1、1轴 力 图01234-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7N(F/4)x(a)第六章 简单超静定问题 习题解习题 6-1 试作图示等直杆的轴力图解：把 B 支座去掉，代之以约束反力 （）。设 2F 作用点为 C，BRF 作用点为 D，则： BRNFCDBA3变形谐调条件为： 0l 02EAaNEaNBDCDABA03)(2FRRB（实际方向与假设方向相反，即：）45故： NBDFC7345A轴力图如图所示。2习题 6-2 图示支架承受荷载 ，1，2，3 各杆由同一种材料制成，其横截面面kNF0积分别为 ， ， 。试求各杆的轴力。210mA52mA解：以节点 A 为研究对
2、象，其受力图如图所示。X03cos0cs132 NN(1)1320Y0sinsi013 FN(2)2变形谐调条件：设 A 节点的水平位移为 ，竖向位移为 ，则由变形协调图（b）可知：xy0013cossinylx2 003cssixyl13o23ll设 ，则ll31l32231EAlNlEAN2311500N32312N(3)(1)、(2)、(3)联立解得： ； ； （方向如kN45.81k68.2kN54.1图所示，为压力，故应写作： ）。习题 6-3 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载 F 作用在 A 点，试求这四根支柱各受多少力。解：以刚性板为研究对象
3、，则四根柱子对它对作用力均铅垂向上。分别用 表示。4321,N由其平衡条件可列三个方程： 0Z04321FN(1)0xM0242aN(2)420yM02231 aNeFaN(3)31由变形协调条件建立补充方程EANl231。 （4）2314(1)、（2）、（3）、（4）联立，解得： 42FNae)1(FN)24(3习题 6-4 刚性杆 AB 的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆 CD 和 EF 使该刚性杆处于水平位置，如所示。如已知 ，两根钢杆的横截面面积 ，kNF50 210mA试求两杆的轴力和应力。解：以 AB 杆为研究对象，则： 0AM03521aNa(1)变形协调条件： 12
4、lEAN(2) 12(1)、(2)联立，解得： kN30162MPamA30121N6225习题 6-5 图示刚性梁受均布荷载作用，梁在 A 端铰支，在 B 点和 C 点由两根钢杆 BD 和CE 支承。已知钢杆 BD 和 CE 的横截面面积 和 ，钢杆的许用应220m2140力 ，试校核该钢杆的强度。MPa170解：以 AB 杆为研究对象，则：A023)(12N(1)5321变形协调条件：321l11238.EAlNl40.(2)21.N(1)、（2）联立，解得：（压）； （拉）k57.381kN143.2故可记作： ；kN.1强度校核： ，符合强度条件。MPaPamA1704275.9640
5、385| 21 ，符合强度条件。N1.2126习题 6-6 试求图示结构的许可荷载F。已知杆 AD，CE，BF 的横截面面积均为 A，杆材料的许用应力为 ，梁 AB 可视为刚体。解：以 AB 杆为研究对象，则：0Y0321FN(1)0AM023aFNa(2)变形协调条件：2132llEAN.(3)2134(1)(2)(3)联立，解得：；521FN3强度条件：521AF.53AF故： .27习题 6-7 横截面积为 的短木柱，用四根 的等边m250 m540角钢加固，并承受压力 F，如图所示。已知角钢的许用应力 ，弹性模量MPas16；木材的许用应力 ，弹性模量 。试求短木柱GPaEs20MPa
6、w1GEw的许可荷载F。解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件：（1）由木柱与角钢间的变形相容条件，有（2）由物理关系： （3）式（3）代入式（2），得（4）解得： 代入式（1），得： （2）许可载荷由角钢强度条件由木柱强度条件：故许可载荷为： 8习题 6-8 水平刚性横梁 AB 上部由于某 1 杆和 2 杆悬挂，下部由铰支座 C 支承，如图所示。由于制造误差，杆 1 和长度短了 。已知两杆的材料和横截面面积均相同，m5.且 ， 。试求装配后两杆的应力。GPaE201A2解：以 AB 梁为研究对象，则：CM0145sin21N(1)21变形协调条件：11Al12Bl211lAlEAlN
