1、椭 圆【教学目标】 （1）掌握椭圆的定义（2）掌握椭圆的几何性质（3）掌握求椭圆的标准方程【教学重难点】 （1）椭圆的离心率有关的问题（2）椭圆焦点三角形面积的求法【教学过程】一、知识点梳理知识点一：椭圆的定义平面内一个动点 到两个定点 、 的距离之和等于常数()，这个动点 的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。注意：若 ，则动点 的轨迹为线段 ；若 ，则动点 的轨迹无图形。知识点二：椭圆的标准方程1当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中；2当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中；注意：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭
2、圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中，都有 和 ；3椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为 ， ；当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为 ， 。知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆 的的简单几何性质（1）对称性对于椭圆标准方程 ，把 x 换成x，或把 y 换成y，或把 x、y 同时换成x、y，方程都不变，所以椭圆 是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。讲练结合：（2）范围椭圆上所有的点都位于直线 x=a 和 y=b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|a，|y|b。（3）顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆
3、的顶点。椭圆 （a b0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 A1（a，0） ，A 2（a，0） ，B 1（0，b） ，B 2（0，b） 。线段 A1A2，B 1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A 1A2|=2a，|B 1B2|=2b。a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用 e 表示，记作 。因为 ac 0，所以 e 的取值范围是 0e1。e 越接近 1，则 c 就越接近 a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于 0，c 就越接近 0，从而 b 越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当 a=b 时，c=0，
4、这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 x2+y2=a2椭圆 的图像中线段的几何特征（如下图）：（1） ， ， ；（2） ， ， ；（3） , ， ；知识点四：椭圆 与 （ab0）的区别和联系标准方程图形焦点 ， ，焦距范围 ， ，性质对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称顶点 ， ，轴 长轴长= ，短轴长= 离心率准线方程焦半径 ， ，注意：椭圆 ， （ab0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有 ab0 和 ，a 2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。二、考点分析考点一：椭圆的定义【例 1】方程 化简的结果是 。1022yxyx【例 2】已知 F1(-8
5、，0)，F 2(8，0)，动点 P 满足|PF 1|+|PF2|=16，则点 P 的轨迹为（ ）A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线【变式训练】已知椭圆2169xy=1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另一焦 点距 离 为 。考点二：求椭圆的标准方程【例 3】若椭圆经过点(5，1)，(3，2) 则该椭圆的标准方程为 。【例 4】 的底边 ， 和 两边上中线长之和为 30，求此三角形重心ABC16ACB的轨迹和顶点 的轨迹G【例 5】求以椭圆 的焦点为焦点，且经过点 的椭圆的标准方程2954xy(2,6)M【变式训练】1、焦点在坐标轴上，且 ， 的椭圆的标准方程为 213a2
6、c。2、焦点在 轴上， ， 椭圆的标准方程为 。x1:ba6c3、已知三点 P（5，2） 、 （6，0） 、 （6，0） ，求以 、 为焦点且过点 P 的椭圆F2F1F2的标准方程；4、已知 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 到两焦点的距离分别为 和 ，PP3542过 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程考点三：利用标准方程确定参数【例 6】若方程 + =125xk3y（1）表示圆，则实数 k 的取值是 .（2）表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 .（3）表示焦点在 y 型上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 .（4）表示椭圆，则实数 k 的取值范围是 .【
7、例 7】椭圆 的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦2510x点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 。【变式训练】1、椭圆 的焦距为 ，则 = 。214xym2m2、椭圆 的一个焦点是 ，那么 。52k),0(k考点四：离心率的有关问题一、求离心率1、用定义（求出 a,c 或找到 c/a）求离心率（1）已知椭圆 : 的两个焦点分别为 ,且椭圆C21,(0)xyab12(,0)(F经过点 .则椭圆 的离心率 。4(,)3P（2 ）设 12F是椭圆2:1(0)xyEab的左、右焦点， P为直线 32ax上一点， 21P是底角为 30的等腰三角形，则 E的离心率为（ ）()A()B 2 ()
