1、 常微分方程2.11. ,并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解.xyd2解：对原式进行变量分离得 。故 它 的 特 解 为 代 入 得把即两 边 同 时 积 分 得 ：eexxyc yxcyyy2 2,1 1,0,ln, 2 并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解 .,0)(.2dyx解：对原式进行变量分离得： 。 故 特 解 是时 ， 代 入 式 子 得。 当时 显 然 也 是 原 方 程 的 解当 即时 ， 两 边 同 时 积 分 得 ；当xy cyx xyxx 1ln ,11,00 ln,ln,123 yxdy32解：原式可化为： xy xyc ccdxyxydx 22 22323
2、2)1( )1(),0(lnllnl11,0 ）故 原 方 程 的 解 为 （ 即两 边 积 分 得 故 分 离 变 量 得显 然 .0;ln,ln, 010)()1(4 xycxycx dyxyd故 原 方 程 的 解 为 即两 边 积 分 时 ， 变 量 分 离是 方 程 的 解 ， 当或解 ： 由：10ln1l, 0l)ln(:931:8.coslnsil07lnsgarcisn1sg1,)1(,6ln)1l(21,0)()(:532 22222cdxydxyycudxyuxydxcyydxxtgdyctgxdtycxxyudxuxdudxuyydxcxarctgududxuxdyuxy
3、yxeeexxx两 边 积 分解 ： 变 量 分 离： 。代 回 原 变 量 得 ：则 有 ：令解 ： 方 程 可 变 为 ：解 ： 变 量 分 离 ， 得两 边 积 分 得 ：解 ： 变 量 分 离 ， 得 ： 也 是 方 程 的 解 。另 外 ，代 回 原 来 变 量 ， 得两 边 积 分 得 ： 分 离 变 量 得 ： 则 原 方 程 化 为 ：解 ： 令： 。两 边 积 分 得 ： 变 量 分 离 ， 得 ：则令解 ：cxyarctgcxartgdxtdtydxycdxydxyexy )(,11,.1222)(代 回 变 量 得 ： 两 边 积 分变 量 分 离 得 ：原 方 程 可
4、变 为 ： 则解 ： 令两 边 积 分 得 ：解 ： 变 量 分 离 ，12 2)(1yxd解 cxyarctgyx cxartgdtdtytx )(1 12 2， 代 回 变 量， 两 边 积 分变 量 分 离 ， 原 方 程 可 变 为， 则令变 量 分 离 ， 则 方 程 可 化 为 ：令 则 有令 的 解 为解 ： 方 程 组 UdXUXYYyx yxyxd 21,31, 31,;012,02.13 .7)5(7217)(,1,52,14)(22 cxyxct dxttdxdxtyyxd 代 回 变 量两 边 积 分 变 量 分 离原 方 程 化 为 ： 则解 ： 令15 1842xd
5、y原 方 程 的 解 。 ， 是， 两 边 积 分 得分 离 变 量 ， 所 以求 导 得， 则 关 于令解 ： 方 程 化 为 cxyarctgdxu udxudyyx yxx 6)382(941 491412)(622 2216 256yxdy解： ， 则 原 方 程 化 为， ， 令 uyxyd 3233232 )()，这是齐次方程，令1262xuxudcxyx cxyy xzdzzz yz zxzxzdzx15373 33 53722 3322)()( 02,)2(1063 )1.(66 的 解 为 时 。 故 原 方 程包 含 在 通 解 中 当或， 又 因 为即 （ ， 两 边 积
6、 分 的 （时 ， 变 量 分 离当 是 方 程 的 解 。或） 方 程 的 解 。 即是 （或， 得当 ， ， 所 以， 则17. yxdy32解：原方程化为 123;)12(32yxdyyxd令 ).(;,22uvvxuy则方程组 ， ，） ； 令，的 解 为 （ 111013 uYZ则有 zydyz 231023） 化 为， ， ， ， 从 而 方 程 （令 )2.(3223， ， ， 所 以， ， 则 有 tdzttdztdztyzyt 当 是 原 方 程 的 解或的 解 。 得， 是 方 程时 ， ， 即 222 )2(10 xyxytt 当 cxydztt 52222 )(13 两
7、 边 积 分 的时 ， ， 分 离 变 量 得另外cxyxyxy 52222 )( 原 方 程 的 解 为， 包 含 在 其 通 解 中 ， 故， 或， 这 也 就 是 方 程 的 解 。， 两 边 积 分 得分 离 变 量 得 ， 则 原 方 程 化 为令解）（并 由 此 求 解 下 列 方 程可 化 为 变 量 分 离 方 程 ，经 变 换证 明 方 程cyxdxuuuyxdyduxyfyx 4ln142 21)2(1xy() 0.x,c2。0y,c2。, dx1u),(ux1du,xy y0sy0。:(1) u)(fx1)(fu1)(fduf(),uy yd。,dy2).()1)(8.4
