1、 1 / 8高考中的抽象函数专题练习1、下列结论：函数 和 是同一函数；函数 的定义域2yx2()x(1)fx为 ，则函数 的定义域为 ；函数 的递增区间为,22(3)f 30,2log(3y； 若函数 的最大值为 ，那么 的最小值就是()1(1)fx其中正确的个数为 ( )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个032.定义在 上的函数 满足 ，且当R()fx 1(0),(),()()52ffxffx时， ，则 等于（ ）12x1217A. B. C. D. 63643.已知 是定义在 上的函数，且 ， ，则()fxR3()1()2fxfxf23f值为（ ）209fA. B. C. D. 32
2、34.已知 ，方程 在 内有且只有一个根(1)(),(2)fxffx()0fx,1，则 在区间 内根的个数为（ ）2x01A. B. C. D. 603175.已知函数 对任意实数 ， 满足 ，且 .若存在整数()fxxy()()fxyfy(1)2f，使得 ，则 取值的集合为_.m24m6.定义在 上的函数 满足： ，且函数 为奇函数，对于下R()f(2)(0ff()fx列命题：函数 满足 ；函数 图象关于点 对称；函数 的图()fxxx1,()fx象关于直线 对称；函数 的最大值为 ； .2()f()f(29)f其中正确的序号为_.7.已知函数 定义在 上，对于任意的 ，有 ，()fx(1,
3、),(1,)xy()()1xyfxf且当 时， .0x0验证函数 是否满足这些条件；(1)()lnfx若 ，且 ，求 的值21,)2ababf|1,|ab(),fab若 ，试解关于 的方程 (3)f()2fx2 / 88.已知函数 满足：对于任意实数 ，都有 恒成立，()fxR,xy1()()2fxyfy且当 时， 恒成立；0x12求 的值，并例举满足题设条件的一个特殊的具体函数；(1)f判定函数 在 上的单调性，并加以证明；2()x若函数 (其中 )有三个32ma,)1Ffxfk,(max,ab零点 ，求 的取值范围12,x12313()u9.已知函数 满足对任意实数 都有 成立，且当 时，
4、()fx,xy()()1fyfxy0x， .()1fx0求 的值；5判断 在 上的单调性，并证明；2()fR若对于任意给定的正实数 ，总能找到一个正实数 ，使得当 时，(3)0|x，则称函数 在 处连续.0|fx()fx0试证明： 在 处连续.()fx10.已知函数 满足对一切 都有 ，且 ，()fx12,xR1212()()fxfxf(1)0f当 时有 .1x0求 的值；()判断并证明函数 在 上的单调性；2()f解不等式： .322(1)0xfx3 / 811.定义在 上的函数 ， ，当 时， ，且对任意实数 ，有R()fx0f0x()1fx,ab，求证：()(fabf10证明： 是 上的
5、增函数；2)若 ，求 的取值范围.(3)2(1fxx12.已知函数 对任意实数 ， 都有 ，且当 时，()fxxy()()fxyfy0x， ，求 在 上的值域.()0fx12()f2,113.已知 是定义在 上的增函数，且满足 ， fx(0,)()()fxyfy1()2f求证： (1)(2)1求不等式 的解集.3f4 / 8答案和解析 1.答案：A分析：因为函数 的定义域为 ， 的定义域为 所以不成立. 2yxR2()yx0,)x由函数 的定义域为 ，所以 所以函数 要满足 ，所以函(1)fx1,012(3)f231x数 的定义域为 故不成立，因为函数 的定义域为233log)或 所以递增区间
6、为 不正确，所以不成立.因为函数0,x(,)与函数 的图像关于 轴对称，所以不正确.故选(1)yfx(12)yfyA2.答案：C分析：由 ，得 ， ，又 ，(,ff1()2f()1f1()52xff， ，又 时， ，所以若 ，()52f4)120x12x4,， ，则在 区间上 ，又 ，1x(xff4,5n()nf 507.()073f3.答案：A分析： ， ，令 代入上式得，()1()2fxfxf31()()2fxfx32，令 代入上式得，3()()(3)1()12fffxxfxf3x， 函数(6)()(f ff的周期 ， ，故选 .T 1096345)(23(2)fffA4.答案：C分析：
