1、 CBA DEFCA BED练习题1 如图，圆柱的高为 10 cm，底面半径为 2 cm.，在下底面的 A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点处，需要爬行的最短路程是多少 ?2 如图，长方体的高为 3 cm，底面是边长为 2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点 A 出发，沿长方体侧面到达顶点 C 处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案 AB=5ACB3、一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 B点沿纸箱爬到 D 点，那么它所行的最短路线的长是_。4、如图，小红用一张长方形纸片 ABCD 进行折纸，已知该纸片宽 AB 为 8cm， 长 BC为10cm当小红折叠时，顶点 D 落
2、在 BC 边上的点 F 处（折痕为 AE） 想一想，此时 EC 有多长？5如图，将一个边长分别为 4、8 的长方形纸片 ABCD 折叠，使 C 点与 A 点重合，则 EB 的长是（ ） A3 B4 C D 5 56已知：如图，在ABC中，C=90 ，B=30，AB的垂直平分线交BC 于D，垂足为 E，D=4cm 求AC的长7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8 ，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使其落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 的长为 8、如图，在矩形 中， 将矩形 折叠，使ABCD,6ABCD点 B 与点 D 重合， 落在 处，若 ，则折 21：
3、 E痕 的长为 。EF9、如图，已知：点 E 是正方形 ABCD 的 BC 边上的点，现将 DCE 沿折痕 DE 向上翻折，使DC 落在对角线 DB 上，则 EBCE_BCAFEDCBABCBACDCBAD10、如图，AD 是ABC 的中线，ADC45 o，把ADC 沿 AD 对折，点 C 落在 C的位置，若BC2，则 BC_11如图 1，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC6cm ，BC 8cm ，现将直角边 AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（ ）A.2cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm12、有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6
4、cm,BC=8cm,现将直角边 AC 沿CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，你能求出 CD 的长吗？ 13、如图，在ABC 中， B= ，AB=BC=6，把90ABC 进行折叠，使点 A 与点 D 重合，BD:DC=1:2，折痕为 EF，点 E 在 AB 上，点 F 在 AC 上，求 EC 的长。14已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm，将此长方形折叠， 使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则ABE 的面积为（ ）A、6cm 2 B、8cm 2 C、10cm 2 D、12cm 215如图，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 D
5、 与点 B 重合，已知 AB3，AD9，求 BE 的长16、如图，每个小方格的边长都为 1求图中格点四边形 ABCD 的面积。E题5图FBCBACDACDAC BE图 1D A E C D B ADB CEFABEFDC第 11 题图17、如图，已知：在 中， ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说ABC90明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等18如图 8，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上(不与 A、D 重合 )，在 AD 上适当移动三角板顶点 P：能否使你的三角板两直角边分别通过点 B
6、 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B，另一直角边 PF 与 DC 的延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE2cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由21能.设 APx 米，由于 BP216+x 2，CP 216+(10x) 2，而在 RtPBC 中，有 BP2+ CP2BC 2，即 16+x2+16+(10x) 2100，所以 x2 10x+160，即(x5) 29，所以x53，所以 x8，x2，即 AP8 或 2，能.仿照可求得 AP4.19.如图AB
7、C 中， BCMANBCACB,5,1,90 则 MN= 4 20、直角三角形的面积为 ，斜边上的中线长为 ，则这个三角Sd形周长为（ ）（A） （B） 2d2S（C） （D）Sd解:设两直角边分别为 ,斜边为 ,则 , . 由勾股定理,得 .abc21Sab22abc所以 .224abd所以 .所以 .故选（C）dSabc2S21在 中, , 边上有 2006 个不同的点 ,ABC1BC1206,P记 ,则 =_.2206iiimP 1206m图 822如图所示，在 中, ,且 ,RtABC90,45ACBDE3B,求 的长.4CED.23、如图，在ABC 中， AB=AC=6，P 为 BC
