1、第 1 页（共 42 页）思维数学 第一讲一选择题（共 24 小题）1抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，A、B 在抛物线上，且 ，弦 AB 的中点 M 在其准线上的射影为 N，则 的最大值为（ ）A B C1 D2数列a n满足：a 1= ，a 2= ，且 a1a2+a2a3+anan+1=na1an+1 对任何的正整数 n 都成立，则的值为（ ）A5032 B5044 C5048 D50503已知函数 f（x）= ，若数列a n满足 an=f（n） （nN ） ，且a n是递增数列，则实数 a 的取值范围是（ ）A ，3） B （ ， 3） C （2，3） D （1，3）4某观察者站
2、在点 O 观察练车场上匀速行驶的小车 P 的运动情况，小车从点 A 出发的运动轨迹如图所示设观察者从点 A 开始随动点 P 变化的视角为 =AOP（0） ，练车时间为 t，则函数=f（t）的图象大致为（ ）A B C第 2 页（共 42 页）D5函数 的大致图象为（ ）A B C D6图中的阴影部分由底为 1，高为 1 的等腰三角形及高为 2 和 3 的两矩形所构成设函数 S=S（a）（a 0 ）是图中阴影部分介于平行线 y=0 及 y=a 之间的那一部分的面积，则函数 S（a ）的图象大致为（ ）A B C D7对任意的实数 a，b，记 若 F（x ）=maxf（x ） ，g （x ）（xR
3、） ，其中奇函数 y=f（x）在 x=1 时有极小值 2，y=g（x）是正比例函数，函数 y=f（x ） （x0）与函数 y=g（x）的图象如图所示 则下列关于函数 y=F（x）的说法中，正确的是（ ）第 3 页（共 42 页）Ay=F（x）为奇函数By=F（x）有极大值 F（1）且有极小值 F（ 1）C y=F（x）的最小值为2 且最大值为 2Dy=F（x）在（3，0）上不是单调函数8如图，函数 y=f（x）的图象为折线 ABC，设 g （x）=ff（x），则函数 y=g（x）的图象为（ ）A B C D9如图是 f（x）=x 3+bx2+cx+d 的图象，则 x12+x22 的值是（ ）A
4、 B C D10设动直线 x=m 与函数 f（x）=x 3，g （x ）=lnx 的图象分别交于点 M、N，则|MN|的最小值为（ ）A B C Dln3111已知函数 f（x ）=4x 2，g （x ）是定义在（ ，0）（0，+）上的奇函数，当 x0 时，g（ x）=log 2x，则函数 y=f（x）g（x）的大致图象为（ ）第 4 页（共 42 页）A B C D12下列四个函数图象，只有一个是符合 y=|k1x+b1|+|k2x+b2|k3x+b3|（其中 k1，k 2，k 3 为正实数，b1，b 2，b 3 为非零实数）的图象，则根据你所判断的图象， k1，k 2，k 3 之间一定成立
5、的关系是（ ）Ak 1+k2=k3 Bk 1=k2=k3 Ck 1+k2k 3 Dk 1+k2k 313已知函数 f（x ）的定义域为 2，4，且 f（4 ）=f （2）=1 ，f （x ）为 f（x）的导函数，函数y=f（x）的图象如图所示，则平面区域 f（2a+b）1（a0，b0）所围成的面积是（ ）A2 B4 C5 D814函数 f（ x）的图象如图所示，已知函数 F（x ）满足 F（x）=f（x） ，则 F（x ）的函数图象可能是（ ）A B C D15已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（2）=1 ， f（x）为 f（x ）的导函数已知 y=f（x）的图象如图所示，若两个正数
6、a，b 满足 f（2a+b ）1，则 的取值范围是（ ）第 5 页（共 42 页）A （ B C （2，1） D （，2）（1，+）16已知函数 y=f（x）的导函数的图象如图甲所示，则 y=f（x）的图象可能是（ ）A B C D17已知可导函数 y=f（x）在点 P（x 0，f（x 0） ）处切线为 l：y=g（x） （如图） ，设 F（x ）=f （x ）g（x） ，则（ ）AF（x 0）=0，x=x 0 是 F（x ）的极大值点BF（x 0）=0，x=x 0 是 F（x ）的极小值点C F（ x0）0，x=x 0 不是 F（x）的极值点DF （x 0）0，x=x 0 是 F（x）的极值
