1、目 录拓展题型 二次函数综合题 1拓展一 二次函数与线段和差问题 .1拓展二 二次函数与三角形面积问题 .10拓展三 二次函数与特殊四边形判定问题 .23拓展四 二次函数与特殊三角形判定问题 .37拓展题型 二次函数综合题拓展一 二次函数与线段和差问题针对演练1. (2016 贺州 10 分) 如图，矩形 OABC 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为(10 ，8) ，沿直线 OD 折叠矩形，使点 A 正好落在 BC 上的 E 处，E 点坐标为(6 ，8)，抛物线 yax 2bxc 经过 O，A，E 三点(1)求此抛物线的解析式；(2)求 AD 的长；(3)点 P
2、 是抛物线对称轴上的一动点，当PAD 的周长最小时，求点 P 的坐标第 1 题图2. (2016 大连 12 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线yx 2 与 y 轴相交于点 A，点 B 与点 O 关于点 A 对称14(1)填空，点 B 的坐标是_；(2)过点 B 的直线 ykx b( 其中 k0)与 x 轴相交于点 C，过点 C 作直线 l平行于 y 轴， P 是直线 l 上一点，且 PBPC.求线段 PB 的长(用含 k 的式子表示)，并判断点 P 是否在抛物线上，说明理由；(3)在(2)的条件下，若点 C 关于直线 BP 的对称点 C恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点 P
3、的坐标第 2 题图3. 如图，抛物线 yx 2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 O 为坐标原点，点 E 在抛物线上，点 F 在 x 轴上，四边形 OCEF 为矩形，且OF 2，EF3.(1)求抛物线的解析式；(2)连接 CB 交 EF 于点 M，再连接 AM 交 OC 于点 R，连接 AC，求ACR的周长；(3)设 G(4，5)在该抛物线上，P 是 y 轴上一动点，过点 P 作 PHEF 于点H，连接 AP，GH，问 APPHHG 是否有最小值？如果有，求出点 P 的坐标；如果没有，请说明理由第 3 题图 备用图【答案】1解：(1)四边形 OABC 是矩形，B (
4、10，8) ，A(10，0). (1 分)又抛物线 yax 2bxc 经过点 A(10，0)、E(6 ，8)和 O(0，0)， ，解得 ，210068abcc 130abc抛物线的解析式为 y x2 x； (3 分)13 103(2)由题意可知：ADED，BE1064，AB 8，(4 分)设 AD 为 x，则 EDx，BDABAD 8x ，在 RtBDE 中，ED 2EB 2BD 2，即 x24 2 (8x) 2， (5 分)解得 x5，即 AD5；(6 分)(3)由(2)可知， D 点的坐标是(10，5)，PAD 的周长 lPAPDADPAPD5，(7 分)抛物线的对称轴是线段 OA 的垂直
5、平分线，点 P 是抛物线对称轴上的一动点，PO PA，lPAPD5POPD5，当 POPD 最小时，PAD 的周长 l 最小，即当点 P 移动到直线 OD 与抛物线对称轴的交点处时 POPD 最小， (8 分)设直线 OD 的解析式为 ykx ，将 D 点坐标(10，5) 代入得：510k，解得 k ，12直线 OD 的解析式为 y x，(9 分)12当 x5 时， y ，52P 点的坐标是(5 ， )(10 分)522解：(1)(0， )； (2 分)12【解法提示】由 yx 2 得：A(0， )，14 14点 B、O 关于点 A 对称，B(0， )12(2)直线 BC 过点 B(0， )，
6、12直线 BC 解析式为 ykx ， (3 分)12C ( ，0)，12k又P 是直线 l 上一点，可设 P( ，a) 12k如解图，过点 P 作 PNy 轴，垂足为 N，连接 PB，第 2 题解图则在 RtPNB 中，由勾股定理得：PB 2PN 2NB 2，PBPCa，a 2( )2(a )2，(5 分)1k12解得 a ，24kPB ，21kP 点坐标为( ， )， (6 分)12k214当 x 时，y ，12k2k点 P 在抛物线上；(7 分)(3)如解图 ，由 C在 y 轴上，可知CBPC BP，第 2 题解图PBPC，CBPPCB，PCCB，PCBABC，CB PCBPABC60，P
