1、2018 年高考数学理科试卷（江苏卷）数学一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合 ， ，那么 8,210A8,61BBA2若复数 满足 ，其中 i 是虚数单位，则 的实部为 zii z3已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为 4一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 的值为 S5函数 的定义域为 1log2xf6某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女生的概率为7已知函数 的图象关于直线 对称，则 的值是 22s
2、inxxy 3x8在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到一条xOy0,12bayx0,cF渐近线的距离为 ，则其离心率的值是 c239函数 满足 ，且在区间 上，xfRxff42,(， 则 的值为 02,1,cosxf15f10如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 11若函数 在 内有且只有一个零点，则 在Raxf1223,0xf上的最大值与最小值的和为 1,12在平面直角坐标系 中， 为直线 上在第一象限内的点， ，以xOyAxyl2:0,5B为直径的圆 与直线 交于另一点 若 ，则点 的横坐标为 ABClD0CABA13在 中，角 所对的边分别为 ，
3、， 的平ABC、 cba、 120ABCAB分线交 于点 ，且 ，则 的最小值为 D1B414已知集合 ， 将 的所有元素Nnx,2| Nnx,2| 从小到大依次排列构成一个数列 ，记 为数列 的前 项和，则使得anSa成立的 的最小值为 12naS二、解答题：本大题共6小题，共计 90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）在平行六面体 中， 1ABCD11,ABC求证：（1） ；平 面（2 ） 11平 面 平 面16 （本小题满分 14 分）已知 为锐角， ， ,4tan35cos()（1 ）求 的值；cos2（2 ）求 的值ta(
4、)17 （本小题满分 14 分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 （P 为此圆弧的中点）MN和线段 MN 构成已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形 ABCD，大棚内的地块形状为，要求 均在线段 上， 均在圆弧上设CDP ,ABMN,CDOC 与 MN 所成的角为 （1 ）用 分别表示矩形 和 的面积，并确定P的取值范围；sin（2 ）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 求当 为何值4:3时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大18 （本小题
5、满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 C 过点 ，焦xOy1(3,)2点 ，圆 O 的直径为 12(3,0)(,)F12F（1 ）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2 ）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；直线 l 与椭圆 C 交于 两点若 的面积为 ，求直线 l 的方程,ABOAB 26719 （本小题满分 16 分）记 分别为函数 的导函数若存在 ，满足 且(),fxg (),fxg0xR00()fxg，则称 为函数 与 的一个“S 点 ”00f0f()x（1 ）证明：函数 与 不存在“S 点” ；()fx2
6、()g（2 ）若函数 与 存在“S 点” ，求实数 a 的值；21falnx（3 ）已知函数 ， 对任意 ，判断是否存在 ，使函()fxe()xbg00b数 与 在区间 内存在“S 点” ，并说明理由()fxg0,20 （本小题满分 16 分）设 是首项为 ，公差为 d 的等差数列， 是首项为 ，公比为 q 的等比数列na1anb1b（1 ）设 ，若 对 均成立，求 d 的取值范围；10,2bq1|na,234（2 ）若 ，证明：存在 ，使得 对*10,(12mabqNdR1|nab均成立，并求 的取值范围（用 表示） ,3nm d1,bmq数学(附加题)21 【 选做题 】本题包括 A、B、
7、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲(本小题满分 10 分)如图，圆 O 的半径为 2，AB 为圆 O 的直径，P 为 AB 延长线上一点，过 P 作圆 O 的切线，切点为 C若 ，求 BC 的长23B选修 42：矩阵与变换( 本小题满分 10 分)已知矩阵 31A（1 ）求 的逆矩阵 ；1（2 ）若点 P 在矩阵 对应的变换作用下得到点 ，求点 P 的坐标(3,1)C 选修 44：坐标系与参数方程( 本小题满分 10 分)在极坐标系中，直线 l 的方程为 ，曲线 C 的方程为
8、 ，求直线sin(264cosl 被曲线 C 截得的弦长D 选修 45：不等式选讲 (本小题满分 10 分)若 x，y，z 为实数，且 x+2y+2z=6，求 的最小值22xyz【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤学科#网22（本小题满分 10 分）如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB =AA1=2，点 P，Q 分别为A1B1，BC 的中点（1 ）求异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值；（2 ）求直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值23 (本小题满分 10 分)设 ，对