8、2 33 2219. 已知 f(x) .x xfxdtf0 )(,01)( 的 一 般 表 达 式试 求 函 数解：设 f(x)=y, 则原方程化为 两边求导得xydtf01)( 12ycxyycxdyxdy 21;2;1;33 所 以两 边 积 分 得代 入把 cx21xtf0)(xycxcxcxdtcx 21,02)2(;2210 所 以得20.求具有性质 x(t+s)= 的函数 x(t),已知 x(0)存在。)(1sxt解：令 t=s=0 x(0)= = 若 x(0) 0 得 x =-1 矛盾。)0()0(22所以 x(0)=0. x(t)= )(1)0()1(lim)(lim22txt
9、xttx两边积分得 arctg x(t)=x(0)(1)0(2txdtxdttxd)0(1)(2t+c 所以 x(t)=tgx(0)t+c 当 t=0 时 x(0)=0 故 c=0 所以x(t)=tgx(0)t习题 2.2求下列方程的解1 =dxysin解： y=e ( e )dxdxc=e - e ( )+c21osi=c e - ( )是原方程的解。xxcsn2 +3x=edtt2解：原方程可化为： =-3x+edtt2所以：x=e ( e e ) 3dt3c=e ( e +c)t51t=c e + e 是原方程的解。t3t23 =-s +dtstcotsin解：s=e ( e )tds2
10、1dt3c=e ( )tsintsinc= e ( )tsiettsisi= 是原方程的解。1insitct4 ， n 为常数.dxyxe解：原方程可化为： dynxe)(cdxxn是原方程的解.)ce5 + =dxy120解：原方程可化为： =-dxy12( )dxe2cdx2)1(ln1lnx= 是原方程的解.2xce6 dxy234解： 234y= +23x令 则 =uyuuydxyu因此： =dx21u2cx3（*）u将 带入 （*）中 得： 是原方程的解.xy343cxy332() 21()227.(1),() )1()dxPxd PxddyxQeeQc(x)d23解 ：方 程 的
11、通 解 为 ： y=+*+ (x)2321)1,()()dycdyxxyQeQydc24P(y)Py)d()x = 即 ： c+为 方 程 的 通 解 。8.解 ：则 = 方 程 的 通 解 为 ： x=2331*2ycy 即 x=+c是 方 程 的 通 解 ， 且 =0也 是 方 程 的 解 。() ()()19.,() )01adxPxPxdxdadyxQeeQca为 常 数解 ： （方 程 的 通 解 为 ： y=+1 当 时 ， 方 程 的 通 解 为 yxln/c 当 时 ， 方 程0a的 通 解 为 =+l/-1当 ， 时 ， 方 程 的 通 解 为x yc- 331() ()()
12、310.,() )*dxPxdPxdPxddyxxQeeQccxc3解 ：方 程 的 通 解 为 ： y=1 4方 程 的 通 解 为 ： y=2232332331.()(),()pxxdpxpxdyxyxydyzPQeedQce -解 ：两 边 除 以令方 程 的 通 解 为 ： z= 221),0xcyy 故 方 程 的 通 解 为 ： (且 也 是 方 程 的 解 。2121()()222ln12.(ln)4lnlnl, )ln1(PxdPxdyxdxdyxyyzdxQzecx解 ： 两 边 除 以 令方 程 的 通 解 为 ：2ln)l14l:(),4xdccxcyx方 程 的 通 解
13、 为 且 =0也 是 解 。13 2()1xydxdy这是 n=-1 时的伯努利方程。两边同除以 ，1y2dyx令 2zdyx1dyxP(x)= Q(x)=-12由一阶线性方程的求解公式 22()dxdxzec= 2cyx14 23de两边同乘以 y2()3yydexx令 yezy这是 n=2 时的伯努利方程。223dxz两边同除以 令22213dzx1Tz2dTxzTP（x）= Q(x)=321x由一阶线性方程的求解公式 3321()dxdxTec= 3= 132xc()z13yexc2y3xec15 31dyx3y这是 n=3 时的伯努利方程。两边同除以 3x3321dxy令 2z3y=
14、P(y)=-2y Q(y)=32dyx32z 32y由一阶线性方程的求解公式223()ydydzeec= 22= 21yce22(1)yxce222y y2()excx16 y= + 0ytd()xdeyP(x)=1 Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式xe11()dxdyec= ()xec0()xecdc=1y= ()xec17 设函数 (t)于 t 上连续， (0)存在且满足关系式 (t+s)= (t) (s)试求此函数。令 t=s=0 得 (0+0)= (0) (0) 即 (0)= 故 或2(0)()0()1（1） 当 时 即 (0)()ttt, )t(2) 当 时 =(0)1 0()(