7、BC 为等边三角形，OB ，12BC1，OC ，32PC1，P( ，1)(12 分)323解：(1)四边形 OCEF 为矩形，且 OF2，EF3，C (0，3)，E (2，3)，将 C(0，3)，E (2，3)代入抛物线解析式 yx 2bxc 得，解得 ，3423cbc 23bc抛物线的解析式为 yx 22x3；(2)由(1)得 yx 22 x3，令 y0，得 x22x30，解得 x1 1，x 23，A(1，0)，B(3 ，0)，AO 1，BO 3，又C(0，3)，OC 3，在 RtAOC 中，由勾股定理，得 AC ，2210AOCCO BO3，OF2，OBCOCB45，AF3，BF1，MFB
8、F1，RO MF，ARO AMF， ，ROAMF ，13解得 RO ，13CR3 ，13 83在 RtAOR 中，AR ，2210()3ACR 的周长为 ；1083 103 8 4103(3)存在点 P，使得 APPHHG 的值最小如解图，取 OF 中点 A，连接 AG 交直线 EF 的延长线于点 H，过点 H 作HP y 轴于点 P，连接 AP，此时，AP PHHG 的值最小，第 3 题解图设直线 AG 的解析式为 ykxa，将 A(1，0)，G(4 ，5)代入得，045ka解得 ，35ka直线 AG 的解析式为 y x ，53 53令 x2，得 y ，103 53 53点 H 的坐标为(2
9、， )，53符合题意的点 P 的坐标为(0， )53拓展二 二次函数与三角形面积问题针对演练1. (2016 永州 12 分) 已知抛物线 yax 2bx3 经过(1，0) ，(3， 0)两点，与 y 轴交于点 C，直线 ykx 与抛物线交于 A，B 两点(1)写出点 C 的坐标并求出此抛物线的解析式；(2)当原点 O 为线段 AB 的中点时，求 k 的值及 A，B 两点的坐标；(3)是否存在实数 k 使得ABC 的面积为 ？若存在，求出 k 的值；若不3102存在，请说明理由第 1 题图2. (2015 攀枝花 )如图，已知抛物线 yx 2bxc 与 x 轴交于 A(1，0) ，B(3，0)
10、两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴与抛物线交于点 P、与直线 BC相交于点 M，连接 PB.(1)求该抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点 D，使得BCD 的面积最大？若存在，求出 D 点坐标及BCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)在(1)中的抛物线上是否存在点 Q，使得QMB 与PMB 的面积相等？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由第 2 题图3. (2015 桂林)如图，已知抛物线 y x2bxc 与坐标轴分别交于点12A(0，8)、B(8 ，0)和点 E，动点 C 从原点 O 开始沿 OA 方向以每秒 1 个单位长度移动，动
11、点 D 从点 B 开始沿 BO 方向以每秒 1 个单位长度移动，动点 C、D 同时出发，当动点 D 到达原点 O 时，点 C、 D 停止运动(1)直接写出抛物线的解析式：_；(2)求 CED 的面积 S 与 D 点运动时间 t 的函数解析式；当 t 为何值时，CED 的面积最大？最大面积是多少？(3)当 CED 的面积最大时，在抛物线上是否存在点 P(点 E 除外) ，使PCD 的面积等于CED 的最大面积，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由第 3 题图4. (2016 常州 10 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 yx 与二次函数 y x2bx 的图象相交于 O
12、、A 两点，点 A(3，3)，点 M 为抛物线的顶点(1)求二次函数的表达式；(2)长度为 2 的线段 PQ 在线段 OA(不包括端点 )上滑动，分别过点 P、Q2作 x 轴的垂线交抛物线于点 P1、Q 1，求四边形 PQQ1P1 面积的最大值；(3)直线 OA 上是否存在点 E，使得点 E 关于直线 MA 的对称点 F 满足 SAOFS AOM ？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由第 4 题图【答案】1解：(1)令 x0，得 y3，C (0，3)，把( 1，0)和(3，0)代入 yax 2bx 3 中，得，解得 ，309ab 12ab抛物线的解析式为 yx 22x3；(3 分)
