1、2.8 函数与方程1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数 yf(x ) (xD)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf (x) (x D)的零点(2)几个等价关系方程 f(x)0 有实数根 函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数yf (x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数 yf(x )在区间a， b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0)的图象与零点的关系3.二分法(1)定义：对于在区间 a，b 上连续不断且 f(a)f(b)1 时，f(x)2 xlog0.5x12 xlog2x1，令 f(x)0 得 log2x x，(12)由 ylog 2
2、x，y x 的图象知在(1，)上有一个交点，即 f(x)在(12)(1，) 上有一个零点，故选 B. 3(2013 重庆 )若 a0，f(b)(b c)(ba)0.因此有 f(a)f(b)0.f(x)在其定义域上是严格单调递增函数f( )e 40，14 12f( )f( )1 时，f(x) 单调递减，因为 f(3)ln 310，f(4)ln 421 时，方程 f(x)f (a)的实根个2x数为_思维启迪 (1)函数零点的确定问题；(2)f(x)f( a)的实根个数转化为函数 g(x)f(x) f (a)的零点个数答案 (1)C (2)3解析 (1) 当 x0 时，f(x)0.又因为 x0,4，
3、所以 0x 2 16.因为 50 ，h(x )在区间 (，0)和(0，a)各有一个零点因此，g(x)有三个零点，即方程 f(x)f(a) 有三个实数解思维升华 函数零点的确定问题，常 见的有函数零点值大致存在区间的确定，零点个数的确定，两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判断或数形结合法(1)函数 f(x)2 x3x 的零点所在的一个区间是( )A( 2，1) B(1,0)C (0,1) D(1,2)(2)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2) f(x)，且当 x0,1时，f(x)x ，则函数 yf( x)log 3|x|的零点个
4、数是( )A多于 4 个 B4 个C 3 个 D2 个答案 (1)B (2)B解析 (1) f(x)2 xln 230 ，f(x)2 x 3x 在 R 上是增函数而 f( 2) 22 60，f(1)2350，f(2)2 2 6100，f( 1)f(0)0，89 89即 f(x)0 有两个不相等的实数根，若实数 a 满足条件，则只需 f(1)f(3) 0 即可f(1)f(3) (13a2a1)(99a6a1)4(1 a)(5 a1)0，a 或 a1.15检验：(1) 当 f(1)0 时，a1，所以 f(x)x 2x .令 f(x)0，即 x2x 0，得 x0 或 x1.方程在1,3上有两个实数根
5、，不合题意，故 a1.(2)当 f(3) 0 时，a ，此时 f(x)x 2 x .15 135 65令 f(x)0，即 x2 x 0，解得 x 或 x3.135 65 25方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故 a .15综上所述，a1.15思维升华 解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组已知 f(x)x 2(a 21)x (a2)的一个零点比 1 大，一个零点比 1 小，求实数 a 的取值范围 解 方法一 设方程 x2(a 21) x(a2)0 的两根分别为x1，x 2(x10)，
6、则原方程可变为 t2ata10，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根令 f(t)t 2ata1.若方程(*)有两个正实根 t1，t 2，则Error!解得10)，22x 12x 1则 a t2 1t 1 (t 2t 1 1)2 ，其中 t11，t 1 2t 1由基本不等式，得(t1) 2 ，当且仅当 t 1 时取等2t 1 2 2号，故 a22 .2思维升华 对于“af(x) 有解”型问题，可以通过求函数 yf(x)的值域来解决已知定义在 R 上的函数 yf (x)满足 f(x2) f (x)，当10)e2x(1)若 yg(x )m 有零点，求 m 的取值范围；(2)确定 m 的取值范围，使
7、得 g(x)f(x) 0 有两个相异实根思维启迪 (1)y g( x)m 有零点即 yg(x)与 ym 的图象有交点，所以可以结合图象求解；(2)g(x)f( x)0 有两个相异实根 yf(x)与 yg( x)的图象有两个不同交点，所以可利用它们的图象求解规范解答解 (1) 方法一 g(x)x 2 2e ，e2x e2等号成立的条件是 x e，故 g(x)的值域是 2e，)，3 分因而只需 m2e，则 yg(x)m 就有零点6 分方法二 作出 g(x)x (x0)的大致图象如图3 分e2x可知若使 yg(x)m 有零点，则只需 m2e.6 分(2)若 g(x)f(x)0 有两个相异实根，即 g
8、(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点，作出 g(x) x (x0)的大致图象如图8 分e2xf(x)x 22e xm1(xe) 2m1e 2.其图象的对称轴为 xe ，开口向下，最大值为 m1e 2.10 分故当 m1e 22e，即 me 22e1 时，g(x )与 f(x)有两个交点，即 g(x)f (x)0 有两个相异实根m 的取值范围是(e 22e1，)12 分温馨提醒 (1)求函数零点的值，判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数，利用数形结合的方法进行求解(2)本题的易错点是确定 g(x)的最
9、小值和 f(x)的最大值时易错要注意函数最值的求法.方法与技巧1函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理；(2) 数形结合；(3)解方程 f(x)0.2研究方程 f(x)g( x)的解，实质就是研究 G(x)f (x)g( x)的零点3转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题 失误与防范1函数 f(x)的零点是一个实数，是方程 f(x)0 的根，也是函数yf(x)的图象与 x 轴交点的横坐标 2函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.A 组 专项
10、基础训练一、选择题1方程 log3xx 30 的解所在的区间是( )A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案 C解析 设 f(x)log 3xx3，则 f(2)log 3210，f(x)0 在(2,3)有零点，又 f(x)为增函数，f(x)0 的零点在(2,3) 内2方程|x 22x |a 21(a0)的解的个数是( )A1 B2 C3 D4答案 B解析 (数形结合法)a0，a 211.而 y| x22x|的图象如图，y| x22x|的图象与 ya 21 的图象总有两个交点3若关于 x 的方程 x2mx10 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A( 1,1) B
11、(2,2)C (，2)(2 ，) D(，1)(1 ，)答案 C解析 方程 x2mx10 有两个不相等的实数根，m 2 40，m2 或 m0，12 12且 f(x)为单调递增函数故 f(x)2 x x 的零点 a(1,0)g(2) 0， g(x)的零点 b2；h 1 0，(12) 12 12且 h(x)为单调递增函数，h(x )的零点 c ，因此 a0 时，f (x)2 015xlog 2 015x，则在 R 上，函数 f(x)零点的个数为_ 答案 3解析 函数 f(x)为 R 上的奇函数，因此 f(0)0，当 x0 时，f(x)2 015xlog 2 015x 在区间(0， )内存在一个零点，
12、又 f(x)为增12 015函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0) 内有且仅有一解，从而函数 f(x)在 R 上的零点的个数为 3.7已知函数 f(x)Error! 若函数 g(x)f(x ) m 有 3 个零点，则实数m 的取值 范围是_ 答案 (0,1)解析 画出 f(x)Error!的图象，如图由于函数 g(x)f( x)m 有 3 个零点，结合图象得：00 的解集是_ 答案 x | 0，即(4x 22x6)0 2x2x30)，则 t2 mt10.当 0，即 m240，m2 时，t1；m2 时，t1(不合题意，舍去) ，2 x 1，x0 符合题意当 0，即 m2 或 m 时，12a 12须使Error!即Error!解得 a1，a 的取值范围是1，)