15、)limtt0()()litt= =0()1)tt0()(0)limttt= (0)t于是 变量分离得 积分 (0)dtt()dt(0)tce由于 ，即 t=0 时 1= c=1110ce故 (0)tte20.试证：（1）一阶非齐线性方程（ 2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3 ）之解；（2）若 是（2.3）的非零解，而 是（2.28）的解，则方程()yx()yx:（2.28）的通解可表为 ，其中 为任意常数.()cyx:c（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证明： （2.28）()dyPxQ（2.3）（1） 设 ， 是（2.28）的任
16、意两个解1y2则 （1）1()()dPxyQ（2）22（1）-（2 ）得1212()dyPxy即 是满足方程（2.3）12所以，命题成立。（2） 由题意得：（3）()dyxPy（4）()()xQx:1）先证 是（2.28）的一个解。yc:于是 得34()()cdycPxyQxx:()():故 是（2.28）的一个解。yc:2）现证方程（4）的任一解都可写成 的形式cy:设 是(2.28)的一个解1y则 （4 ）1()()dPxyQ于是 （4 ）- （4）得11()()dyxy:从而 ()1Pdce:即 y所以，命题成立。（3） 设 ， 是（2.3）的任意两个解3y4则 （5）3()dPxy（6
17、）44于是（5） 得 c33()dcPxy即 其中 为任意常数33()(dyx也就是 满足方程（2.3）3yc（5） （6 ）得3434()()dPxyx即 (y也就是 满足方程（2.3）34所以命题成立。21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。（5） 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6） 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；解：设 为曲线上的任一点，则过 点曲线的切线方程为(,)pxyp()YyXx从而此切线与两坐标轴的交点坐标为 (,0)()yxy即 横截距为 ，yx纵截距为 。由题意得：（5） 2yx方程变形为2dxy1于是 1(
18、)dxdxyeclnln(1()xdxc:()xc2所以，方程的通解为 。2yxc（6） xy方程变形为 2dx1y于是 1()22(dxdxeec11lnln22()xx1122()xdxc1122():12xc所以，方程的通解为 。12yxc22求解下列方程。（1） 0)(2xy解： 122y)(12122cexedxdx= /1/1222 cdxxx= /232=cx/12（2） 3sinosin0yy2icodxxP(x)= Q(x)=1sinx2sincx由一阶线性方程的求解公式 112sincosincoi()dxdxyee= i)s= in(cox= sitg习题 2.31、验证
19、下列方程是恰当方程，并求出方程的解。1. 0)2()(2dyxyx解： ， =1 .1MN则 xy所以此方程是恰当方程。凑微分， 0)(2xdyydx得 ： C312 )4()(2yxxy解： ， .1MN则 .xy所以此方程为恰当方程。凑微分， 0432ydxdyx得 C233 0)(1)( 22dyxydxy解： 34)(2)()1yxM342)()(2yxyxxN则 .因此此方程是恰当方程。（1）xyxu1)(2（2）2)(对（1）做 的积分，则x )(1)(2ydxyxu= （3）)(ln对（3）做 的积分，则y dyyxyu)()(212= d)(2= 2)(1yx则 1)()(2)
20、(1)( 22 yyxyddln)( yxyxyxyu lnll 222故此方程的通解为 Cln4、 0)2(3)3(22dyxdxy解： ， .yM1N1.xNy则此方程为恰当方程。凑微分， 036462232 dyxdxy0)()(32xd得 ： Cy3245.( sin - cos +1)dx+( cos - sin + )dy=0y1x2x1y2x21y解： M= sin - cos +1 N= cos - sin +y2x2x2y=- sin - cos - cos + sinM21x3y21y3=- sin - cos - cos + sinxN2y32x3x所以， = ，故原方程
21、为恰当方程x因为 sin dx- cos dx+dx+ cos dy- sin dy+ dy=0y12yx1y2xy21d(-cos )+d (sin )+dx+d(- )=0xxy所以，d(sin -cos +x - )=0y1故所求的解为 sin -cos +x - =Cxy求下列方程的解：62x(y -1)dx+ dy=02xe2x解： = 2x , =2xyM2xexN2xe所以， = ，故原方程为恰当方程x又 2xy dx-2xdx+ dy=02e2xe所以，d(y -x )=02xe故所求的解为 y -x =C2x7.(e +3y )dx+2xydy=0x2解：e dx+3y dx
