1、函数与导数专题1.在解题中常用的有关结论（需要熟记）：(1)曲线 在 处的切线的斜率等于 ，切线方程为()yfx0 0()fx 00()()yfxfx(2)若可导函数 在 处取得极值，则 。反之，不成立。f0x(3)对于可导函数 ，不等式 的解集决定函数 的递增（减）区间。()()f（ ） ()fx(4)函数 在区间 I 上递增（减）的充要条件是： 恒成立()fx xI()f0)(5)函数 在区间 I 上不单调等价于 在区间 I 上有极值，则可等价转化为方程()fx在区间 I 上有实根且为非二重根。 （若 为二次函数且 I=R，则有 ）()0fx ()fx 0。(6) 在区间 I 上无极值等价
2、于 在区间在上是单调函数，进而得到 或()fx ()fx ()fx在 I 上恒成立0(7)若 ， 恒成立，则 ; 若 ， 恒成立，则x()fmin()fx0xI()f0max()f0(8)若 ，使得 ，则 ；若 ，使得 ，则 .0I0)fxa0()fxin(9)设 与 的定义域的交集为 D 若 D 恒成立则有()fxgx()fgmin()0fxg(10)若对 、 ， 恒成立，则 .1I2xI12()fxgminax()x若对 ， ，使得 ,则 .()fxii()f若对 ， ，使得 ，则 .1I2I12maxax()g（11）已知 在区间 上的值域为 A,， 在区间 上值域为 B，()fx1 (
3、)gx2I若对 , ，使得 = 成立，则 。1I2I1f2A(12)若三次函数 f(x)有三个零点，则方程 有两个不等实根 ，且极大值()0x12x、大于 0，极小值小于 0.(13)证题中常用的不等式: ln1(0)xln+1()x（ ） 1xe e222ln(0)x考点一：导数几何意义：角度一 求切线方程1(2014洛阳统考 )已知函数 f(x)3xcos 2xsin 2x，af ，f(x )是 f(x)(4)的导函数，则过曲线 yx 3 上一点 P(a，b)的切线方程为 ( )A3xy 20B 4x3y10C 3xy20 或 3x4y10D3xy 20 或 4x3y10解析：选 A 由
4、f(x)3xcos 2xsin 2x 得 f( x)32sin 2x2cos 2x，则af 32sin 2cos 1.由 yx 3 得 y3x 2，过曲线 yx 3 上一点 P(a，b) 的(4) 2 2切线的斜率 k3a 23 123.又 ba 3，则 b1，所以切点 P 的坐标为(1,1)，故过曲线 yx 3 上的点 P 的切线方程为 y13( x1)，即 3xy20.角度二 求切点坐标2(2013辽宁五校第二次联考) 曲线 y3ln xx2 在点 P0 处的切线方程为4x y10，则点 P0 的坐标是( )A(0,1) B(1，1)C (1,3) D(1,0)解析：选 C 由题意知 y
5、14，解得 x1，此时 41y 10，解得3xy3，点 P0 的坐标是 (1,3)角度三 求参数的值3已知 f(x)ln x，g(x) x2mx (m0，当 x(ln 2，)时， g(x)0，x 10 得，x ；a2 a6由 F (x)0)，12f(x)x 5 .6x x 2x 3x令 f(x) 0，解得 x12，x 23.当 03 时，f(x)0，故 f(x)在(0,2)，(3 ，)上为增函数；当 20，x1.当 00；当 x1 时，f(x )0，1xf(x)在区间(1 ，)上为增函数，不合题意当 a0 时， f( x)0( x0)等价于(2ax1)( ax1) 0(x0)，即 x ，1a此
6、时 f(x)的单调递减区间为 .1a， )由Error!得 a1.当 a0)等价于(2ax1)( ax1) 0(x0)，即 x ，此12a时 f(x)的单调递减区间为 . 12a， )由Error!得 a .12综上，实数 a 的取值范围是 1，) ( ， 12针对训练(2014荆州质检 )设函数 f(x) x3 x2bxc，曲线 yf (x)在点(0 ，f (0)处的切13 a2线方程为 y1.(1)求 b，c 的值；(2)若 a0，求函数 f(x)的单调区间；(3)设函数 g(x)f(x) 2x，且 g(x)在区间( 2，1)内存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围解：(1) f(x)x