7、点18如图，虚线部分是四个象限的角平分线，实线部分是函数 y=f（x）的部分图象，则 f（x ）可能是（ ）第 6 页（共 42 页）Ax 2cosx Bxcosx Cxsinx Dx 2sinx19如图所示的是函数 f（ x）=x 3+bx2+cx+d 的大致图象，则 x12+x22 等于（ ）A B C D20已知 f（ x）是定义域为 R 的奇函数，f（4）=1，f （x）的导函数 f（x）的图象如图所示若两正数 a，b 满足 f（a+2b）1，则 的取值范围是（ ）A B C （ 1，10） D （ ，1）21已知函数 y=f（x）的图象如图，则函数 在0，上的大致图象为（ ）A B
8、C D第 7 页（共 42 页）22若函数 的图象如图所示，则 a 的取值范围是（ ）A （1 ，+） B （0，1） C （0， ） D23已知函数 y=f（x）的定义域是 R，若对于任意的正数 a，函数 g（x ）=f （x ）f（xa）都是其定义域上的增函数，则函数 y=f（x ）的图象可能是（ ）A B C D24函数 y= 的大致图象如图所示，则（ ）Aa （1，0） Ba（0，1） Ca（，1） Da （1，+）二填空题（共 12 小题）25已知函数 f（x ）满足 f（x）=2f（ ） ，且 f（x）0，当 x1，3，f （x）=lnx，若在区间 ，3内，函数 g（x）=f （x
9、）ax 有三个不同零点，则实数 a 的取值范围是 26设点 P 在曲线 y= ex 上，点 Q 在曲线 y=ln（2x）上，则|PQ |的最小值为 27已知定义在 R 上的函数 f（x）和 g（x）满足 g（x）0，f（x）g（x）f （x）g（x） ，f（x）=a xg（ x） ， 令 ，则使数列a n的前 n 项和 Sn 超过 的最小自然数 n 的值为 28若函数 f（x ）=x 2 lnx+1 在其定义域内的一个子区间（a1，a+1）内存在极值，则实数 a 的取值第 8 页（共 42 页）范围 29定义在 R 上的函数 f（ x）满足；f（x ）+f（x）1，f（0）=4，则不等式 ex
10、f（x）e x+3（其中e 为自然对数的底数）的解集为 30设函数 f（x ）是定义在（ ，0）上的可导函数，其导函数为 f（x ） ，且有 3f（x）+xf（x ）0，则不等式（x+2015 ） 3f（x +2015）+27f（3）0 的解集是 31设奇函数 f（x ）定义在（ ，0）（0，）上，其导函数为 f（x ） ，且 f（ ）=0 ，当0x 时，f（x）sinx f（x）cosx0，则关于 x 的不等式 f（x）2f（ ）sinx 的解集为 32若函数 f（x ）= 的图象关于点（3，0）对称，则实数 a= 33已知函数 f（x ）=2x a，g（x）=xe x，若对任意 x10，1
11、存在 x21，1，使 f（x 1）=g（x 2）成立，则实数 a 的取值范围为 34若函数 f（x ）= 的部分图象如图所示，则 b= 35在ABC 中，A= ，D 是 BC 边上任意一点（D 与 B、C 不重合） ，且丨 |2= ，则B= 36已知 O 是锐角ABC 的外接圆圆心，A= ，若 + =2m ，则 m= （用 表示）三解答题（共 3 小题）37设函数 f（x ）=（1+x） 22ln（1+x）（1）若关于 x 的不等式 f（x）m 0 在0，e 1有实数解，求实数 m 的取值范围第 9 页（共 42 页）（2）设 g（x）=f（x）x 21，若关于 x 的方程 g（x）=p 至少
12、有一个解，求 p 的最小值（3）证明不等式： （n N*） 38已知函数（1）试判断函数 f（x）的单调性；（2）设 m0，求 f（x）在 m，2m上的最大值；（3）试证明：对nN *，不等式 39已知函数 f（x ）= x3+ x22x（a R） （）若函数 f（x）在点 P（2，f（2） ）处的切线的斜率为4，求 a 的值；（）当 a=3 时，求函数 f（x）的单调区间；（）若过点（0， ）可作函数 y=f（x）图象的三条不同切线，求实数 a 的取值范围第 10 页（共 42 页）2017 年 09 月 13 日光头强的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共 24 小题）1抛物线 y2
