1、函数的对称性知识梳理一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转 180 度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） 常数函数;一次函数;二次函数;反比例函数;指数函数;对数函数;幂函数;正弦函数;正弦型函数 既是轴对称又是中心对称;余弦函数;正切函数;耐克函数;sin()yAx绝对值函数：这里主要说
2、的是 和 两类。前者显然是偶函数，它会关于 轴对称;后者是(|)yfx|()|yfx y把 轴下方的图像对称到 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如 就没有对称xx |lnx性，而 却仍然是轴对称。|sin|y形如 的图像是双曲线，其两渐近线分别直线(0,)abcdbcx dxc(由分母为零确定)和直线 (由分子、分母中 的系数确定 )，对称中心是点 。ayx(,)a二、抽象函数的对称性【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性 ，我们称其为互对称。 】1、函数 图象本身的对称性（自对称问题）)(xfy（
3、1）轴对称 的图象关于直线 对称 )(f ax)()(xaff)2()xaff)2(ff 的图象关于直线 对称.)()(xbfaf)(xfy 2)(baxax特别地，函数 的图像关于 轴对称的充要条件是 .)(f ()fx（2）中心对称 的图象关于点 对称)(xfy),(babxaff2)()(bxafx2)()。xff2 的图象关于点 对称.cbfxaf)()()(xfy),2(cba特别地，函数 的图像关于原点 对称的充要条件是 .)(xfy(0,)()0fx（3）对称性与周期性之间的联系若函数 既关于直线 对称，又关于直线 对称 ，则函数 关于无数条直线对称，相邻对()fxaxb()a(
4、)f称轴的距离为 ；且函数 为周期函数，周期 ；b()fx2T特别地：若 是偶函数，其图像又关于直线 对称，则 是周期为 的周期函数； )(fyxa()fx2a若函数 既关于点 对称，又关于点 对称 ，则函数 关于无数个点对称，相邻对称中心()fx,0a(,0)b()b的距离为 ；且函数 为周期函数，周期 ；b()fx2T若函数 既关于直线 对称，又关于点 对称 ，则函数 关于无数个点和直线对称，相邻()fx(,)()a()fx对称轴和中心的距离为 ，相邻对称轴或中心的距离为 ；且函数 为周期函数，周期 。ab 4Tba特别地：若 是奇函数，其图像又关于直线 对称，则 是周期为 的周期函数。)
5、(xfy x()fxa4典例精讲关于直线对称例 1. （）已知二次函数 满足条件 且方程 有等根，则)0()(2abxxf )3()5(xff xf)( )(xf例 2.（）已知函数 对一切实数 x 满足条件 ，已知 时， ，)(xf )3()1(xff2xf2)(求 时 的解析式.2x)(f巩固练习（自对称）1.（）已知函数 定义域为 ，且对于任意实数 满足 ，当 时，()fxRx(2)(6)ffx02，则 .2()35f(1)3f2. （）设 是定义在 上以 为周期的函数， 在 内单调递减，6()f0,3且 的图像关于直线 对称，则下面正确的结论是 （ ） yfxx.A(15)3.)(.5
6、)ff.B51.(6.5)fffC61f D(3)3. （）设函数 是定义在 上的偶函数，它的图象关于直线 对称，已知 时，)(xfR2x2,x，求 时， 的解析式.1)(2xf 2,6)(f例 3. （）已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则xyeyfxyxA B 2()xfR )0(ln2)(C De fxx例 4. （）已知函数 ，函数 与 的图像关于轴 对称，求函数 在区间2()3fx()g03()gx上的最值.34，巩固练习1.（）若函数 图像与函数 的图像关于直线 对称，则 ； )(xgy)1()2xy xy(4)g2.在同一直角坐标系中，函数 的图像与 的图像关于直线
7、对称，而函数 的图像与yxxyeyxyfx的图像关于 轴对称，若 ，则 的值是（ ）ygx1fa ； ； ； AeBeC1eDe3.若函数 的图像与对数函数 的图像关于直线 对称，则 的解析式为 )(xf xy4log0yx)(xf4.（）函数 的反函数的图象大致是101xya（A） （B） （C） （D）关于点对称例 5.（）已知函数 满足： ，则函数 的图象（ ）()yfx(2)(4fxf()yfxA关于点 对称 B关于点 对称(1,)M(0,1MC关于点 对称 D关于点 对称0 2)例 6.（）设 ，函数 的图像与函数 的图像关于点 对称求函数1a)(xf |4xxay )2,1(A的解
8、析式)(xf练习1.（） 是定义在 上的以 3 为周期的奇函数，且 ，则方程 在区间（0，6）内解的()fxR(2)0f()fx个数的最小值是（ ）A7 B3 C4 D52. （）已知函数 f(x) 的反函数的图象的对称中心是ax1(1， )，则函数 g(x) 的单调递增区间是 ；21)2(log函数对称性与周期性的联系例7.（）若函数 在 上是奇函数，且在 上是增函数，且 .)(xfR01，)()2(xfxf求 的周期；)(f证明 的图象关于点 中心对称;关于直线 轴对称, ;x(2,0)k21xk()kZ讨论 在 上的单调性；)(f1,练习1.（）设 是定义在 R 上的奇函数, 的图象关于
9、直线 ，则)(xf )(xfy21x.)5(432)1(ff2.（）已知定义在 上的奇函数 满足 ， 则 的值为（ ）()fx(2)(ffx(6)f(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)23.（）设 是定义在 R 上的偶函数，且 ，当 时， ，则)(xf )()(xff 01xxf21)(_)6.8(f练习1. 函数 与函数 的图象关于关于 _对称。(1)yfx1yfx2. 设函数 的定义域为 R，且满足 ，则 的图象关于_对称。f (1)ffx()yfx3. 设 的定义域为 R，且对任意 ，有 ，则 图象关于_对()yfxx(2)ff2)f称， 关于_对称。4. 已知函数 对一切实数 x
10、满足 ，且方程 有 5 个实根，则这 5 个实根之()yfx(4)fxf()0fx和为（ ） A、5 B、10 C、15 D、185. 函数 定义域为 R，且恒满足 和 ，当()yfx(2)fxfx(6)ffx时， ，求 解析式。261()2f()f总结现在，总结一下本节课的收获吧？ 函数图像的对称性1、(1) 一个图关于点对称：()奇函数关于原点对称() 的图象关于点 对称cxbfaf2)()()(xfy(,)2abc(2) 一个图关于直线对称：()偶函数关于 轴对称y() 关于直线 对称2()()0)fxfax(3) 两个图关于点对称 () 关于原点对称的函数： ，yf,xy即 ()() 关于 对称的函数：x,ab2,aby即 2bf（4）两个图关于直线对称：函数 与 图象关于直线 对称即直线 对称。()yfa()yfx0x2bax
