f（x）= ，21xf（ ）= = ，x2（ ）（ ） 2xf（x）+f（ ）=1 ，1f（1）+f（2）+ f（ ）+f（3）+f（ ）+ f（2011）
20、+f（ ）212120=f（1）+f（2） +f（ ）+f（3）+f （ ）+f（2011）+f（ ）= +1+1+1= +20102=2010 1故答案为：2010 126、 （2011 湖北孝感，17，3 分）对实数 ab，定义运算如下：ab= ，(,0ba ） ）例如 23= 算2（4）（4）（2）= 18解：2（4）（4）（2），=24（4） 2，= 16，16=1故答案为：17.（1）解：122（1+2） ，44=2（4+4） ，点 M 不是和谐点，点 N 是和谐点（2）解：由题意得：当 a0 时， （a+3）2=3a，a=6，点 P（a，3）在直线 y=x+b 上，代入得：b=9当
21、 a0 时， （a+3）2= 3a，a=6，点 P（a，3）在直线 y=x+b 上，代入得：b=3，a=6， b=9 或 a=6，b= 38.解：（1）设直线 l 的函数表达式为 yk xb. 直线 l 与直线 y2x1 平行， k2. 直线 l 过点（ 1，4） ， 2b 4， b 6. 直线 l 的函数表达式为 y2x6. 直线 的图象如图. (2) 直线 分别与 轴、 轴交于点l A、 ， 点 、 的坐标分别为BA（0，6） 、 （3，0）. ,直线 为 y2x +t.lmC 点的坐标为 .(,)t t0, .02yxO2462 4 622（第 23 题）lC 点在 x 轴的正半轴上.当
22、 C 点在 B 点的左侧时， ;13(3)6922ttS当 C 点在 B 点的右侧时， . 的面积 关于 的函数表达式为At39(06),2.tSt参考答案真题演练1.解：a b=a（1b） ，2 （2）=6=21（2）=23=6故本选项正确a b=a（1b）=aab故本选项错误（a b）+（b a）=a（1b）+b（1a=aab+baba+b=0，原式=2ab，故本选项错误a b=a（1b）=0，a=0 错误故答案为2.解：（1）中线所在的直线；（2 分）（2）方法一：连接 BE，因为 ABCE，ABCE，所以四边形 ABEC 为平行四边形，所以 BEAC（3 分） ，所以ABC 和AEC
23、的公共边 AC 上的高也相等，所以有 SABC S AEC ，所以 S 梯形 ABCDS ACD +SABC S ACD +SAEC S AED （5 分）方法二：设 AE 与 BC 相交于点 F因为 ABCE 所以ABFECF，BAFCEF，又因为 ABCE，所以ABFECF， （4 分）所以 S 梯形 ABCDS ACD +SABC S ACD +SAEC S AED （5 分）过点 A 的梯形 ABCD 的面积等分线的画法如图所示：作 DE 的垂直平分线，交 DE 于 G，连接AG则 AG 是梯形 ABCD 的面积等分线；（3）能，连接 AC，过点 B 作 BEAC 交 DC 的延长线于点 E，连接 AE因为 BEAC，所以ABC 和AEC 的公共边 AC 上的高也相等，所以有 SABC S AEC ，所以 S 四边形 ABCDS ACD +SABC S ACD +SAEC S AED （8 分）因为 SACD S ABC ，所以面积等分线必与 CD 相交，取 DE 中点 F，则直线 AF 即为要求作的四边形 ABCD 的面积等分线，作图如下：