9、 1，2，n 的一个排列 ，如果当 s0） ，则年总产值为 4k800（4sin cos+cos）+3 k1600（cossincos）=8000k（sin cos+cos） ， 0， ） 2设 f（）= sincos+cos， 0， ） ，则 222()cosinsi(sini1)(2sin1)(i)f令 ，得 = ，0 6当 （ 0， ）时， ，所以 f（ ）为增函数；()0f当 （ ， ）时， ，所以 f（ ）为减函数，62()0，设 32()hxax因为 ，且 h（x）的图象是不间断的，(0)10h，所以存在 （0，1） ，使得 ，令 ，则 b0x0()hx032e(1)xb函数 ，2
10、e()()bfag，则 21xfx ， 由 f（x）与 g（x）且 f（x）与 g（x） ，得，即 （*）22e(1)xba003232e(1)exxxxa此时， 满足方程组（*） ，即 是函数 f（x）与 g（x）在区间（ 0，1）内的一个0x0“S 点” 因此，对任意 a0，存在 b0，使函数 f（x ）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点”20本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分 16 分解：（1）由条件知： 12(,)nnadb因为 对 n=1，2 ，3 ，4 均成立，1|nab即 |()
11、|d对 n=1，2，3 ，4 均成立，即 1 1，1 d 3，3 2d 5，7 3d 9，得 752d因此，d 的取值范围为 ,（2 ）由条件知： 11(),nnabdbq若存在 d，使得 （n=2，3，m+1）成立，|即 11 | |2,(1() )nbbq ，即当 2,3nm 时，d 满足11nnqqbdb因为 (1,q，则 12nm，从而 10nb， 10qb，对 ,31 均成立因此，取 d=0 时， 对 2,n 均成立|na下面讨论数列12q的最大值和数列1nq的最小值（ 2,31nm ） 当 2nm时，11 2()()nnnnqq ，当1q时，有 2nm，从而 1 20nnq因此，当
12、 2时，数列1n单调递增，故数列1n的最大值为mq设 ()2xf，当 x0 时， ln21(0)l)xfx，所以 f单调递减，从而 ()ff（ 0）对任意的 x（0 ，2都成立，则 f（x）在0，2 上是增函数”为假命题的一个函数是_（14 ）已知椭圆 ，双曲线 若双曲线 N 的两条渐近21(0)xyMab： 21xyNmn：线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为_；双曲线 N 的离心率为_三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。学科网（15 ） （本小题 13 分）在ABC 中，a=7，b=8 ，co
13、s B= 17（）求A；（）求 AC 边上的高（16 ） （本小题 14 分）如图，在三棱柱 ABC- 中， 平面 ABC，D ，E ， F，G 分别为 ，AC， ，1ABC11A1C的中点，AB=BC= ，AC= =21B5（）求证：AC平面 BEF；（）求二面角 B-CD-C1 的余弦值；（）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交（17 ） （本小题 12 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类电影部数 140 50 300 200 800 510好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1好评率是指
14、：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率；（）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”1k表示第 k 类电影得到人们喜欢， “ ”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢0k（k=1， 2，3，4，5，6） 写出方差 ， ， ， ， ， 的大小关系1D234D56（18 ） （ 本小题13 分）设函数 = ()fx2(41)3axaex（）若曲线y= f（x ）在点（1
15、， ）处的切线与 轴平行，求a；()fx（）若 在x=2处取得极小值，求a的取值范围()f（19 ） （本小题 14 分）已知抛物线 C： =2px 经过点 （1 ，2） 过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有两个不同2yP的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N（）求直线 l 的斜率的取值范围；（）设 O 为原点， ， ，求证： 为定值QONQ1（20 ） （ 本小题14 分）设 n 为正整数，集合 A= 对于集合 A 中的任意元12|(,),0,1,2nttkn 素 和 ，记12(,)nx ,yM（ ）= ， 1122(|)(|)(|)nnxyx
16、xy（）当 n=3 时，若 ， ，求 M（ ）和 M（ ）的值；(,0,1),（）当 n=4 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意元素 ，当 相同时，,M（ ）是奇数；当 不同时，M（ ）是偶数求集合 B 中元素个数的最大值；， ,，（）给定不小于 2 的 n，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素，,M（ ）=0写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由学科&网，绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1 A 2D 3B 4D 5C 6C 7C8D二、填空题9 10 11 12363na122313 y=
17、sinx（答案不唯一） 14 12；三、解答题（15 ） （共 13 分）解：（）在ABC 中，cosB= ，B（ ，），sinB= 1722431cos7B由正弦定理得 = ，sinA= siniabAsin8433B（ ，），A （0 ， ），A= 22（）在ABC 中，sinC=sin（A+B）=sinA cosB+sinBcosA= = 3143()271如图所示，在ABC 中，sinC = ，h= = ，sinC14AC 边上的高为 32（16 ） （共 14 分）解：（）在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CC 1平面 ABC，四边形 A1ACC1 为矩形又 E，F 分别为 AC，