7、 2ax b，由题意得Error!即Error!(2)由(1)得， f( x)x 2axx(x a)(a0)，当 x(，0)时，f (x)0，当 x(0，a)时，f( x)0.所以函数 f(x)的单调递增区间为 (，0)，(a，)，单调递减区间为(0， a)(3)g (x)x 2ax 2，依题意，存在 x(2，1) ，使不等式 g( x)x 2ax20，f(x )为(，)上的增函数，所以函数 f(x)无极值当 a0 时，令 f( x)0，得 exa，即 xln a.x( ，ln a)，f(x)0，所以 f(x)在( ，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故 f(x)在 xln a
8、 处取得极小值，且极小值为 f(ln a)ln a，无极大值综上，当 a 0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时， f(x)在 xln a 处取得极小值 ln a，无极大值针对训练设 f(x)2x 3ax 2bx1 的导数为 f( x)，若函数 yf ( x)的图像关于直线x 对称，且 f(1)0.12(1)求实数 a，b 的值；(2)求函数 f(x)的极值解：(1) 因为 f(x)2x 3ax 2bx1，故 f(x) 6x 22ax b，从而 f(x)6 2b ，(x a6) a26即 yf(x )关于直线 x 对称a6从而由题设条件知 ，即 a3.a6 12又由于 f(1)0，即 62
9、ab0，得 b12.(2)由(1)知 f(x)2x 3 3x212x1，所以 f(x)6x 26x 126(x 1)(x2)，令 f(x) 0，即 6(x1)(x 2) 0，解得 x 2 或 x1，当 x(，2)时，f(x)0，即 f(x)在(，2)上单调递增；当 x(2,1)时，f(x)0，即 f(x)在(1，)上单调递增从而函数 f(x)在 x2 处取得极大值 f(2)21，在 x1 处取得极小值 f(1)6.考点五 运用导数解决函数的最值问题典例 已知函数 f(x)ln x ax(aR)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 a0 时，求函数 f(x)在1,2上的最小值解 (1) f
10、( x) a(x0)，1x当 a0 时，f(x) a0 ，1x即函数 f(x)的单调增区间为 (0，)当 a0 时，令 f( x) a0，可得 x ，1x 1a当 00；1a 1 axx当 x 时，f(x) 0)，若函数 f(x)在 x1 处与直线 y 相切， 12(1)求实数 a，b 的值；(2)求函数 f(x)在 上的最大值1e，e解：(1) f(x) 2bx，ax函数 f(x)在 x1 处与直线 y 相切，12Error!解得Error!(2)f(x)ln x x2，f (x) x ，12 1x 1 x2x当 x e 时，令 f(x)0 得 x0)的导函数ax2 bx cexyf ( x
11、)的两个零点为3 和 0.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)的极小值为e 3，求 f(x)在区间5，)上的最大值解 (1) f( x)2ax bex ax2 bx cexex2 ， ax2 2a bx b cex令 g(x) ax2(2ab)x bc，因为 ex0，所以 yf(x) 的零点就是 g(x)ax 2(2 ab)xbc 的零点，且f( x)与 g(x)符号相同又因为 a0，所以30，即 f(x)0，当 x0 时，g(x )5f(0)，所以函数 f(x)在区间 5，)上的最大值是5e 55e5.针对训练已知函数 f(x)x 3ax 2bxc ，曲线 yf(x )在点 x1
12、 处的切线为l：3x y10，若 x 时，yf(x )有极值23(1)求 a，b， c 的值；(2)求 yf (x)在3,1上的最大值和最小值解：(1) 由 f(x)x 3ax 2bxc，得 f(x )3x 22axb.当 x1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2ab0，当 x 时， yf(x)有极值，则 f 0，可得 4a3b40，23 (23)由，解得 a2，b4.由于切点的横坐标为 1，所以 f(1) 4.所以 1abc4.所以 c5.(2)由(1)，可得 f(x)x 32x 24x5，f(x)3x 24x 4.令 f( x)0，解之，得 x12， x2 .23当 x 变化时， f(x