13、(2)联立方程组 ，2ykx解得 ， ，21221 416kxkkky 22222 416kkxkkky O 是 AB 的中点，x 1x 20，即2 24164160kkkk解得 k 2， 或 ，132xy23xyA( ， 2 )，B ( ，2 )；(7 分) ；3 3 3 3(3)不存在实数 k 使得ABC 的面积为 .理由如下：3102假设存在实数 k 使得 ABC 的面积为 ，3102联立方程组 ，解得23yxk， ，21221 416kkxkkky 22222 416kkxkkky 则 A( )， 222416416,kkkkkB( )， 222,kkkkkS ABC OC(xBx A
14、) ，12 3102 3 ，12 2416k3102k 24k1610，即 k24k60，b 24ac 16240，此方程无解，不存在实数 k 使得 ABC 的面积为 .(12 分)31022解：(1)把点 A(1，0)，B(3，0)代入 y x2bxc ，得 ，1093bc解得 ，3bcyx 22x3；【一题多解】由题意可知点 A(1，0)，点 B(3，0) 是抛物线与 x 轴的两个交点，抛物线解析式为 y(x 1)(x3)x 22x3.(2)存在点 D，使得 BCD 的面积最大设 D(t，t 22t3) ，如解图，作 DHx 轴于点 H，C 点坐标为(0，3) ，第 2 题解图则 SBCD
15、 S 四边形 DCOHS BDH S BOC t(t 22t 33) (3t)12 12(t 2 2t3) 33 t2 t，12 32 92 0，即抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值，32当 t 时，S BCD ( )2 ，922（ 32） 32 32 32 92 32 278即点 D 的坐标为( ， )时，S BCD 有最大值，且最大面积为 ；32 154 278(3)存在点 Q，使得 QMB 与PMB 的面积相等如解图，P(1 ，4) ，过点 P 且与 BC 平行的直线与抛物线的交点即为所求 Q 点之一，第 2 题解图直线 BC 为 yx 3，过点 P 作 BC 的平行直线 l1，设 l
16、1 为 yxb，将 P(1，4)代入即可得到直线 l1 的解析式为 yx 5，联立方程组 ，23yx解得 ， ，123xy214yQ 1(2，3)；直线 PM 为 x1，直线 BC 为 yx3，M (1，2)，设 PM 与 x 轴交于点 E，PMEM2，过点 E 作 BC 的平行直线 l2，则过点 E 且与 BC 平行的直线 l2 与抛物线的交点也为所求 Q 点之一，即将直线 BC 向下平移 2 个单位得到直线 l2，解析式为 yx1，联立方程组 ，213yx解得 ， ，113172xy223172xyQ 2( )，Q 3( )，3717,21717,2满足条件的 Q 点为 Q1(2，3)，Q
17、 2( )，Q 3(3,)31717,223解：(1)y x23x8；12【解法提示】把点 A(0，8)、B (8，0)代入 y x2bx c 可得，12，解得 ，8320cbc 38bc抛物线解析式为 y x23x8.12(2)在 y x23x 8 中，当 y0 时， x23x80，12 12解得 x1 2，x 28，E(2，0)，BE10，S CED DEOC，12S t(10t) t25t，12 12S 与 t 的函数关系式为：S t25t，12S t25t (t5) 2 ，12 12 252当 t5 时，CED 的面积最大，最大面积为 ；252(3)存在，当CED 的面积最大时，t5，
18、即 BDDE5，此时，要使 SPCDS CED ，CD 为公共边，故只需求出过点 B、E 且平行于 CD 的直线即可，如解图第 3 题解图设直线 CD 的解析式为 ykxb，由(2)可知 OC5，OD 3，C (0，5)，D(3 ，0)，把 C(0，5)、D(3 ，0)代入 ykx b，得 ，530bk解得 ，53kb直线 CD 的解析式为 y x5，53DE DB5，过点 B 且平行于 CD 的直线解析式为 y (x5) 5，53过点 E 且平行于 CD 的直线解析式为 y (x5) 5，53分别与抛物线解析式联立得：方程： x23x 8 (x5)5，12 53解得 x18， x2 ，43方