7、21.(2)ll214(1)、(2)联立，解得：；lEAN)162(1lEAN)162(4MPamMPal 24.1650)(.)(31 lE93.51)62(.4)62(39轴 力 图00.81.62.43.244.8-15-10-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85N(kN)x(m)习题 6-9 图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离 。已知上、下两段杆的m1横截面面积分别为 和 ，材料的弹性模量 。试作图示荷载260m23GPaE20作用下杆的轴力图。解：设装配后，支座 B 的反力为 （），则：BRBCRN（D 为
8、60kN 集中力的作用点）40D1BA变形协调条件： nil1 mRRmkNR BBB 366662626 100122.)(0104.)(130/20. .94 BB06BR。故：)(15kN； ； 。轴力图如下图所示。BCkNCD25kNAD8510习题 6-10 两端固定的阶梯状杆如图所示。已知 AC 段和 BD 段的横截面面积为 A，CD 段的横截面面积为 2A；杆的弹性模量为 ，线膨胀系数 。GPaE210106)(12Cl试求当温度升高 后，该杆各部分产生的应力。C03解：变形协调条件：l0tN04)2(atAEal3tl04tEANl )(108/1023)(1233 26010
9、6 kNAAmkNCctl MPakaBDAC 8.08PN4.5)(542习题 6-11 图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩 。若eM，试求固定端的支反力偶矩 和 ，并作扭矩图。21dAB解：把 B 支座去掉，代之以约束反力偶 ，其矩为 ，转向为逆时针方向，BM则： CTeBA变形协调条件：A、B 为两固定端支座，不允许其发生转动，故： 0CB11扭 矩 图-33-32-31-30-29-28-27-26-25-24-23-22-21-20-19-18-17-16-15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10120 0.5 1 1.5 2 2.
10、5 3x(a)T(Me/33)02)(1PBPeBGIaMI21PBPeBII式中， ，故：24141411 636)(3PIdd026PBeBIMI1BeB3eB（顺时针方向转动）32eeAMMeBCT32eeBAAB 轴的轴力图如下：12习题 6-12 图示一两端固定的钢圆轴，其直径 。轴在截面 C 处承受一外力偶md60矩 。已知钢的切变模量 。试求截面 C 两侧横截面上的最大切mkNMe8.3GPa8应力和截面 C 的扭转角。解：把 B 支座去掉，代之以约束反力力偶，其矩为 ，逆时针方向B转动。，则： BCMTeA变形协调条件：A、B 为两固定端支座，不允许其发生转动，故： 0CB15
11、.)(PPeBGIMI02BeB，故：3)(267.18mkNMTeBC )(53.28.3keeBA C 截面左侧的最大切应力：PCAWTmax,式中，抗扭截面模量 )(4239061.31633 mdPMPamNTPCA 8.5942905.| 3max, 13C 截面右侧的最大切应力：PCBWTmax,MPamNPCB 9.242390167.|ax, C 截面的转角：PCBBGIlT式中， 444 1270601.3231md 0423 714.)(125./87. radmNGIlTPCBBC习题 6-13 一空心圆管套在实心圆杆 B 的一端，如图所示。两杆在同一截面处各有一直径相同
12、的贯穿孔，但两孔的中心线构成一 角。现在杆 B 上施加外力偶使杆 B 扭转，以使两孔对准，并穿过孔装上销钉。在装上销钉后卸除施加在杆 B 上的外力偶。试问管 A 和杆B 横截面上的扭矩为多大？已知杆 A 和杆 B 的极惯性矩分别 和 ；两杆的材料相同，PAI其切变模量为 G。解：解除端约束 （逆时针方向转动），则由于 B 杆锚固时处于弹性变形阶段，所以2M解除约束 II 之后，端相对于截面 C 转了 角。因为事先将杆 B 的 C 端扭了一个 角，故变形协调条件为 02M14PABABAIllGMT2习题 6-14 图示圆截面杆 AC 的直径 ，A 端固定，在截面 B 处承受外力偶矩md10，截