13、=2px（p0）的焦点为 F，A、B 在抛物线上，且 ，弦 AB 的中点 M 在其准线上的射影为 N，则 的最大值为（ ）A B C1 D【分析】设|AF|=a，|BF| =b，由抛物线定义，2|MN|=a +b再由勾股定理可得|AB |2=a2+b2，进而根据基本不等式，求得|AB| 的范围，进而可得答案【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b ，由抛物线定义，得|AF|= |AQ|，|BF |=|BP|在梯形 ABPQ 中，2 |MN|=|AQ|+|BP|=a+b由勾股定理得，|AB| 2=a2+b2 配方得，|AB| 2=（a+b ） 22ab，又 ab ，（a +b） 22ab（a+b
14、） 2得到|AB| （a+b） 所以 = ，即 的最大值为 故选 A第 11 页（共 42 页）【点评】本题主要考查抛物线的应用和余弦定理的应用，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力2数列a n满足：a 1= ，a 2= ，且 a1a2+a2a3+anan+1=na1an+1 对任何的正整数 n 都成立，则的值为（ ）A5032 B5044 C5048 D5050【分析】a 1a2+a2a3+anan+1=na1an+1，；a 1a2+a2a3+anan+1+an+1an+2=（n+1）a 1an+2，； ，得an+1an+2=na1an+1（n+1）a 1an+2， ，同理，得 =4，整理
15、，得 ，是等差数列由此能求出 【解答】解：a 1a2+a2a3+anan+1=na1an+1，a1a2+a2a3+anan+1+an+1an+2=（n +1）a 1an+2，得a n+1an+2=na1an+1（n +1）a 1an+2， ，同理，得 =4， = ，整理，得 ， 是等差数列a 1= ，a 2= ，等差数列 的首项是 ，公差 ， = =5044故选 B【点评】本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化第 12 页（共 42 页）3已知函数 f（x）= ，若数列a n满足 an=f（n） （nN ） ，且a n是递增数列，则实数
16、 a 的取值范围是（ ）A ，3） B （ ， 3） C （2，3） D （1，3）【分析】根据题意，首先可得 an 通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得 ；解可得答案【解答】解：根据题意，a n=f（n ）= ；要使a n是递增数列，必有 ；解可得，2a3；故选：C【点评】本题考查数列与函数的关系，a n是递增数列，必须结合 f（x）的单调性进行解题，但要注意a n是递增数列与 f（x ）是增函数的区别与联系4某观察者站在点 O 观察练车场上匀速行驶的小车 P 的运动情况，小车从点 A 出发的运动轨迹如图所示设观察者从点 A 开始随动点 P 变化的视角
17、为 =AOP（0） ，练车时间为 t，则函数=f（t）的图象大致为（ ）第 13 页（共 42 页）A B CD【分析】题干错误：=AOP （0 ） ，应该去掉括号根据视角 = AOP 的值的变化趋势，可得函数图象的单调性特征，从而选出符合条件的选项【解答】解：根据小车从点 A 出发的运动轨迹可得，视角 =AOP 的值先是匀速增大，然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，故选 D【点评】本题主要考查利用函数的单调性判断函数的图象特征，属于基础题5函数 的大致图象为（ ）A B C D【分析】观察题设中的函数表达式，应该 以 1 为界来分段讨论去掉绝对值号，化简之后再分段研究其