19、程： x23x 8 (x5)5，12 53解得 x3 ，x 42(舍去)，343分别将 x 值代入抛物线解析式，得 y10， y2 ，y 3 ，1009 2009又P 点不与 E 点重合，满足题意的 P 点坐标有 3 个，分别是 P1(8，0) ，P 2( ， )，P 3( ，43 1009 343)20094解：(1)由题意知，A(3 ，3)在二次函数 yx 2bx 的图象上，将 x3，y3 代入得 93b3，解得 b2，二次函数表达式为 yx 22x；(2 分)(2)如解图 所示，过点 P 作 PBQQ 1 于点 B，第 4 题解图PQ 2 ，且在直线 yx 上，2PBQB2 ，(3 分)
20、设 P(a，a)，则 Q(a 2，a2)，P1(a，a 2 2a)，Q 1(a 2，(a2) 22(a2)，即 Q1(a2，a 22a) ，四边形 PQQ1P1 的面积为：2 2()()22aS2a 22a22(a )2 ，(4 分)12 52当 Q 运动到点 A 时，OPOQ PQ ，a1，2a 的取值范围为 0a1，当 a 时，四边形 PQQ1P1 的面积最大，最大值为 ；(5 分)12 52(3)存在，点 E 的坐标为 E1( ， )，E 2( ， )，43 43 143 143如解图所示，连接 OM，第 4 题解图点 M 为抛物线顶点，M (1， 1)，又OA 所在直线为 yx ，OM
21、OA，即AOM90，在AOF 和 AOM 中，以 OA 为底，当面积相等时，则两三角形 OA 边上的高相等，又OMOA，且 OM ，2可作两条与 OA 互相平行且距离为 的直线，(6 分)2如解图所示，在直线 HD、MC 上的点 F 均满足 SAOF S AOM ，只需满足 E 点的对称点 F 在这两条直线上即可如解图，过点 A 作 ACMC 于点 C，易得四边形 OACM 为矩形，AM 为该矩形的一条对角线，取 AM 中点 O，过 O作 AM 垂线，交 OA 于点 E1，交MC 于点 F1，OA 3 ，2 ，22(3)()5AMOAMAO ，5AOE 1AOM，(7 分) ， 1AEOEOM
22、A ，13255解得 OE1 ，423点 E1 在 yx 上，E 1( ， )，(8 分)43 43同理可得 HF2GE 2 ，423又OG2OA6 ，2OE 26 ，E 2( ， )2423 1423 143 143综上所述，符合条件的 E 点的坐标为：E 1( ， )、 E2( ， )43 43 143 143(10 分)拓展三 二次函数与特殊四边形判定问题针对演练1. (2016 茂名 8 分) 如图，抛物线 yx 2 bxc 经过 A(1，0)，B(3，0) 两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接 BD.(1)求经过 A，B
23、，C 三点的抛物线的函数表达式；(2)点 P 是线段 BD 上一点，当 PEPC 时，求点 P 的坐标；(3)在(2)的条件下，过点 P 作 PFx 轴于点 F，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点， N 为直线 PF 上一动点，当以 F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标第 1 题图 备用图2. (2016 安顺 14 分) 如图，抛物线经过 A(1，0) ，B(5，0)，C(0， )三点52(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA PC 的值最小，求点 P 的坐标；(3)点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以
24、A、C、M、N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由第 2 题图3. (2016 南充 10 分)如图，抛物线与 x 轴交于点 A(5，0)和点 B(3，0) ，与y 轴交于点 C(0，5)有一宽度为 1，长度足够的矩形(阴影部分) 沿 x 轴方向平移，与 y 轴平行的一组对边交抛物线于点 P 和 Q，交直线 AC 于点 M 和 N，交 x 轴于点 E 和 F.(1)求抛物线解析式；(2)当点 M 和 N 都在线段 AC 上时，连接 MF，如果 sinAMF ，求点1010Q 的坐标；(3)在矩形的平移过程中，当以点 P，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平