8、 上任意一点，请用学过的知识试求 PCPB+PA2的值。24、如图在 RtABC 中, 3,4,90BCAC，在 RtABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用 0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形）25如图，A、B 两个村子在河 CD 的同侧，A、B 两村到河的距离分别为AC=1km，BD=3km，CD=3km，现在河边 CD 上建一水厂向 A、B 两村输送自来水，铺设水管的费用为 20000 元/千米，请你在 CD 选择水
9、厂位置 O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用 F。ABPC2.6m4m26已知：如图，ABC 中，C = 90，点 O 为ABC 的三条角平分线的交点，ODBC，OEAC，OFAB ，点 D、E 、F 分别是垂足，且 BC = 8cm，CA = 6cm，则点 O 到三边 AB，AC 和 BC 的距离分别等于 cm27 （8 分）如图，在ABC 中，AB=AC ，P 为 BC 上任意一点，请说明：AB2AP 2=PBPC。28、如图，已知： ， ， 于 P求证： 90CMAAB22BCAPPMBC A29 （本题满分 6 分）如图，一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马，而他正位
10、于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？30. （本题满分 6 分）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高 4 米，宽 2.8 米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.COA BDEF第 26 题图ABPC第 28 题图AB小河东北牧童小屋31在一棵树的 10 米高 B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处；另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?3
11、2在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面 1 米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为 2 米，求这里的水深是多少米?33长为 4 m 的梯子搭在墙上与地面成 45角，作业时调整为 60角( 如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了_m34已知：如图，ABC 中，C90，D 为 AB 的中点，E、F 分别在 AC、BC 上，且DEDF求证：AE 2BF 2EF 235已知：如图，在正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点， E 为 CB 的四等分点且 CE ，求CB41证：AFFE 36已知ABC 中，a 2b 2c 210a 24b26c338，试判定ABC 的形状，
12、并说明你的理由37已知 a、 b、c 是ABC 的三边，且 a2c2b 2c2a 4b 4，试判断三角形的形状38如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点 A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长?如果从点 A 开始经过四个侧面缠绕 n圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长?39、a、b 为任意正数，且 ab，求证：边长为 2ab、 a2b 2、a 2+b2 的三角形是直角三角形40. 三角形的三边长为 abcba2)(2,则这个三角形是( )（A） 等边三角形 （B） 钝角三角形 （C） 直角三角形 （D） 锐角三角形 .41.
13、（12 分）如图，某沿海开放城市 A 接到台风警报，在该市正南方向 100km 的 B 处有一台风中心，沿 BC 方向以 20km/h 的速度向 D 移动，已知城市 A 到 BC 的距离 AD=60km，那么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点？如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？42.（14 分）ABC 中，BC a，AC b，AB c，若C=90，如图（1） ，根据勾股定理，则22cba，若ABC 不是直角三角形，如图（2）和图（3） ，请你类比勾股定理，试猜想与 的关系，并证明你的结论
14、. 解：若ABC 是锐角三角形，则有 a2+b2c2 若ABC 是钝角三角形，C 为钝角，则有 a2+b20，x0 2ax0 a2+b2c2 当 ABC 是钝角三角形时，43 （10 分）如图，A 市气象站测得台风中心在 A 市正东方向 300 千米的 B 处，以 10 千米/7时的速度向北偏西 60的 BF 方向移动，距台风中心 200千米范围内是受台风影响的区域（1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果 A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ABCD第 24 题图44、将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的圆柱形水杯中，如图
15、所示，设筷子露在杯子外面的长度为 hcm，则 h 的取值范围是（ ） Ah17cm B h8cm C15cmh16cm D 7cmh16cm45 如图，已知： ， ， 于 P. 求证：. 46【变式 2】已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2 。求：四边形 ABCD 的面积。47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决 49、如图所示，ABC 是等腰直角三角形， AB=AC