7、(1)()(2fxffx 是一个周期为 的函数；2)()(fxfx 是一个偶函数； 在 内有且只有一个根 ，f 0f,112则 在 内有且只有一个根()0x1,2又 周期为 ， 在 内有且只有一个根f2()fx,3x为 的一个周期函数，有 根；,2() 0136T等价于 也只有 根；故 内根的个数为 个0130,1,2015.答案： ,5 / 8分析：6.答案：分析：由 得 ，则 ，(2)(0fxf(2)(fxfx(2)(2)(ffxf所以 的周期为 ，则对，由 为奇函数得 的图像关于点 对称，则对，)f411,0由 为奇函数得 ，令 得 ，又(1)1x， ，则对，由 得 ，故(xf()ff(
8、)()ff(f.209)0f7.答案：见解析分析： 由 可得 ，即其定义域为(1)x1x(1,)又 lnlln(yyfy11lnl()xxfyy又当 时， ， ，00x1xln0x故 满足这些条件.1()lnfx令 ， ，令 ，有 ，2y()fy()()fxf 为奇函数f由条件得 ，解得 .()12fab31(),()2fafb设 ，则 ，(3)12x12110,0xx则 ，22 121()()(),()fffffffx 在 上是减函数x, ，1()2f1()f原方程即为 ，2()(1xfxff 2241031x又 ， 故原方程的解为 .(,)3x 3x8.答案： ； 函数 在 R 上单调递增
9、；2f()()f ()02u分析： 取 代入题设中的 式得： (1)0xy 11(0(0)2fff6 / 8特例： 1()2fx(验证)111),(),()()()()222fxfyfxyxyfxy判定： 在 上单调递增(2xR证明：任取 且 ，则12,122 1211)()()()2fffxfxfxffx ，10x210. ，所以函数 在 上单调递增2()ff()fR由32(max,()10Ff fk又由 知 在 上单调递增，(ax,)f fk()fxR所以 2 2(0)ma,0f k,kx构造 由2()a,gx20xx或 ， ，于是，题意等价于：3(0)(3,),与 的图象有三个不同的交点
10、(如上图，不妨设这三个零点 )，则 yk) 123x为 的两根，即 是一元二次方程 的两根，1230,x2xk23,x20k ，23 ， (变量归一法)，2123123()()uxxkk01k由 在 上单调递减，于是可得： 9()4k0,12u7 / 89.答案：见解析分析： ， ；(1)()1fxf(5)14f设 ，则 ， .22222()1xxfx12()fxf在 上单调递增；()fR令 ，得 ， ，对任意 ,30y()(0)1ff(0)f *nN122nnf ()0()1fffn， ， ()f()1)()(1)1fffn又 ， ， 0fx2xx要证 ，对任意 ，00 0|f fx0当 时
11、，取 ，则当 即 时，由 单增可得*N0()f即 ；()(fff(1)()1f当 时，必存在 使得 ，取 ，则当*,mNnmnn1n0|x即 时，有 ，011xn 01()()()1ffxf而 ，()fn1nn，综上， 在 处连续.0f()fx010.答案： ； 见解析； ，或(1)4(2)3|1x23x分析： 令 ，得 ， ，2x()ff()f再令 ，得 ，1,1即 ，从而 . 2()f()f任取 ，)121221,0xRxx()()()2yfffff. 4(1x ， ，即 .00,y在 上是减函数. ()fx由条件知， ， 3(1)(1)2()fxff设 ，则 ，即 ，2t20tft2()
12、10ftft整理，得 ， ，80ftf4而 ，不等式即为 ，()(),()(又因为 在 上是减函数， ，即 ，xR12t21x8 / 8，从而所求不等式的解集为 ，或 .203x |10x23x11.答案：见解析分析： 令 则 (1)0,ab2()0ff()f()f任取 ，则 22x211,0xx 11()()fff2()ff 在 上是增函数R8又 ， 在 上递增(3) 222)()3fxfxfx1(0)ffxR 由 得：0012.答案：见解析分析：设 ，且 ，则 ，由条件当 时， ，所以,xR12x12x0x()0fx21()f又 ，所以 为增函数.2 11 () () ()ffffff令 ，则y0f又令 得 ，所以 .即 为奇函数.xx(x所以 (1),()2()4fff所以 在 上的值域为 .2,13.答案： 见解析()(2)|36x分析： 由题意得 ，进一步得到1(1)(1)2(1fff)0.()20f不等式化为 2()3)fx()f(3)2(6)fxfffx 是 上的增函数解得fx0,|6x