18、图象【解答】解：由题设条件，当 x1 时，f （x）= （x ）=当 x1 时，f（x）= （ x）= （ x）=x第 14 页（共 42 页）故 f（x）= ，故其图象应该为综上，应该选 D【点评】本题考查绝对值函数图象的画法，一般要先去掉绝对值号转化成分段函数再分段做出图象6图中的阴影部分由底为 1，高为 1 的等腰三角形及高为 2 和 3 的两矩形所构成设函数 S=S（a）（a 0 ）是图中阴影部分介于平行线 y=0 及 y=a 之间的那一部分的面积，则函数 S（a ）的图象大致为（ ）A B C D【分析】先观察原图形面积增长的速度，然后根据增长的速度在图形上反映出切线的斜率进行判定即
19、可【解答】解：根据图象可知在0，1上面积增长的速度变慢，在图形上反映出切线的斜率在变小；在1，2上面积增长速度恒定，在2，3上面积增长速度恒定，而在1，2上面积增长速度大于在2，3上面积增长速度，故选：C【点评】本题主要考查了函数的图象，同时考查了识图能力以及分析问题和解决问题的能力，属于第 15 页（共 42 页）基础题7对任意的实数 a，b，记 若 F（x ）=maxf（x ） ，g （x ）（xR） ，其中奇函数 y=f（x）在 x=1 时有极小值 2，y=g（x）是正比例函数，函数 y=f（x ） （x0）与函数 y=g（x）的图象如图所示 则下列关于函数 y=F（x）的说法中，正确的
20、是（ ）Ay=F（x）为奇函数By=F（x）有极大值 F（1）且有极小值 F（ 1）C y=F（x）的最小值为2 且最大值为 2Dy=F（x）在（3，0）上不是单调函数【分析】在同一个坐标系中作出两函数的图象，横坐标一样时取函数值较大的那一个，如图，由图象可以看出选项的正确与否【解答】解：f（x）*g （x）=maxf（x） ，g（x），f（ x）*g（x）=max f（x） ，g（x）的定义域为 R，f（x）*g（x）=max f（x） ，g（x），画出其图象如图中实线部分，由图象可知：y=F（x ）的图象不关于原点对称，不为奇函数；故 A 不正确y=F（x）有极大值 F（1 ）且有极小值
21、F（0） ；故 B 不正确y=F（x）的没有最小值和最大值为，故 C 不正确y=F（x）在（3 ，0）上不为单调函数；故 D 正确故选 D第 16 页（共 42 页）【点评】本题考点是函数的最值及其几何意义，本题考查新定义，需要根据题目中所给的新定义作出相应的图象由图象直观观察出函数的最值，对于一些分段类的函数，其最值往往借助图象来解决本题的关键是读懂函数的图象，属于基础题8如图，函数 y=f（x）的图象为折线 ABC，设 g （x）=ff（x），则函数 y=g（x）的图象为（ ）A B C D【分析】函数 y=f（x）的图象为折线 ABC，其为偶函数，所研究 x0 时 g（x ）的图象即可，
22、首先根据图象求出 x0 时 f（x）的图象及其值域，再根据分段函数的性质进行求解，可以求出 g（x）的解析式再进行判断；【解答】解：如图：函数 y=f（x ）的图象为折线 ABC，函数 f（x）为偶函数，我们可以研究 x0 的情况即可，若 x0，可得 B（0，1） ，C（1， 1） ，这直线 BC 的方程为：l BC：y= 2x+1，x0，1，其中1 f（x）1；若 x0，可得 lAB：y=2x+1，f（x ）= ，第 17 页（共 42 页）我们讨论 x0 的情况：如果 0x ，解得 0f（x）1，此时 g（x）=ff（x ）=2（ 2x+1）+1=4x1；若 x1，解得1f（x ）0，此时
23、 g（x ）=f f（x）=2（2x+1）+1= 4x+3；x0，1时，g（x）= ；故选 A；【点评】此题主要考查分段函数的定义域和值域以及复合函数的解析式求法，是一道好题；9如图是 f（x）=x 3+bx2+cx+d 的图象，则 x12+x22 的值是（ ）A B C D【分析】先利用图象得：f（x ）=x （x +1） （x2）=x 3x22x，求出其导函数，利用 x1，x 2 是原函数的极值点，求出 x1+x2= ， ，即可求得结论【解答】解：由图得：f（x ）=x （x +1） （x2）=x 3x22x，f（x）=3x 22x2x 1，x 2 是原函数的极值点所以有 x1+x2= ，