18、A 1C1 的中点，ACEFAB =BCACBE ，AC平面 BEF（）由（I）知 ACEF ，ACBE ，EF CC 1又 CC1平面 ABC，EF平面 ABCBE 平面 ABC，EFBE如图建立空间直角坐称系 E-xyz由题意得 B（0，2 ，0） ，C（-1，0，0 ） ，D（1 ，0，1 ） ，F（0，0 ，2） ，G（0，2 ，1） ，=()()CDurur， ， ， ， ，设平面 BCD 的法向量为 ，abc， ，n ， ，0CBrun20令 a=2，则 b=-1，c =-4，平面 BCD 的法向量 ，(214)， ，n又平面 CDC1 的法向量为 ，0EBur， ， 21cos=
19、|EBurrn由图可得二面角 B-CD-C1 为钝角，所以二面角 B-CD-C1 的余弦值为 21（）平面 BCD 的法向量为 ，G（0，2，1） ，F（0 ，0，2） ，(24)， ，n ， ， 与 不垂直，=(021)GFur， ， GFurFurGF 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内，GF 与平面 BCD 相交（17 ） （共 12 分）解：（）由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是 2000.25=50故所求概率为 50.2（）设事件 A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评” ，事件 B
20、 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评” 故所求概率为 P（ ）=P（ ）+P（ ）BAB=P（A） （1P（B） ）+ （1P（A） ）P （B） 由题意知：P（ A）估计为 0.25，P（B）估计为 0.2故所求概率估计为 0.250.8+0.750.2=0.35（） = 1D4253D6（18 ） （共 13 分）解：（）因为 = ，()fx2(41)axaex所以 f （x）=2 ax（4a+1） ex+ax 2（4 a+1）x +4a+3e x（x R）=ax 2（2a +1）x +2e xf (1)=(1a)e由题设知 f (1)=0，即(1a )e=0，解得 a=1此时 f
21、(1)=3e0所以 a 的值为 1（）由（）得 f （x ）=ax 2（2 a+1）x +2e x=（ax 1）( x2)ex若 a ，则当 x( ，2) 时， f (x)0所以 f (x)0所以 2 不是 f (x)的极小值点综上可知，a 的取值范围是（ ，+）12（19 ） （共 14 分）解：（）因为抛物线 y2=2px 经过点 P（1，2） ，所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 y=kx+1（k0 ） 由 得 241yxk2(4)10x依题意 ，解得 k0 或 0k122()k又 PA，PB 与 y
22、 轴相交，故直线 l 不过点（1，-2 ） 从而 k-3所以直线 l 斜率的取值范围是（-，-3 ）（-3，0）（0，1） （）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 由（I）知 ， 24k1k直线 PA 的方程为 y2= 1()yx令 x=0，得点 M 的纵坐标为 122Mk同理得点 N 的纵坐标为 21Nkxy由 ， 得 ， =QOurQur=MNy所以 21212241()1 1=()()MN kxxykxkk 所以 为定值1（20 ） （共 14 分）解：（）因为 =（1，1，0），= （0，1，1 ），所以M(，)= (1+1|11|)+(1+1|11|)+(0+0|00|
23、)=2，2M(， ）= (1+0|10|)+(1+1|11|)+(0+1|01|)=112（）设 =（ x1，x 2，x 3，x 4）B，则 M(， ）= x1+x2+x3+x4由题意知 x1，x 2，x 3，x 40，1，且 M(，) 为奇数，所以 x1，x 2，x 3，x 4 中 1 的个数为 1 或 3所以 B (1，0，0，0），（0，1 ，0，0)，（0，0 ，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1 ，1，1) ，(1，0 ，1 ，1) ，(1 ，1，0，1)，(1，1，1，0).将上述集合中的元素分成如下四组： （1 ， 0， 0，0)，(1，1 ，1，0)；（0 ，1，0 ，0)
24、 ，(1，1 ， 0，1)；（0，0，1，0)，（1 ， 0， 1，1)；（0，0，0 ，1)，（0，1 ，1，1).经验证，对于每组中两个元素 ，均有 M(， ）=1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素所以集合 B 中元素的个数不超过 4.又集合 （1 ，0，0，0），（0，1 ，0，0），（0 ，0，1 ，0），（0 ，0，0，1)满足条件，所以集合 B 中元素个数的最大值为 4.（）设 Sk=( x1，x 2，x n）|( x1，x 2，x n）A，x k =1，x 1=x2=xk1=0）（k=1， 2， n)，Sn+1=( x1，x 2， ，x n）| x1=x2=xn=
25、0，则 A=S1S 1 Sn+1对于 Sk（k=1 ，2，n 1）中的不同元素 ，经验证，M( ， )1.所以 Sk（k=1 ，2 ，n 1）中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素所以 B 中元素的个数不超过 n+1.取 ek=( x1，x 2，x n）S k 且 xk+1=xn=0（k =1，2 ， ，n1）.令 B=（ e1，e 2，e n1）S nS n+1，则集合 B 的元素个数为 n+1，且满足条件.故 B 是一个满足条件且元素个数最多的集合2018 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第 I 卷注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