16、，D 是斜边 BC 的中点，E 、F 分别是AB、AC 边上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF 的长。50 如图，在等腰ABC 中，ACB=90 ，D、E 为斜边 AB 上的点，且DCE=45。求证：DE 2=AD2+BE2。ECA BDFECA BDAB CD51 如图，在A BC 中， AB=13,BC=14,A C=15，则 BC 边上的高 A D= 。52 如图，长方形 ABCD 中，AB=8 ，BC=4 ，将长方形沿 AC 折叠，点 D 落在点 E 处，则重叠部分AFC 的面积是 。EFDBCA53 在ABC 中，AB=15 ,AC=20,BC 边上的高 A D
17、=12，试求 BC 边的长.54 在A BC 中，D 是 BC 所在直线上一点，若 AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17，求ABC 的面积。55. 若 ABC 三边 a、b、c 满足 a2b 2c 2338=10a+24b+26c，ABC 是直角三角形吗？为什么？56. 在ABC 中，BC=1997，AC=1998，AB 2=1997+1998，则ABC 是否为直角三角形？为什么？B CADB CAD注意 BC、AC、AB 的大小关系。 ABBCAC。AB2+BC2=1997+19972+1998=1997（1+1997 ）+1998=19971998+1998=19982= AC2 。
18、57. 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点 A 处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点C1 处，如图，已知长方形长 6cm，宽 5 cm，高 3 cm。蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方形的表面向上爬，它要从 A 点爬到 C1 点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去，所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？58.木箱的长、宽、高分别为 40dm、30dm 和 50dm，有一 70dm 的木棒，能放进去吗？请说明理由。1259. 已知ABC 的三边 a、b、c，且 a+b=17，ab=60，c=13, ABC 是否是直角三角形？你能说明理由吗？60. 如图，E 是正方形 AB
19、CD 的边 CD 的中点，延长 AB 到 F，使 BF= 41AB，那么 FE 与 FA 相等吗？为什么？18ED CA B F61. 如图，A=60, B=D=90。若 BC=4，CD=6，求 AB 的长。9C1A19A DB C62如图，xoy=60 ，M 是xoy 内的一点，它到 ox 的距离 MA 为 2。它到 oy 的距离为11。求 OM 的长。20MxyO带答案版的用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。图（1）中 ，所以 。方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。图（2）中 ，所以 。方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图
20、（3）1 和（3）2 所示的两个形状相同的正方形。CBA DEF在（3）1 中，甲的面积=（大正方形面积）（4 个直角三角形面积）,在（3）2 中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）（4 个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即： .方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。，所以 。练习题1 如图，圆柱的高为 10 cm，底面半径为 2 cm.，在下底面的 A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点处，需要爬行的最短路程是多少 ?2 如图，长方体的高为 3 cm，底面是边长为 2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点 A 出发，沿长方体侧面到达顶点 C
21、 处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案 AB=5ACB3、一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 B点沿纸箱爬到 D 点，那么它所行的最短路线的长是_。4、如图，小红用一张长方形纸片 ABCD 进行折纸，已知该纸片宽 AB 为 8cm， 长 BC为10cm当小红折叠时，顶点 D 落在 BC 边上的点 F 处（折痕为 AE） 想一想，此时 EC 有多长？5如图，将一个边长分别为 4、8 的长方形纸片 ABCD 折叠，BCABCBACDCA BED使 C 点与 A 点重合，则 EB 的长是（ ） A3 B4 C D 5 56已知：如图，在ABC中，C=90 ，B=30，AB的垂直平分线交BC 于D
22、，垂足为 E，D=4cm 求AC的长7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8 ，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使其落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 的长为 8、如图，在矩形 中， 将矩形 折叠，使ABCD,6ABCD点 B 与点 D 重合， 落在 处，若 ，则折 21： E痕 的长为 。EF9、如图，已知：点 E 是正方形 ABCD 的 BC 边上的点，现将 DCE 沿折痕 DE 向上翻折，使DC 落在对角线 DB 上，则 EBCE_10、如图，AD 是ABC 的中线，ADC45 o，把ADC 沿 AD 对折，点 C 落在 C的位置，若BC2，则 BC