24、 ，故 x12+x22=（x 1+x2） 22x1x2= = 故选 D【点评】本题主要考查利用函数图象找到对应结论以及利用导数研究函数的极值，是对基础知识的考查，属于基础题10设动直线 x=m 与函数 f（x）=x 3，g （x ）=lnx 的图象分别交于点 M、N，则|MN|的最小值为（ ）第 18 页（共 42 页）A B C Dln31【分析】构造函数 F（x）=f（x ） g（x） ，求出导函数，令导函数大于 0 求出函数的单调递增区间，令导函数小于 0 求出函数的单调递减区间，求出函数的极小值即最小值【解答】解：画图可以看到|MN|就是两条曲线间的垂直距离设 F（x）=f（x）g（x
25、）=x 3lnx，求导得：F（x）= 令 F（ x）0 得 x ；令 F（x ）0 得 0x ，所以当 x= 时，F（x）有最小值为 F（ ）= + ln3= （1+ln3） ，故选 A【点评】求函数的最值时，先利用导数求出函数的极值和区间的端点值，比较在它们中求出最值11已知函数 f（x ）=4x 2，g （x ）是定义在（ ，0）（0，+）上的奇函数，当 x0 时，g（ x）=log 2x，则函数 y=f（x）g（x）的大致图象为（ ）A B C D【分析】由已知中函数 f（x ）=4 x2，当 x0 时，g （x ）=log 2x，我们易判断出函数在区间（0，+）上的形状，再根据函数奇偶
26、性的性质，我们根据“奇偶=奇” ，可以判断出函数 y=f（x ）g（x）的奇偶性，进而根据奇函数图象的特点得到答案【解答】解：函数 f（x ）=4 x2，是定义在 R 上偶函数g（ x）是定义在（，0） （0，+）上的奇函数，故函数 y=f（x）g（x）为奇函数，共图象关于原点对称，故 A，C 不正确又函数 f（x）=4x 2，当 x0 时，g（x）=log 2x，故当 0x1 时，y=f（x） g（x ）0；第 19 页（共 42 页）当 1x2 时，y=f（x）g （x ）0；当 x2 时，y=f（x）g（ x）0；故 D 不正确故选 B【点评】本题考查的知识点是函数的图象和函数奇偶性质的
27、性质，在判断函数的图象时，分析函数的单调性，奇偶性，特殊点是最常用的方法12下列四个函数图象，只有一个是符合 y=|k1x+b1|+|k2x+b2|k3x+b3|（其中 k1，k 2，k 3 为正实数，b1，b 2，b 3 为非零实数）的图象，则根据你所判断的图象， k1，k 2，k 3 之间一定成立的关系是（ ）Ak 1+k2=k3 Bk 1=k2=k3 Ck 1+k2k 3 Dk 1+k2k 3【分析】由于 k1，k 2，k 3 为正实数，考虑当 x 足够小时和当 x 足够大时的情形去掉绝对值符号，转化为关于 x 的一次函数，通过观察直线的斜率特征即可进行判断【解答】解：当 x 足够小时
28、y=（k 1+k2k3）x（b 1+b2b3）当 x 足够大时 y=（k 1+k2k3）x +（b 1+b2b3）可见，折线的两端的斜率必定为相反数，此时只有符合条件此时 k1+k2k3=0故选 A【点评】本小题主要考查函数图象的应用、直线的斜率等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想、极限思想属于基础题13已知函数 f（x ）的定义域为 2，4，且 f（4 ）=f （2）=1 ，f （x ）为 f（x）的导函数，函数y=f（x）的图象如图所示，则平面区域 f（2a+b）1（a0，b0）所围成的面积是（ ）第 20 页（共 42 页）A2 B4 C5 D8【分析】根据导函数的图象，分析原函
29、数的性质或作出原函数的草图，找出 a、b 满足的条件，画出平面区域，即可求解【解答】解：由图可知2，0）上 f（x）0，函数 f（x ）在2，0）上单调递减， （0，4上 f（x）0，函数 f（x ）在（0，4上单调递增，故在2，4上，f （x ）的最大值为 f（4）=f （ 2）=1 ，f（ 2a+b）1（a0，b 0 ）表示的平面区域如图所示：故选 B【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，以及线性规划问题的综合应用，属于高档题解决时要注意数形结合思想应用14函数 f（ x）的图象如图所示，已知函数 F（x ）满足 F（x）=f（x） ，则 F（x ）的函数图象可能是（ ）第 21 页（