25、行四边形时，求点 M 的坐标第 3 题图4. (2016 成都 12 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线ya( x1) 23 与 x 轴交于 A、B 两点( 点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点C(0， )，顶点为 D，对称轴与 x 轴交于点 H，过点 H 的直线 l 交抛物线于83P、Q 两点，点 Q 在 y 轴的右侧(1)求 a 的值及点 A、B 的坐标；(2)当直线 l 将四边形 ABCD 分为面积比为 37 的两部分时，求直线 l 的函数表达式；(3)当点 P 位于第二象限时，设 PQ 的中点为 M，点 N 在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形 DMPN 能否成
26、为菱形？若能，求出点 N 的坐标；若不能，请说明理由第 4 题图 备用图【答案】1解：(1)抛物线 yx 2bxc 经过 A(1，0)，B(3，0) 两点， ，解得 ，093bc 3bc经过 A，B ，C 三点的抛物线的函数表达式为 yx 22x 3；(2 分)(2)如解图 ，连接 PC、PE ，第 1 题解图 ，212()ba当 x1 时， y1 234，点 D 坐标为(1，4) ，设直线 BD 为：ymxn，将点 B、D 坐标分别代入表达式，得，解得 ，304mn 26mny2x6，设点 P 坐标为( x，2 x6)，由勾股定理可得 PC2x 2(32x 6) 2，PE2(x1) 2(2x
27、6) 2，PCPE，x 2(32x6) 2(x1) 2(2x6) 2，解得 x2，则 y2 262，P(2，2)；(5 分)(3)依题意可设点 M 坐标为(a，0)，则 G 坐标为 (a，a 22a3)如解图，以 F、M 、 N、G 为顶点的四边形是正方形时，必有 FMMG，第 1 题解图即|2 a| |a 22a3| ， 2a(a 22a3)，解得 a ，1212 2aa 22a3，解得 a ，3132综上所述，M 点的坐标为( ，0)，( ，0) ，1 212 1 212( ，0)，( ，0)(8 分)3 132 3 1322解：(1)设抛物线的解析式为 yax 2bxc( a0)，将点
28、A(1 ，0)，B(5 ，0)，C(0， )代入得，52，解得 ，025abcc 1252abc抛物线的解析式为 y x22x ；(4 分)12 52(2)由题意知，点 A 关于抛物线对称轴的对称点为点 B，如解图，连接 BC交抛物线的对称轴于点 P，则 P 点即为所求，第 2 题解图设直线 BC 的解析式为 ykxb 1(k0)，由题意得 ，解得 ，11502kb125b直线 BC 的解析式为 y x ，12 52抛物线 y x22x 的对称轴是 x2，12 52当 x2 时， y x 2 ，12 52 12 52 32点 P 的坐标是(2 ， )；(9 分)32(3)存在 (10 分)(i
29、)当存在的点 N 在 x 轴的下方时，如解图所示，第 2 题解图四边形 ACNM 是平行四边形，CN x 轴，点 C 与点 N 关于对称轴 x2 对称，C 点的坐标为(0， )，52点 N 的坐标为(4， )； (11 分)52(ii)当存在的点 N在 x 轴上方时，如解图所示，作 NHx 轴于点 H，四边形 ACMN是平行四边形，ACMN，NMHCAO，AOCMHN，RtCAORt NMH (AAS)，NHOC，点 C 的坐标为(0， )，52NH ，即 N点的纵坐标为 ，52 52 x22x ，12 52 52解得 x12 ，x 22 .14 14点 N的坐标为(2 ， )或(2 ， )(