23、_11如图 1，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC6cm ，BC 8cm ，现将直角边 AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（ ）A.2cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm12、有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm,BC=8cm,现将直角边 AC 沿CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，你能求出 CD 的长吗？ FEDCBAE题5图FBCBACDACDAC BE图 1D A E C D B CBAD13、如图，在ABC 中， B= ，AB=BC=6，把90ABC 进行折叠，使点 A 与点 D 重合
24、，BD:DC=1:2，折痕为 EF，点 E 在 AB 上，点 F 在 AC 上，求 EC 的长。14已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm，将此长方形折叠， 使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则ABE 的面积为（ ）A、6cm 2 B、8cm 2 C、10cm 2 D、12cm 215如图，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 D 与点 B 重合，已知 AB3，AD9，求 BE 的长16、如图，每个小方格的边长都为 1求图中格点四边形 ABCD 的面积。17、如图，已知：在 中， ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说ABC90明图中阴影部分的面积与直角三角
25、形的面积相等18如图 8，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上(不与 A、D 重合 )，在 AD 上适当移动三角板顶点 P：能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B，另一直角边 PF 与 DC 的延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE2cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由21能.设 APx 米，由于 BP216+x 2，CP
26、216+(10x) 2，而在 RtPBC 中，有 BP2+ CP2BC 2，即 16+x2+16+(10x) 2100，所以 x2 10x+160，即(x5) 29，所以x53，所以 x8，x2，即 AP8 或 2，能.仿照可求得 AP4.图 8ADB CEFABEFDC第 11 题图19.如图ABC 中， BCMANBCACB,5,12,90 则 MN= 4 20、直角三角形的面积为 ，斜边上的中线长为 ，则这个三角Sd形周长为（ ）（A） （B） 2d2S（C） （D）Sd解:设两直角边分别为 ,斜边为 ,则 , . 由勾股定理,得 .abc21Sab22abc所以 .224abd所以 .
27、所以 .故选（C）dSabc2S21在 中, , 边上有 2006 个不同的点 ,ABC1BC1206,P记 ,则 =_.2206iiimP 1206m解:如图,作 于 ,因为 ,则 .ADBC1ABCD由勾股定理,得 .所以222,P2P所以 .221ABCA因此 .120606m22如图所示，在 中, ,且 ,Rt9,45BCABDE3B,求 的长.4CED解:如右图：因为 为等腰直角三角形,所以 .ABC45ABDC所以把 绕点 旋转到 ,则 .EFE所以 .连结 . 所以 为直角三角形.4,45FCFB由勾股定理,得 .所以 .2223D5因为 所以 . 5,AE 4AFDBEA所以
28、. 所以 .S523、如图，在ABC 中， AB=AC=6，P 为 BC 上任意一点，请用学过的知识试求 PCPB+PA2的值。24、如图在 RtABC 中, 3,4,90BCAC，在 RtABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用 0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形）解：要在 RtABC 的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾
29、股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。ABPC1025如图，A、B 两个村子在河 CD 的同侧，A、B 两村到河的距离分别为AC=1km，BD=3km，CD=3km，现在河边 CD 上建一水厂向 A、B 两村输送自来水，铺设水管的费用为 20000 元/千米，请你在 CD 选择水厂位置 O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用 F。26已知：如图，ABC 中，C = 90，点 O 为ABC 的三条角平分线的交点，ODBC，OEAC，OFAB ，点 D、E 、F 分别是垂足，且 BC = 8cm，CA = 6cm，则点 O 到三边 AB，AC 和 BC 的距离分别等于 cm27 （8
30、分）如图，在ABC 中，AB=AC ，P 为 BC 上任意一点，请说明：AB2AP 2=PBPC。28、如图，已知： ， ， 于 P求证： 90CMAAB22BCAPPMBC A29 （本题满分 6 分）如图，一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处， 他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完 成这件事情所走的最短路程是多少？COA BDEF第 26 题图ABPC第 28 题图AB小河东北牧童小屋2.6m4m30. （本题满分 6 分）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满