30、共 42 页）A B C D【分析】先根据导函数 f（x ）的图象得到 f（x）的取值范围，从而得到原函数的斜率的取值范围，从而得到正确选项【解答】解：由图可得1f（x）1，即 F（x）图象上每一点切线的斜率 k（ 1，1）且在 R 上切线的斜率的变化先慢后快又变慢，结合选项可知选项 B 符合故选 B【点评】本题主要考查了导数的几何意义，同时考查了识图能力，属于基础题15已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（2）=1 ， f（x）为 f（x ）的导函数已知 y=f（x）的图象如图所示，若两个正数 a，b 满足 f（2a+b ）1，则 的取值范围是（ ）A （ B C （2，1） D （，
31、2）（1，+）【分析】先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定 a、b 的范围，最后利用线性规划的方法得到答案【解答】解：由图可知，当 x0 时，导函数 f（x）0，原函数单调递减，两正数 a，b 满足 f（2a+b ）1，且 f（2）=1，2a+b2， a0，b0，画出可行域如图k= 表示点 Q（2，1）与点 P（x ，y）连线的斜率，当 P 点在 A（1，0）时，k 最大，最大值为： ；当 P 点在 B（0，2）时，k 最小，最小值为： k 的取值范围是（ ，1） 第 22 页（共 42 页）故选 A【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于 0 时原
32、函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减16已知函数 y=f（x）的导函数的图象如图甲所示，则 y=f（x）的图象可能是（ ）A B C D【分析】先根据导函数的正负与原函数的单调性之间的关系结合导函数的图象判断出函数 f（x ）的单调性是先增后减，然后观察选项 ABCD 满足条件的只有 D，得到答案【解答】解：根据函数 y=f（x ）的导函数的图象可知导函数是先正后负原函数 y=f（x）应该是先增后减的过程根据选项中的函数 f（x）的单调性知选 D故选 D【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的增减性的关系导函数小于 0 时原函数单调递减，导函数大于 0 时原函数单调递增17已知可
33、导函数 y=f（x）在点 P（x 0，f（x 0） ）处切线为 l：y=g（x） （如图） ，设 F（x ）=f （x ）g（x） ，则（ ）第 23 页（共 42 页）AF（x 0）=0，x=x 0 是 F（x ）的极大值点BF（x 0）=0，x=x 0 是 F（x ）的极小值点C F（ x0）0，x=x 0 不是 F（x）的极值点DF （x 0）0，x=x 0 是 F（x）的极值点【分析】由 F（x）=f（x） g（x）在 x0 处先减后增，得到 F（x 0）=0 ，x=x 0 是 F（x）的极小值点【解答】解：可导函数 y=f（x ）在点 P（x 0，f（x 0） ）处切线为 l：y=g
34、（x ） ，F（x）=f（x）g（x）在 x0 处先减后增，F （ x0）=0，x=x0 是 F（x ）的极小值点故选 B【点评】本题考查函数在某点取得极值的条件的应用，是中档题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化18如图，虚线部分是四个象限的角平分线，实线部分是函数 y=f（x）的部分图象，则 f（x ）可能是（ ）Ax 2cosx Bxcosx Cxsinx Dx 2sinx【分析】由函数的图象可知 y=f（x ）为偶函数，可排除 B，D，y=f（x）不经过（2，4 2） ，可排除A，从而可得答案【解答】解：由函数的图象可知 y=f（x ）为偶函数，第 24 页（共 42 页
35、）对于 B，f（x）=xcosx 为奇函数，可排除 B；同理，D 中 f（x）=x 2sinx 为奇函数，可排除 D；对于 A，f（x）=x 2cosx 虽然为偶函数，但其曲线上的点（2，4 2）在直线 y=x 的右上方，即不在图中的函数曲线上，故可排除 A故选 C【点评】本体考查函数的图象，着重考查函数的奇偶性的应用，突出排除法的应用，属于中档题19如图所示的是函数 f（ x）=x 3+bx2+cx+d 的大致图象，则 x12+x22 等于（ ）A B C D【分析】由图象知 f（x） =0 的根为 0，1，2，求出函数解析式，x 1，x 2 为导函数的两根，可结合根与系数求解【解答】解：由
