1、1初等代数研究课后习题20071115033 数学院 07（1） 杨明1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即（1）对任何 ，当且仅当 时， .Nba, baa（2） ）对任何 ，在 ， ， 中有且只有一个成立.证明：对任何 ，设 ，ba,aAbB（1） “ ” ，则 ,使 ， , ,A,ab“ ” ，则 ,使 ， , B,综上 对任何 ，Nba,ab（2）由（1） 与 不可能同时成立，假设 与 同时成立，则 ,使 且 ，B, ,A与 B 为有限集矛盾， 与 不可能同时成立，,ba综上，对任何 ，在 ， ， 中有且只有一个成立Nba, 2、证明自然数的加法满足交换律.证明：对任何 设 M
2、 为使等式 成立的所有 b 组成的集合, ab先证 ，设满足此式的 组成集合 k，显然有 1+1=1+1 成立a1，设 ， ，则kk1 a1)()()， ， 取定 ，则 ，设 ，则kaNaM,bba()()bb,N对任何 ，,3、证明自然数的乘法是唯一存在的证明：唯一性：取定 ，反证：假设至少有两个对应关系 ，对 ，有a,fgb，设 是由使 成立的所有的 组成的集合，(),fbgNM()fbg设 则1N()fb()()fag， ， 即 ，()fb2乘法是唯一的存在性：设乘法存在的所有 组成集合 当 时， ，aK1abN，设 ， ，1,1bbkK有 与它对应，且 ， ，对 ，令a aba 1()
3、(bb即乘法存在aKNp245、解：满足条件的 有 ， ， ，A1,21,3A1,241,25A， ， ，1,234A6,357458基数和为1234568,234528p246、证明： ， 中的 与 中的 对应aBbAxBy，Aababp248、证明：1）3+4=7314321(3)45()5672） 3412316934p2412、证明：1） ()mn1()mn32） ()mn1(1)nmp2636、已知 对任何 满足(,)f,N(1,)(,2)1ffmnmn求证：1） (2,)f2） 33） 1(4,)nf证明：1)当 时， 结论成立，(2,)(,1)(,2)12fff假设 时，结论成立
4、，即 ，nkk当 时，1(2,)(,1)(,2)2fffkk所以对一切自然数结论都成立2）当 时， 结论成立1n(3,)(1,)(2,)21fnff假设 时，结论成立，即kk当 时，(3,1)(2,1)(2,3)fffkk所以对一切自然数结论都成立3）当 时， 结论成1n 1(4,)(31,)(,2)2fff立假设 时，结论成立，即k1(,)kf当 时，1n12(4,)(3,4)(3,2)2kkkfff所以对一切自然数结论都成立4p621、证明定理 2.1证明： ，,abcdZ,abcdabd因为自然数加法满足交换律 而 ,cc,c，abdefZ,(),()cacbdefacebdf以为自然数
5、满足加法结合律 (,)fce即整数加法满足交换律和结合律p622、已知 ，求证 的充要条件是,abcdZ,abcd,1,abd证明：“ ” 已知 则,1,cc“ ” 已知 则 ，,abd1,adbcadbc,cp624、已知 ，求证N(,),证明： ,ab,ababp625、已知 ，求证cdZ(,),cdcd证明：左边 (,),右边 ,abcacba所以左边等于右边 (),dcdp627、已知 ，求证当且仅当 时,cN证明：“ ” 已知 ，adbc,acabc因为 是负数，d,d“ ” 已知 则,c,cdc5因为 是负数，,adbcadbcp629、已知 ，求证：1） ，2） ,Z证明：设 ,
6、c1） abd()acbd而 ,c()()c c2） ,acbdc()acbdc而 ()()()()ccccabcd p6312、 名棋手每两个比赛一次，没有平局，若第 名胜负的次数各为 ，n k,k，求证：1,2.,kn222211nnab证明：对于 ，必存在一个 使得(.,)ka(,)j kjab22jb222211nnap6316、已知 ， ，求证10pcdpbc证明：由已知： 使 ，,stZ10as0dptbct()()adcptscatpp6317、设 2 不整除 ，求证 281a证明：因为 2 不整除 ，所以存在唯一一对 ，使 ，其中,qrZ2aqr602r， 1241aq24(1