31、家具后，高 4 米，宽 2.8 米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.31在一棵树的 10 米高 B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处；另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?32在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面 1 米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为 2 米，求这里的水深是多少米?33长为 4 m 的梯子搭在墙上与地面成 45角，作业时调整为 60角( 如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了_m34已知：如图，ABC 中，C90，D 为 AB 的中点，E、F
32、 分别在 AC、BC 上，且DEDF求证：AE 2BF 2EF 235已知：如图，在正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点， E 为 CB 的四等分点且 CE ，求CB41证：AFFE 36已知ABC 中，a 2b 2c 210a 24b26c338，试判定ABC 的形状，并说明你的理由37已知 a、 b、c 是ABC 的三边，且 a2c2b 2c2a 4b 4，试判断三角形的形状38如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点 A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长?如果从点 A 开始经过四个侧面缠绕 n圈到达点 B，那么所用
33、细线最短需要多长?39、a、b 为任意正数，且 ab，求证：边长为 2ab、 a2b 2、a 2+b2 的三角形是直角三角形40. 三角形的三边长为 abcba2)(2,则这个三角形是( )（A） 等边三角形 （B） 钝角三角形 （C） 直角三角形 （D） 锐角三角形 .41.（12 分）如图，某沿海开放城市 A 接到台风警报，在该市正南方向 100km 的 B 处有一台风中心，沿 BC 方向以 20km/h 的速度向 D 移动，已知城市 A 到 BC 的距离 AD=60km，那么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点？如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正
34、在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？42.（14 分）ABC 中，BC a，AC b，AB c，若C=90，如图（1） ，根据勾股定理，则22cba，若ABC 不是直角三角形，如图（2）和图（3） ，请你类比勾股定理，试猜想与 的关系，并证明你的结论. 解：若ABC 是锐角三角形，则有 a2+b2c2 若ABC 是钝角三角形，C 为钝角，则有 a2+b20，x0 2ax0 a2+b2c2 当 ABC 是钝角三角形时，43 （10 分）如图，A 市气象站测得台风中心在 A 市正东方向 300 千米的 B 处，以 10 千米/7时的速度向北偏西 60的 BF 方向移动，
35、距台风中心 200千米范围内是受台风影响的区域（1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果 A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？44、将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为 hcm，则 h 的取值范围是（ ） Ah17cm B h8cm C15cmh16cm D 7cmh16cm45 如图，已知： ， ， 于 P. 求证：. 思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以 BP 为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以 BP 为一边的直角三角形 . 所以连结 BM. 这样，
36、实际上就得到了 4 个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.解析：连结 BM，根据勾股定理，在 中，. 而在 中，则根据勾股定理有. 又 （已知） ， . 在 中，根据勾股定理有 ， . 46【变式 2】已知：如图，B=D=90， A=60，AB=4，CD=2 。求：四边形 ABCD的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC，或延长 AB、DC 交于 F，或延长 AD、BC 交于点 E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长 AD、BC 交于 E。A=60 ，B=90，E=30。AE=2AB=8，CE=2C
37、D=4，BE 2=AE2-AB2=82-42=48，BE= = 。 DE 2= CE2-CD2=42-22=12，DE= = 。S 四边形 ABCD=SABE -SCDE = ABBE- CDDE=47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于 CH如图所示，点 D 在离厂门中线 0.8 米处，且 CD， 与地面交于H解：OC1 米 (大门宽度一半)，OD0.8 米 （卡车宽度一半）在 RtOCD 中，由勾股定理得：CD .米，C
38、.（米）.（米） 因此高度上有 0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门48、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN 30，点 A 处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A，实质上是看 A 到公路的距离是否小于 100m, 小于 100m 则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 AB 并计算其长度。 （2）要求出学校