36、图象知 f（x ）=0 的根为 0，1，2，d=0f（ x）=x 3+bx2+cx=x（x 2+bx+c）=0x 2+bx+c=0 的两个根为 1 和 2b=3，c=2 f（ x）=x 33x2+2xf （x ）=3x 26x+2x 1，x 2 为 3x26x+2=0 的两根， 【点评】本题考查了识图能力，以及极值与导数的关系20已知 f（ x）是定义域为 R 的奇函数，f（4）=1，f （x）的导函数 f（x）的图象如图所示若两正数 a，b 满足 f（a+2b）1，则 的取值范围是（ ）第 25 页（共 42 页）A B C （ 1，10） D （ ，1）【分析】先由导函数 f（x ）是过原
37、点的二次函数入手，再结合 f（x）是定义域为 R 的奇函数求出f（x） ；然后根据 a、b 的约束条件画出可行域，最后利用 的几何意义解决问题【解答】解：由 f（x）的导函数 f（x）的图象，设 f（x）=mx 2，则 f（x ）= +nf（ x）是定义域为 R 的奇函数，f（0）=0 ，即 n=0又 f（4）= m（64）= 1，f（x）= x3= 且 f（a+2b）= 1， 1，即 a+2b4又 a0，b 0，则画出点（ b，a）的可行域如下图所示而 可视为可行域内的点（b，a）与点 M（2，2）连线的斜率又因为 kAM=3，k BM= ，所以 3故选 B【点评】数形结合是数学的基本思想方
38、法：遇到二元一次不定式组要考虑线性规划，遇到 的代数式要考虑点（x，y）与点（a，b ）连线的斜率这都是由数到形的转化策略21已知函数 y=f（x）的图象如图，则函数 在0，上的大致图象为（ ）第 26 页（共 42 页）A B C D【分析】先依据 f（x）的图象特点，对区间 0，上的自变量 x 进行分类讨论：当 0x 时；当 x 时研究函数 在 0， 上的函数值的符号，从而即可选出答案【解答】解：当 0x 时， ，则函数 的值为正；排除 B，D；当 x 时， ，则函数 的值为负；排除 C；故选 A【点评】华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔离分家万事非 ”数形结
39、合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷22若函数 的图象如图所示，则 a 的取值范围是（ ）A （1 ，+） B （0，1） C （0， ） D【分析】结合函数的图象并利用导函数的性质得 a0，再结合图象在第一象限内的性质得出12a0，即可解答第 27 页（共 42 页）【解答】解：函数 ，f（x）= ，令 f（x ）=0 得：x 2=a由图可知，函数 f（x）有两个极值点，故方程：x 2=a 有实数解， a0又从图象中得出，当 x 0 时，y 0，1 2a0，a 故 a（0， ） 故选
40、C【点评】本题考查了函数的图象、函数的极值与导数的联系，函数值与对应自变量取值范围的关系，解答关键是需要形数结合解题23已知函数 y=f（x）的定义域是 R，若对于任意的正数 a，函数 g（x ）=f （x ）f（xa）都是其定义域上的增函数，则函数 y=f（x ）的图象可能是（ ）A B C D【分析】直接利用 g（x）是增函数 导数大于 0f（x）的导数是增函数f（x ）是凹函数即可得到答案【解答】解：由于 g（x）是增函数，所以它的导数大于 0，也就是说 f（x ）的导数是增函数，所以 f（ x）的二阶导大于 0，所以 f（ x）是凹函数，故选 A【点评】本题主要考查导数的定义以及函数的