7、)aq281ap6320、设 ，求证 是奇数的平方Z()(3)证明： 222(1)1(1)2()1()()()aaaa肯定一奇一偶 肯定为偶数1,a(1)2a肯定为奇数()p6322、证明：前 n 个自然数之和的个位数码不能是 2、4、7、9证明：前 n 个自然数的和为 (1)2n因为：n 个自然数的和仍为自然数1+n 与 n 中必定一个为奇数一个为偶数若个位数码为 2则 1+n 与 n 的个位数码只能是 1,4 或 4,1而（1+n）- n=1 个位数码不能为 2若个位数码为 4则 1+n 与 n 的个位数码只能是 1,8 或 8,1 也不可能成立若个位数码为 7则 1+n 与 n 的个位数
8、码有 2 种可能，则 2,7 或 1,14也不可能成立，若个位数码为 9则 1+n 与 n 的个位数码有 2 种可能，即 2,9 或 1,18也不可能成立，综上，前 n 个自然数和的个位数码不能是 2,4,7,9p6326、证明 2.3 定理 1（ ）=（ ）2,.,na12,.na证明：因为：（ ）是 的公因数中的最大数所以 R 需考虑非负整数 （ ）=（ ）12,.,n12,.nap6329、证明 2.3 定理 4 的推论 的充要条件是有 使得(,)abxyZxby证明：因为 不全为 0 (,)1ab“ ” 由定理 4 使,xyZ(,)1xyab“ ” 设 则 ， (,)dabdd(,)1
9、ab7p6330、证明 2.3 定理 6 及其推论。定理 6：若 ，则mN(,)(,)abm证明：若 都为 0，则 显然成立,ab(,)(0,)若 不全为零，则 使xyZ0(,)axby而(,)mxyabm因为 ， ,Z0xy0xyab0()xy(,)ab(,),)mab而 0,mabm,)推论：设 是 的公因数，则 的充要条件是d(/,)1d(,)d证明：“ ” 是 的公因数 , N(/aba“ ” 因为 ，使()ab,xyZxy，使,xyZ(/)(/)1db(/,)1dp6432、证明 2.3 定理七及其推论定理七：若 ， ， 中至少有一个不为 0，则(,)1acb,c(,),abc证明：
10、 中至少有一个不为 0 使b,xyZxy因为 因为 (,)c(,)(,)cac(),bc(,),c推论：若 ， ，则1ab1证明：因为 ， 不为零 (,)c,c(,),1cp6433、已知 是奇数， ，求证nnanab证明：因为 ,ab(),()ab，因为 是奇数， 2,2(,)p6436、已知 ，求证(,),d(,)abd证明： (),)ab(,d8p6440、已知 ，求证 中 的倍数的个数等于aN,2.an(,)na证明：当 时， 结论成立，(,)1n当 时， ，令 ， ，则 可改写为d1d(,)a,2.因为 所以其中一定包括11,2.aa11(),nadna都是 的倍数，共有 个np64
11、42、已知 是异于 3 的奇素数，求证p24p证明： 是异于 3 的奇素数， 为偶数，13219p其中 都为合数，且都大于 321()1,都可被 2、3 中的一个整除，若 ，则由,p2()2，因为 2,p41pp6444、已知整数 都大于 1， 是素数，求证 且 是素数,annaan证明：反证 不是素数 当 时 不是素数与已知矛盾，所以 是素数21n np6445、求不大于 50 的一切素数解：平方不大于 50 的素数是 2,3,5,7 则不大于 50 的一切素数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47p6446、求下列各数的标准分解式：1）827988
12、48 解：82798848= 8531p6449、已知整数 都大于 1，求证,abc(,)(,)acbac证明： (,)(,),()p6669、已知 是奇素数，求证 1） p23.10(mod)pp2） 13.()()p证明：1）因为 (,),.,p， ， modp2(od)p3(od)()()9123.(1)(23.(1)mod)ppp因为 ).123.(1)0(od)pp2） ， ， mod213(mod)p1()()p113.()()ppp6670、设 是相异素数，求证,qodqq证明： ， ，10(mod)pp1()p1(mod)p同理 1qq1(,)即 1()pp6672、已知 是素数， ，求证N2(1)(.()pp证明：因为 是素数，所以p1),kkN2 1()1,(),.(p因为 2().()pp6673、计算 (650)解：66150 的标准分解式为 326150702(1)37()(1)520p6674、已知整数 ，求证aa证明：设 的标准分解式为 ，其中 为素数12.np12,.np，若 显然 ，1,(2,.)i nn()a()a当 时，一定 且 为偶数，na11综上所述 时()a10