13、面 C 的上、下两点处与直径均为 的圆杆 EF、GH 铰接。已mkNe7 d20知各杆材料相同，弹性常数间的关系为 。试求杆 AC 中的最大切应力。E4.解：把 EF 杆与 GH 杆切断，代之以约束反力。由轴 AC 的受力特点可知，这两个约束反力构成一力偶，设它的力偶矩为 （顺时针方向转动）。CM)(12.0)(1mkNdNEFEFC BT.EFCeA2.07杆 EF、GH 的作用是阻止 C 截面转动，但因这这两根杆件是可变形固体，故 C 截面仍有转角 。C 232121 )10(4.315.20)( GNEAlNddl EFFEFGEF845.6变形协调条件为： CBAC15CPBABGIl
14、TIlGNINI EFPEFPEF 845.261.01)2.07( 1.4 EFPEFPEFIIPEFEFIN85.264.07式中， ，故：)(10825.9)1.0(4.331 4644 mmdIP EFEFEF N85.26.07 6。 故：)(10/kNN)(273.1. mkTEFBC )(.57NMEFCeA 杆 AC 的最大切应力出现在 AB 段的圆轴表面： MPamdTWP 182.9104.327561363maxaxma 习题 6-15 试求图示各超静定梁的支反力。6-15（a）解：把 B 支座去掉，代之以约束反力 ，则变形BR协调方程为： 0BwFRB查附录 IV，得：
15、 EIaRIBBRB339)(IFIaFw314)2(6)216故， 03149EIFaIRwBBFR03149B（）27FR由 得： （）0Y27134FA由 得： （逆时针方向转动）AM94aa6-15(b)解：把 B 支座去掉，代之以约束反力 ，则变形协调方程BR为： 0BwBeRM查附录 IV，得： EIaMIweeBMe 22)(IRIaRBB 38)3(6)2故， 02EIaIwBeRMBe034ae（负号表示方向向下，即）ReB由 得： （）0YaMeA4317由 得： ， （逆时针方向转动）0AMeeAMa243aeA26-15(c)解：把 B 支座去掉，代之以约束反力 和 ，
16、方向如图所示。则变形协调条件为：BMF；0w0BsMFBq查附录 IV，得：EIqlwB84IlFB3EIlMwB2故， 02384EIlMlFIqlBBFqBs02382ll(1)12BlFql0B0BBMFq查附录 IV，得：18EIqlB63IlFB2EIlMB故， 0263EIlMlFIqlBBFBq026Bll(2)3lFql(1)、（2）联立，解得： （）； （顺时针方向转动）。2qB12qlMB根据对称结构在对物荷载作用下的性质可知，（）； （逆时针方向转动）2qlFA12qlA习题 6-16 荷载 F 作用在梁 AB 及 CD 的连接处，试求每根梁在连接处所受的力。已知其跨长比
17、和刚度比分别为： 和 。321l5421EI解：把连接梁 AB 与梁 CD 的垫块去掉，代之以约束反力 （）和 （）。显然，它们BRC是一对作用力反作用力。 。BR查附录 IV 得：AB 在 B 处的挠度：13)(EIlFwBCD 在 C 处的挠度为：23EIlR19变形协调方程： CBw2313)(EIlRIlF2313)(IlIlCC1352)(4)(312lIRFC（）。即，梁 CD 在 C 处所受的力。675梁 AB 在 B 处所受的合力为： （）。167325F习题 6-17 梁 AB 因强度和刚度不足，用同一材料和同样截面的短梁 AC 加固，如图所示。试求：（1）二梁接触处的压力
18、；CF（2）加固后梁 AB 的最大弯矩和 B 点的挠度减小的百分数。解：（1）求二梁接触处的压力 C以 AB 为研对象，把 C 处的圆柱垫去掉，代之以约束反力 （）；以 AC 为研究对象，作用在CFC 处的力为 （）。 与 是一对作用与反 F作用力， 。AB 梁在 C 处的挠度： 。CFABw,查附录 IV 得： EIllEIlCF485)23(6)3IlFlIlwCCF)()320故， EIlFlwCCFABC248533, AC 梁在 C 处的挠度：EIlIlwCAC243)(3, 变形协调方程： ACBC, EIlFlEIl24485333CF25（）4C（2）求加固后梁 AB 的最大弯