13、 )，f(x)的取值及变化情况如下表所示：x 3 (3，2) 2 ( 2，23) 23 (23，1) 1f(x) 0 0 f(x) 8 13 9527 4所以 yf(x )在3,1 上的最大值为 13，最小值为 .9527考点七：利用导数研究恒成立问题及参数求解典例 (2013全国卷)设函数 f(x)x 2axb，g( x)e x(cxd)若曲线yf(x)和曲线 yg( x)都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线 y4x2.(1)求 a，b， c，d 的值；(2)若 x 2 时，f( x)kg (x)，求 k 的取值范围解 (1) 由已知得 f(0)2，g(0) 2，f(0) 4，
14、g(0) 4.而 f(x) 2xa，g(x) e x(cxdc )，故 b2，d2，a4，dc4.从而 a4，b2，c 2，d2.(2)由(1)知， f(x)x 2 4x2，g(x)2e x(x1)设函数 F(x)kg (x)f (x)2k ex(x1)x 24x2，则 F (x)2k ex(x2)2x42(x2)( kex1)由题设可得 F(0)0，即 k1.令 F (x)0 得 x1ln k，x 22.() 若 1ke 2，则2x 10.从而当 x( 2，x 1)时，F( x)0；当x( x1， )时，F(x )0，即 F(x)在( 2，x 1)上单调递减，在(x 1，)上单调递增，故 F
15、(x)在 2，)上的最小值为 F(x1)而 F(x1)2x 12 x 4x 12x 1(x12)0.21故当 x 2 时，F(x)0，即 f(x)kg(x) 恒成立() 若 ke 2，则 F(x )2e 2(x2)(e xe 2 )从而当 x2 时，F( x)0，即F(x)在( 2，)上单调递增，而 F(2)0，故当 x2 时，F(x) 0，即 f(x)kg( x)恒成立() 若 ke 2，则 F(2)2k e2 22e 2 (ke 2)0.从而当 x2 时，f(x) kg(x)不可能恒成立综上，k 的取值范围是1，e 2针对训练设函数 f(x) x2e xxe x.12(1)求 f(x)的单
16、调区间；(2)若当 x 2,2 时，不等式 f(x)m 恒成立，求实数 m 的取值范围解：(1) 函数 f(x)的定义域为(，)，f(x) xe x(e xxe x)x (1e x)，若 x0，则 f(x )0；若 x0，所以 f(x)0，则 1e xm 恒成立故 m 的取值范围为(，2e 2)考点八、利用导数证明不等式问题典例 (2013河南省三市调研)已知函数 f(x)axe x(a0)(1)若 a ，求函数 f(x)的单调区间；12(2)当 1a 1e 时，求证：f(x)x .解 (1) 当 a 时，f(x ) xe x.12 12f(x) e x，令 f (x)0，得 xln 2.12
17、当 x0；当 xln 2 时，f(x)0，f(x)x 成立() 当 1ln(a 1)时，F(x)0，F(x)在(，ln (a1)上单调递减，在(ln(a1)，)上单调递增F(x)F(ln(a1)e ln(a1) ( a1)ln(a1)( a1)1ln(a1)，10,1 ln( a1)1ln(1e)10，F(x)0，即 f(x)x 成立综上，当 1a1e 时，有 f(x)x.法二：令 g(a)x f( x)xa xe x，只要证明 g(a)0 在 1a1e 时恒成立即可g(1) x xe xe x0，g(1 e) x(1e) xe xe xex ，设 h(x)e xex ，则 h(x )e xe
18、，当 x1 时，h( x)0，h(x )在( ，1)上单调递减，在(1，) 上单调递增，h(x )h(1)e 1e10，即 g(1e) 0.由知，g(a) 0 在 1a1e 时恒成立当 1a1e 时，有 f(x)x.针对训练(2014东北三校联考 )已知函数 f(x) x2 ax3(a0)，函数 g(x)f (x)e x(x1)，12 13函数 g(x)的导函数为 g(x)(1)求函数 f(x)的极值；(2)若 ae ，() 求函数 g(x)的单调区间；() 求证：x 0 时，不等式 g( x)1ln x 恒成立解：(1) f(x)x ax 2ax ，(x 1a)当 f(x)0 时，x0 或 x ，又 a0，1a当 x(，0)时，f(x)0；当 x 时，f(x)0，h(x) 是增函数，h(x )h(1)10 ，则在(0，) 上，g( x)0；在( ，0)上，g(x)0 时，g (x)x(e xe x1)1ln xe xe x1 ，1 ln xx由( )知， h(x)e xex 11，记 (x)1 ln xx(x0)，则 (x) ，1 xx在区间(0,1)上，(x)0，(x )是增函数；在区间(1，) 上，(x)0，(x )是减函数， (x)(1)0，即 1ln x x0， 1，1 ln xxe xex11 ，即 g(x)1ln x 恒成立 1 ln xx