41、单调性与导函数之间的关系这是一道考查导数定义的好题第 28 页（共 42 页）24函数 y= 的大致图象如图所示，则（ ）Aa （1，0） Ba（0，1） Ca（，1） Da （1，+）【分析】考查 x0 时函数的图象特点，结合基本不等式得出关于 a 的不等关系求解即可【解答】解：当 x=0 时，y=0，故 a0，当 x0 时，y= = 当且仅当 x= 时取等号，由图知，当 x0 时，函数取得最大值时相应的 x 的值小于 1，0 1，0a1 ，故选：B【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数的图象、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题二填空题（共 12 小
42、题）25已知函数 f（x ）满足 f（x）=2f（ ） ，且 f（x）0，当 x1，3，f （x）=lnx，若在区间 ，3内，函数 g（x）=f （x）ax 有三个不同零点，则实数 a 的取值范围是 a 【分析】可以根据函数 f（x ）满足 f（x）=2f（ ） ，求出 x 在 ，1上的解析式，已知在区间 ，3内，函数 g（x）=f （x）ax ，有三个不同的零点，对 g（x）进行求导，利用导数研究其单调性，从而求出 a 的范围【解答】解：在区间 ，3内，函数 g（x）=f （x）ax ，有三个不同的零点，a 0 若 x1，3时，f（x ）=lnx ，可得 g（x）=lnxax， （x0）g（
43、x ）= a= ，若 g（x）0 ，可得 x ，g （x ）为减函数，第 29 页（共 42 页）若 g（x）0 ，可得 x ，g （x ）为增函数，此时 g（x ）必须在1，3上有两个交点， ，解得， a 设 x1，可得 1 3，f（ x）=2f（ ）=2ln ，此时 g（x）= 2lnxax，g（x ）= ，若 g（x）0 ，可得 x 0，g（x）为增函数若 g（x）0 ，可得 x ，g（x）为减函数，在 ，1上有一个交点，则 ，解得 0a6ln3 综上可得 a ；若 a0，对于 x1，3时，g（x）=lnx ax0，没有零点，不满足在区间 ，3内，函数 g（x）=f （x）ax ，有三个
44、不同的零点，a=0，显然只有一解，舍去综上： a 故答案为： a 【点评】此题充分利用了分类讨论的思想，是一道综合题，难度比较大，需要排除 a0 时的情况，注意解方程的计算量比较大，注意学会如何分类讨论26设点 P 在曲线 y= ex 上，点 Q 在曲线 y=ln（2x）上，则|PQ |的最小值为 【分析】由于函数 y= ex 与函数 y=ln（2x ）互为反函数，图象关于 y=x 对称，要求|PQ |的最小值，只要求出函数 y= ex 上的点 P（x， ex）到直线 y=x 的距离为 d= ，设 g（x ）= exx，求出g（ x） min=1ln2，即可得出结论第 30 页（共 42 页）
45、【解答】解：函数 y= ex 与函数 y=ln（2x ）互为反函数，图象关于 y=x 对称函数 y= ex 上的点 P（x， ex）到直线 y=x 的距离为 d=设 g（ x）= exx， （x0）则 g（x）= ex1由 g（x）= ex10 可得 xln2，由 g（x）= ex10 可得 0xln2函数 g（x ）在（0，ln2 ）单调递减，在ln2，+ ）单调递增当 x=ln2 时，函数 g（x） min=1ln2，d min=由图象关于 y=x 对称得： |PQ|最小值为 2dmin= 故答案为： 【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为
46、反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好27已知定义在 R 上的函数 f（x）和 g（x）满足 g（x）0，f（x）g（x）f （x）g（x） ，f（x）=a xg（ x） ， 令 ，则使数列a n的前 n 项和 Sn 超过 的最小自然数 n 的值为 5 【分析】分别令 x 等于 1 和 x 等于 1 代入得到两个关系式，把两个关系式代入 得到关于 a 的方程，求出方程的解即可得到 a 的值，根据 f（x ）g （x）f（x ）g （x ）可知 =ax 是减函数，对求得的 a 进行取舍，求出数列a n的通项公式，进而求得其前 n 项和 Sn，解不等式 Sn ，即可求得结果【解答】解：令 x=1，得到 f（1）=ag（1） ；令 x=1，f （ 1）= g（ 1） 代入 可得 a+ = ，化简得