30、13 分)1452 14 52综上所述，满足题目条件的点 N 共有三个，分别为(4， )，52(2 ， )，(2 ， )(14 分)1452 14 523解：(1)根据题意得，A( 5，0)，B(3，0)是抛物线与 x 轴的交点，设抛物线的解析式为 ya(x 5)(x3) ， (1 分)抛物线过点 C(0，5)，a ，13抛物线的解析式为 y (x5)(x3) x2 x5；13 13 23(2 分)(2)如解图，过点 F 作 FDAC 于点 D，第 3 题解图OA 5，OC5，CAO45. (3 分)设 AF 的长为 m，则 DF m，MEAEm1，22sin AMF ，DFMF ，(4 分)
31、2105 msinFmA在 RtMEF 中，FM 2ME 2EF 2，( m)2(m1) 21 2，5解得 m11，m 2 (不符合题意，舍去)，(5 分)12AF1，点 Q 的横坐标为4.又点 Q 在抛物线 y x2 x5 上，13 23Q( 4， )；(6 分)73(3)设直线 AC 的解析式为 ykx n(k 0)，由题意得 ，50kn解得 ，15kn直线 AC 的解析式为 yx 5. (7 分)由题知，点 Q，N，F 及点 P，M，E 的横坐标分别相同，设 F(t，0)，E(t1，0)，点 M，N 均在直线 yx 5 上，N (t，t5)，M (t1，t6) ，点 P，Q 在抛物线 y
32、 x2 x5 上，13 23Q( t， t2 t5) ，P( t1， t2 t4)，(8 分)13 23 13 43在矩形平移过程中，以 P、Q、N、M 为顶点的平行四边形有两种情况：点 Q、P 在直线 AC 的同侧时，QNPM，( t2 t5) (t5) ( t2 t4)( t6)，13 23 13 43解得 t3，M ( 2， 3)；(9 分)点 Q，P 在直线 AC 的异侧时，QNMP，( t2 t5) (t5) (t6)( t2 t4)，13 23 13 43解得 t13 ，t 2 3 ，6 6M ( 2 ，3 )或(2 ，3 )，6 6 6 6符合条件的点 M 是(2，3) ，(2
33、，3 )或6 6(2 ，3 ) (10 分)6 64解：(1)抛物线与 y 轴交于点 C(0， )，83a3 ，83解得 a ，13y (x1) 23，13当 y0 时，有 (x1) 230，13解得 x12， x24，A(4，0)，B(2 ，0)；(3 分)(2)由(1)可知， A(4，0)，B(2，0) ，C (0， )，D( 1，3)，83S 四边形 ABCDS AHD S 梯形 OCDHS BOC 33 ( 3) 1 212 12 83 1210，83从面积分析知，直线 l 只能与边 AD 或 BC 相交，所以有两种情况： 如解图，当直线 l 与边 AD 相交于点 M1 时，第 4 题
34、解图则 ， 13=0AHMS 3( )3，12 1My 2，1MyA(4，0)，D(1， 3)，直线 AD 的解析式为 yx 4，M 1(2， 2)，(5 分)过点 H(1，0) 和 M1(2，2)的直线 l 的解析式为 y2x 2； 如解图，当直线 l 与边 BC 相交与点 M2 时，同理可得点M2( ， 2)，12第 4 题解图过点 H(1，0) 和 M2( ，2)的直线 l 的解析式为 y x ，12 43 43综上所述：直线 l 的函数表达式为 y2x 2 或 y x ；43 43(7 分)(3)以 DP 为对角线的四边形 DMPN 能成为菱形设 P(x1，y 1)、Q( x2，y 2
35、)，且过点 H(1，0)的直线 PQ 的解析式为ykx b，第 4 题解图kb 0，bk，ykx k .由 ，21833ykxx x2( k)x k 0，x 1x 223k，13 23 83y1y 2kx 1kkx 2k3k 2，点 M 是线段 PQ 的中点，由中点坐标公式得点 M( k1， k2)32 32假设存在这样的 N 点如解图，直线 DNPQ，设直线 DN 的解析式为 ykxk3，由 ，23183ykxx解得 x1 1(舍去)，x 23k1，N (3k1， 3k23) ，四边形 DMPN 是菱形，DN DM，DN 2DM 2，即(3k) 2(3k 2)2 ，22233()()kk整理
36、得 3k4 k240 ，k 210 ，3k 24 0，解得 k ，233k0，k ，233N (2 1，1)，3以 DP 为对角线的四边形 DMPN 能成为菱形，此时点 N 的坐标为(2 1，1) (12 分)3拓展四 二次函数与特殊三角形判定问题针对演练1. (2016 枣庄 10 分) 如图，已知抛物线 yax 2bx c(a0) 的对称轴为直线x1，且经过 A(1， 0)，C(0，3)两点，与 x 轴的另一个交点为 B.(1)若直线 ymxn 经过 B，C 两点，求抛物线和直线 BC 的解析式；(2)在抛物线的对称轴 x1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C的距离之和最小