22、+2xydy=0e x dx+3x y dx+2x ydy=0223所以，d e ( x -2x+2)+d( x y )=02即 d e ( x -2x+2)+ x y =023故方程的解为 e ( x -2x+2)+ x y =C2328. 2xydx+( x +1)dy=02解：2xydx+ x dy+dy=0d( x y)+dy=02即 d(x y+y)=0故方程的解为 x y+y=C29、 dydy解：两边同除以 得2xdxyx2即， dyarctgd故方程的通解为 cxytar10、 03dyxy解：方程可化为： ydx2即， yd故方程的通解为： 即：cyx21cyx2同时，y=0
23、 也是方程的解。11、 01xdyy解：方程可化为： dxy1即：dxyxd1故方程的通解为： cxy1ln12、 02xdyy解：方程可化为： dx2xyd故方程的通解为 ： 即：xcxcy13、 02xdyx解：这里 ，NM, xNyM方程有积分因子xy1 xed1两边乘以 得：方程 是恰当方程022yxdx故方程的通解为： cdyx 2cyx3即： 2314、 0cossinco dyxdyxyx解：这里 yxNyxyxMcos,sinco因为 Nyi故方程的通解为： cdyxyxyxdxyyx sincocossinco即： i15、 odyxydxy cssinsco解：这里 NMi
24、,ixNM方程有积分因子： 两边乘以 得：1xNy yde方程 为恰当方程0cossinsincoxyedxey故通解为 ：cdyxyeNdxye sincosinco即： yyy cs1i16、 05324xdyxd解：两边同乘以 得：y352423 yxxy0534d故方程的通解为： cyx532417、试导出方程 具有形为 和0),(),(dYXNM)(xy的积分因子的充要条件。)(yx解：若方程具有 为积分因子，)(yx（ 是连续可导）NyM)( )(x)(NyxNy令 )1(z， .dx zy，)(MNzdM，)()(yx， NMddzxdz)(方程有积分因子 的充要条件是： 是 的
25、函数，)(yxNMyx此时，积分因子为 .dze)(令)2(yxz，dz dzxyz)(MxNydzMx)()( yNyMxd此时的积分因子为 dzNyMxe)(18. 设 及 连续,试证方程 为线性方程的充要),(yxff0),(dxyf条件是它有仅依赖于 的积分因子.x证:必要性 若该方程为线性方程,则有 ,)(xQyPdx此方程有积分因子 , 只与 有关 .dxPe)()(充分性 若该方程有只与 有关的积分因子 .)(则 为恰当方程 ,0),()(dxyfdyx从而 , ,()(xyf.)()()()( QyPxQdyxf 其中 .于是方程可化为)(P 0)(dxxd即方程为一阶线性方程
26、.20.设函数 f(u)，g(u)连续、可微且 f(u) g(u),，试证方程 yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有积分因子 u=(xyf(xy)-g(xy) 1证：在方程 yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 两边同乘以 u 得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0则 =uf+uy +yf = + -yfyufyfu)(gfxy)(fxy22)()(gfyxyxf= =2)(gfxy2)(gfxyxyf= 2)(f而 =ug+ux +xg = + - xgxugxu)(gfxy)(fxy22)()(gfyxxyf= =2)(gfxyff2)(f故 = ，所以 u 是方程得一个积分
27、因子u21假设方程（2.43）中得函数 M（x,y）N(x,y)满足关系 =xNyMNf(x)-Mg(y),其中 f(x),g(y)分别为 x 和 y 得连续函数，试证方程（ 2.43）有积分因子 u=exp( + )dxf)(g(证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0即证 u +M =u +NxNyuM)()(yxNuu( - )=N - M u( - )=Ne f(x) dygxf)()(-M e g(y) u( - )=e (Nf(x)-Mg(y)dygxf)()( yxNdygxf)()(由已知条件上式恒成立，故原命题得证。22、求出伯努利方程的积分因子.解：已知伯努利方程为：
28、;,oyxQyPdxn两边同乘以 ，令 ，nynz线性方程有积分因子：,11xQnzxPndxz，故原方程的积分因子为：dPdee，证毕！xnxPn1123、设 是方程 的积分因子，从而求得可y, 0,dyNyM微函数 ，xU使得 试证 也是方程 的.dydyx,0,dyxNyxM积分因子的充要条件是 其中 是 的可微函数。Ut证明：若 ，则uNuy yuy 又yMuNyMxx即 为 的一个积分因子。0,dxx24、设 是方程 的两个积分因子，y210,dyxNy且 常数，求证 （任意常数）是方程2 c21的通解。0,dyxNyxM证明：因为 是方程 的积分因子210,dyxNyxM所以 为恰当方程oxii 21i即 ，xyNiii ,i下面只需证 的全微分沿方程恒为零21事实上：