39、受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解析：作 ABMN，垂足为 B。 在 RtABP 中，ABP90，APB30， AP160， AB AP80。 （在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半） 点 A 到直线 MN 的距离小于 100m,这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C 处学校开始受到影响，那么AC100(m) ，由勾股定理得： BC2100 2-8023600, BC60。 同理，拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响，那么， AD100
40、(m) ，BD 60(m),CD120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h5m/s t120m5m/s24s。 答：拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24 秒。 （一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决49、如图所示，ABC 是等腰直角三角形， AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E 、F 分别是AB、AC 边上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF 的长。思路点拨：现已知 BE、CF，要求 EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键
41、是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接 AD解：连接 AD因为BAC=90 ，AB=AC 又因为 AD 为ABC 的中线，所以 AD=DC=DBADBC且BAD= C=45因为EDA+ADF=90 又因为CDF+ADF=90所以EDA=CDF 所以AEDCFD（ASA） 所以 AE=FC=5同理：AF=BE=12在 RtAEF 中，根据勾股定理得：，所以 EF=13。总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。50 如图，在等腰AB
42、C 中，ACB=90 ，D、E 为斜边 AB 上的点，且DCE=45。求证：DE 2=AD2+BE2。ECA BDFECA BD分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角形。51 如图，在A BC 中， AB=13,BC=14,A C=15，则 BC 边上的高 A D= 。 AB CD答案 12。52 如图，长方形 ABCD 中，AB=8 ，BC=4 ，将长方形沿 AC 折叠，点 D 落在点 E 处，则重叠部分AFC 的面积是 。EFDBCA设 EF=x，那么 AF=CF=8-x，AE2+EF2=AF2,所以 42+x2=(8-x)2,解得 x=
43、3，S=4*8/2-3*4/2=10答案：1053 在ABC 中，AB=15 ,AC=20,BC 边上的高 A D=12，试求 BC 边的长.答案 25 或 7 54 在A BC 中，D 是 BC 所在直线上一点，若 AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17，求ABC 的面积。答案 84 或 3655. 若 ABC 三边 a、b、c 满足 a2b 2c 2338=10a+24b+26c，ABC 是直角三角形吗？为什么？56. 在ABC 中，BC=1997，AC=1998，AB 2=1997+1998，则ABC 是否为直角三角形？为什么？注意 BC、AC、AB 的大小关系。 ABBCAC。AB
44、2+BC2=1997+19972+1998=1997（1+1997 ）+1998=19971998+1998=19982= AC2 。B CADC BADB CADC BAD57. 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点 A 处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点C1 处，如图，已知长方形长 6cm，宽 5 cm，高 3 cm。蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方形的表面向上爬，它要从 A 点爬到 C1 点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去，所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？58.木箱的长、宽、高分别为 40dm、30dm 和 50dm，有一 70dm 的木棒，能放进去吗
45、？请说明理由。1259. 已知ABC 的三边 a、b、c，且 a+b=17，ab=60，c=13, ABC 是否是直角三角形？你能说明理由吗？答案： 是直角三角形。 （平方差公式的灵活运用） abba2)(2= 22169017c。60. 如图，E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点，延长 AB 到 F，使 BF= 41AB，那么 FE 与 FA 相等吗？为什么？18ED CA B F61. 如图，A=60, B=D=90。若 BC=4，CD=6，求 AB 的长。19A DB C9C1A62如图，xoy=60 ，M 是xoy 内的一点，它到 ox 的距离 MA 为 2。它到 oy 的距离为11。求 OM 的长。20MxyO过点作，交的延长线于点，交的平行线于点。， 3，（在直角三角形中，角所对的边斜边的一半） ， 。在t中， 37AFB=DE+FD=31673答案. 延长交 oy 于， 35136 在t中， 142BMO