37、，求点 M 的坐标；(3)设点 P 为抛物线的对称轴 x1 上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点 P 的坐标第 1 题图2. (2016 新疆 13 分)如图，抛物线 yax 2bx3(a0) 的顶点为 E，该抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 BOOC3AO，直线y x1 与 y 轴交于点 D.13(1)求抛物线的解析式；(2)求证： DBO EBC；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的 P 点坐标，若不存在，请说明理由第 2 题图3. (2016 襄阳 13 分) 如图，已知点 A 的坐标为(2，0)
38、，直线与 x 轴，y 轴分别交于点 B 和点 C，连接 AC，顶点为 D 的抛物线34yxyax 2bxc 过 A， B，C 三点(1)请直接写出 B，C 两点的坐标，抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；(2)设抛物线的对称轴 DE 交线段 BC 于点 E，P 为第一象限内抛物线上一点，过点 P 作 x 轴的垂线，交线段 BC 于点 F.若四边形 DEFP 为平行四边形，求点P 的坐标；(3)设点 M 是线段 BC 上的一动点，过点 M 作 MNAB，交 AC 于点 N.点 Q从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段 BA 向点 A 运动，运动时间为t(秒) 当 t(秒) 为何值时，存
39、在 QMN 为等腰直角三角形？第 3 题图【答案】1解：(1)依题意得 ，解得 ，1203bacc 123abc抛物线解析式为 y x22x3，对称轴为 x1，抛物线经过 A(1，0)，B(3，0)，把 B(3， 0)，C(0，3)分别代入 ymxn 得，解得 ，0mn 13mn直线 BC 的解析式为 yx 3；(3 分)(2)设直线 BC 与对称轴 x1 的交点为 M，如解图，连接 AM，第 1 题解图MAMB，MAMC MB MC BC，使 MA MC 最小的点 M 应为直线 BC 与对称轴 x1 的交点，把 x1 代入直线 y x3，得 y2，M ( 1， 2)；(6 分)(3)设 P(
40、1 ，t) ，B(3，0)，C(0，3)，BC 218，PB2(13) 2t 24t 2，PC2(1) 2(t3) 2 t26t10，若 B 为直角顶点，则 BC2PB 2PC 2，即 184t 2t 26t10，解得 t12；若 C 为直角顶点，则 BC2PC 2PB 2，即 18t 26t104t 2，解得 t24；若 P 为直角顶点，则 PB2PC 2BC 2，即 4t 2t 26t1018，解得 t3 ，t 4 .3 172 3 172综上所述，满足条件的点 P 共有四个，分别为：P 1(1，2) ，P2(1，4)，P 3(1， )，P 4(1， )(10 分)3 172 3 1722
41、(1) 解： 当 x0 时，yax 2bx 33，C (0，3)，即 OC3，OB OC3OA，OB 3，OA 1，A(1，0)，B(3 ，0)，将 A(1， 0)，B(3 ，0)代入 yax 2bx3 得：，解得 ，309ab 12ab抛物线的解析式为 yx 22x3；(4 分)(2)证明： 由抛物线解析式 yx 22x3(x 1) 24 可得：E(1，4)，当 x0 时， y x11，13D(0，1)，即 OD1， ，220BODB同理可得 CE ，BE2 ，BC3 ，2 5 2在DBO 和EBC 中， ，2BBECDBOEBC ；(9 分)(3)解： 存在，点 P 的坐标为(1 ，1)，(1，3 )，17(1，3 )，(1 ， )或(1 ， )(13 分)17 14 14【解法提示】如解图，过点 P 作 PGy 轴于点 G，连接 PC，PB，设抛物线对称轴与 x 轴的交点为 M，设点 P(1，a)，第 2 题解图则 PG1，GC|a