8、C ()D（3）椭圆21xyab（ab0）的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1，F 2。若|AF1|，|F 1F2|， |F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 _.（4）在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 ，焦点到相应准线距离为 1，则2该椭圆的离心率为 。2、根据题设条件构造 a、c 的齐次式方程，解出 e。2 20()0ncmancpmpa（1）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A. 54B. 53C. 52D. 51（2）在平面直角坐标系 中,椭圆 的标准方程为 ,右焦点为xOyC)0,(12bayx,右准线为 ,短轴的一个
9、端点为 ,设原点到直线 的距离为 , 到 的距离为 ,FlBBF1dl2d若 ,则椭圆 的离心率为_.126d（3）设椭圆的两个焦点分别为 F1.F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若三角形F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 。二） 、求离心率的范围（关键是建立离心率相关不等式）1、直接根据题意建立 不等关系求解. ,ac（1）椭圆 的焦点为 ， ，两条准线与 轴的交点分别为21(0)xyb1F2x，若 ，则该椭圆离心率的取值范围是 。MN， 12F（2）已知 为椭圆 的焦点， 为椭圆短轴上的端点，21, 02bayxB，求椭圆离心率的取值范围 。1212BF2、借助平
10、面几何关系（或圆锥曲线之间的数形结合）建立 不等关系求解,ac设 分别是椭圆 （ ）的左、右焦点，若在其右准线上存在 使12，21xyab0a ,P线段 的中垂线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是 。1PF23、利用圆锥曲线相关性质建立 不等关系求解.（焦半径或横纵坐标范围建立不等式）,c（1）椭圆 （a 0,b0）的两个焦点为 F1、F 2,若 P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF2|,2xyb则椭圆离心率的取值范围为 。（2）已知椭圆 右顶为 A,点 P 在椭圆上，O 为坐标原点，且 OP 垂21(0)xyab直于 PA，求椭圆的离心率 e 的取值范围 。（3）椭圆 和圆 （其中 为椭圆
11、半焦距）有四）（ 012bayx22cbyx个不同的交点，求椭圆的离心率的取值范围 。考点五：椭圆焦点三角形面积公式的应用【例 14】已知椭圆方程 ，长轴端点为 ， ，焦点为 ， ，012bayx 1A21F2是椭圆上一点， ， 求： 的面积（用 、 、 表P1PA21F21PFab示） 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角 的两邻边，从而利用 求面积CSsin【变式训练】1、若 P 是椭圆 上的一点， 、 是其焦点，且16402yx1F2，求 的面积.6021F21F2、已知 P 是椭圆 上的点， 、 分别是椭圆的左、右焦点，若1925yx1F2，则 的面积为（ ）|21F21PA. B.
12、C. D. 3333课后作业：一、选择题1 已知 F1(-8，0)，F 2(8，0)，动点 P 满足|PF 1|+|PF2|=25，则点 P 的轨迹为( )A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线3 已知方程 表示椭圆，则 k 的取值范围是( )211xykA -10 C k0 D k1 或 k-117、椭圆 =1 与椭圆 =(0)有（ ） 32xy2x3y(A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对18、椭圆 与 （0k9）的关系为（ ） 1925yx125yx(A)相等的焦距 (B)相同的的焦点 (C)相同的准线 (D)有相等的长轴、短轴二、填空题2、椭圆 左右焦点
13、为 F1、F 2，CD 为过 F1 的弦，则 CDF1 的周长为_2169xy4、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为 10，短轴长为 6 (2)长轴是短轴的 2 倍，且过点(2 ，1) (3) 经过点(5，1)，(3， 2) 5、若ABC 顶点 B、C 坐标分别为 (-4，0)，(4，0) ，AC 、AB 边上的中线长之和为 30，则ABC 的重心 G 的轨迹方程为_6.椭圆 的左右焦点分别是 F1、F 2，过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于21(0)xyabP 点。若F 1PF2=60，则椭圆的离心率为_ _7、已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆
14、的的离心率为_ _椭圆方程为 _.8 已知椭圆的方程为 ，P 点是椭圆上的点且 ,求 的面积 2143xy1260FP12F9.若椭圆的短轴为 AB，它的一个焦点为 F1，则满足ABF 1 为等边三角形的椭圆的离心率为 10.椭圆 上的点 P 到它的左焦点的距离是 12，那么点 P 到它的右焦点的距离13602yx是 11已知椭圆 的两个焦点为 、 ，且 ，弦 AB 过点 ，)5(2ayx1F28211F则 的周长2ABF。13、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为 ,那么这个椭圆的方程为 4x。14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率 = .e15、椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,准线方程为 ,椭圆上一点到两焦点的距离分别18y为 10 和 14,则椭圆方程为 _。16.已知 P 是椭圆 上的点,若 P 到椭圆右准线的距离为 8.5,则 P 到左焦点的距90259yx离为 。 19、椭圆 上一点 P 到左准线的距离为 2，则点 P 到右准线的距离为 126yx。20、点 为椭圆 上的动点, 为椭圆的左、右焦点,则 的最小值P1625yx21F21PF为_ ,此时点 的坐标为_。.