19、矩和 B 点的挠度减小的百分数 弯矩的变化情况加固前：2FllMCmaxlA加固后：max 2FllC8345 lllMA21显然，AB 梁的最大弯矩减小： （负弯矩只表示 AB 梁上侧受拉）%5021Fl B 点挠度的变化情况加固前： EIFlwB3加固后： 2 lCFCFEIlwCF3 EIFlIlEIlFlIlCCF 96524)2(6) 3332 IlIlIlIlEIlCCCF 328)( 故， 2 lwCFB35963lEIlIlIFl12B 点挠度减小的百分数为：%3964251932333 EIFlIlE习题 6-18 图示结构中梁 AB 和梁 CD 的尺寸及材料均相同，已知 E
20、I 为常量。试绘出梁 CD 的剪力图和弯矩图。22解：（1）求多余未知力把刚性杆 EF 去掉，代之以约束反力（）和 （）。它们是一对作用与反作用力。 。EFNFE FENAB 梁在 E 处的挠度为： Ilw483CD 梁在 F 处的挠度为： EINlql48353变形形协调方程：FEwEINlqlIl4835483lNql8516由对称性可知， （）321652qlqlRDC（2）作 CD 梁的弯矩图CF 段的弯矩方程： 231)(xqlxM2,0lx01287)4(321)4(qllqllEIlllllM63)()( 223CD梁 的 弯 矩 图01122334455667788991101
21、210 4 8 12 16 20 24 28 32x(L/32)M(qL*L/2048)令 得：当 时，弯矩取最大值。0321)(qxldxM321lx048)()( 2max qllll FD 段的弯矩方程： 2)()(321)(xlql,l由对称性可知： 87)4(2llMl201)3()21(qlllCD 梁的弯矩图如下图所示。（3）作 CD 梁的剪力图321qlQCF325ll1632qllqFD24CD梁 的 剪 力 图-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910110 0.2 0.4 0.6 0.8 1x(L)Q(qL/32)1lD习 题6-19 在一直
22、线上打入 个半径为 的圆桩，桩间距均为 。将厚度为 的平钢板按图示方nrl式插入圆桩之间，钢板的弹性模量为，试求钢板内产生的最大弯曲应力。E解：以 AC 为研究对象。把 AC 弯成目前形状时，在 A、C 必须向上的力；B 桩相当于向下的集中荷载 F（）。变形协调条件为： rwB2EIlF48)(3312)(96lIrl根据对称性，A 桩对钢板的作用力也是 F。故 AC 段的最大弯矩出现在 B 处：23max1lEIrlIrFM因为 EIax1所以 22maxaxmax 61lErlIIy 25习题 6-20 直梁 ABC 在承受荷载前搁置在支座 A 和 C 上，梁与支座 B 间有一间隙 。当加
23、上均布荷载后，梁在中点处与支座 B 接触，因而三个支座都产生约束力。为使这三个约束力相等，试求其 值。解：把 B 支座去掉，代之以约束反力（）。则 B 的挠度为：RBRqBwEIlIl48)2(3)(53IlRqlB6234 334645)5( lEIqlIEIlB 338)2(1)2(1 lEIqlIRRBCA 令 B338645lEIqlIq3987lI（）EIqRB24习题 6-21 梁 AB 的的两端均为固定端，当其左端转动了一个微小角度 时，试确定梁的约束反力 ， ， ， 。AMFB解：把 A 支座去掉，代之以约束反力 和AMF变形协调方程为： 0Aw查附录 IV 得：26032EI
24、lFlMwAAFMA032l(1)lFAEIlFMAAFMA2(2)Il22(1)、(2)联立，解得：（）； （逆时针方向）26lEIFAlEIA4由 得： （）0Y26lIB由 得：AM042lEIl（逆时针方向）lIB习题 6-22 梁 AB 的左端固定而右端铰支，如图所示。梁的横截面高为 。设梁在安装后h其顶面温度为 ，而底面温度为 ，设 ，且沿截面高度 成线性变化。梁的弯曲刚1t2t1t度为 EI，材料的线膨胀系数为 。试求梁的约束反l力。解：把 B 支座去掉，代之以约束反力 。BR由于温差所产生的挠度：hltwtB2)(1,由于 所产生的挠度：REIlBB3,27变形协调条件：032)(1, EIlRhltwBRBtB（）hltEIB2)(31（）ltIRBA)(12由 得：0M0BA（顺时针方向）htEIlR2)(31
