1、12014 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第卷（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1） 【2014 年山东，理 1，5 分】已知 ， 是虚数单位，若 与 互为共轭复数，则 （ ,abRi ia2ib2iab（ ）（A） （ B） （C） （D）54i43434【答案】D【解析】 与 互为共轭复数， ，故选 Da2b2222,1iiiiab（2） 【2014 年山东，理 2，5 分】设集合 ， ，则 （ ）Ax,0xByAB（A） （ B） （C） （D）0,(,3) 13)(1,4)【答案】
2、C【解析】 ， ， ， ， ， ， ，故选1xQ1xx2xyQ,1,4y,3IC（3） 【2014 年山东，理 3，5 分】函数 的定义域为（ ）21()log)f（A）（B） （C）（D）1(0)2， 2， 1(0)2,)， 1(02)， ，【答案】C【解析】 或 或 ，故选 C2logx2log1x2log1x2x（4） 【2014 年山东，理 4，5 分】用反证法证明命题“设 ，则方程 至少有一个实根”时要做,abR20axb的假设是（ ）（A）方程 没有实根 （B）方程 至多有一个实根20xab（C）方程 至多有两个实根 （D）方程 恰好有两个实根2【答案】A【解析】反证法证明问题时，
3、反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“ 设 ， 为实数，则方程ab至少有一个实根”时，要做的假设是：方程 没有实根，故选 A20xab 20x（5） 【2014 年山东，理 5，5 分】已知实数 满足 ，则下列关系式恒成立的是（ ）,xy(01)xya（A） （B） （C ） （D ）221y22ln(1)l)siny3xy【答案】D【解析】 ，排除 A，B，对于 C， 是周期函数，排除 C，故选 D,01xaxyQsinx（6） 【2014 年山东，理 6，5 分】直线 与曲线 在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）4x3y（A） （B） （C）2 （D）422【答案】D 【解析】 ，
4、，解得直线和曲线的交点为 ，34x3 0xx0x， ，第一象限面积 ，故选23240148dD（7） 【2014 年山东，理 7，5 分】为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位： ）的分组区间为12,13)，13,14) ，kPa14,15)，15,16)，16,17, 将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组， 0压压压/kPa压压 / 压压0.360.240.160.081716151413122，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为（ ）（A）6
5、 （B）8 （C）12 （D）18【答案】C【解析】第一组与第二组频率之和为 ， ， ， ，故选 C0.24.10.2.450.3618612（8） 【2014 年山东，理 8，5 分】已知函数 ， 若方程 有两个不相等的实1fxgxkfxg根，则实数 的取值范围是（ ）k（A） （B） （C） （D）102（ ， ） 2（ ， ） 2（ ， ） （ ， ）【答案】B【解析】画出 的图象最低点是 ， 过原点和 时斜率最小为 ，斜率最大时 的斜率fx,1gxk,112gx与 的斜率一致，故选 B1（9） 【2014 年山东，理 9，5 分】已知 满足的约束条件 ，当目标函数,y023xy在该约束
6、条件下取得最小值 时， 的最小值为（ ）0,zaxby52ab（A）5 （B）4 （C） （D）2【答案】B【解析】 求得交点为 ，则 ，即圆心 到直线 的距离的平方1230xy2,12ab0, 50ab，故选 B254（10） 【2014 年山东，理 10，5 分】已知 ,椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为0ab1C21xyab2C， 与 的离心率之积为 ，则 的渐近线方程为（ ）21xyabC2322（A） （B） （C） （D）0xy20xy0xy【答案】A 【解析】 ， ， ， ，故选 A221cea22cabe42413abeab2a第 II 卷（共 100 分）二、填空题：本大题共
7、 5 小题，每小题 5 分（11） 【2014 年山东，理 11，5 分】执行下面的程序框图，若输入的 的值为 1，则输出的 的值xn为 【答案】3【解析】根据判断条件 ，得 ，输入 ，2430x13x1x第一次判断后循环， ；2,n第二次判断后循环， ；第三次判断后循环， ；4,x第四次判断不满足条件，退出循环，输出 3（12） 【2014 年山东，理 12，5 分】在 中，已知 ，当 时， 的面ABCVtanACur6ABCV积为 【答案】 163【解析】由条件可知 ，当 ， ， costanABCbA 623bc1sin6ABCSbc（13） 【2014 年山东，理 13，5 分】三棱锥
8、 中， ， 分别为 ， 的中点，记三棱锥 的PBCDEPDABE体积为 ， 的体积为 ，则 1VP2V12【答案】 4【解析】分别过 向平面做高 ，由 为 的中点得 ，由 为 的中点得 ，,EC12,hEPC12hPB12ABDABPS所以 12:34ABDABVS（14） 【2014 年山东，理 14，5 分】若 的展开式中 项的系数为 20，则 的最小值为 6bax3x2ab【答案】2【解析】将 展开，得到 ，令 由 ，得 ，62)(xba61231rrrTC,r得 360C1a所以 2（15） 【2014 年山东，理 15，5 分】已知函数 ，对函数 ，定义 关于()yfxRygxIgx
9、的“对称函数” 为函数 ， 满足：对任意 ，两个点f hIh关于点 对称，若 是 关于 的“对称函,xhgx,f 24x3fb数”，且 恒成立，则实数 的取值范围是 b【答案】 210b【解析】根据图像分析得，当 与 在第二象限相切时， ，由 恒成()3fx2()4gx210b()hxg立得 三、解答题：本大题共 6 题，共 75 分（16） 【2014 年山东，理 16，12 分】已知向量 ，函数 ，且 的图,cos,sin,ambxfxayf像过点 和点 ,3122,（1）求 的值；mn（2）将 的图像向左平移 个单位后得到函数 的图像，若 图像上各yfx0ygxygx最高点到点 的距离的
10、最小值为 1，求 的单调递增区间0,3ygx解：（1）已知 ， 过点 ，()sin2cosfxabx )(f2(,3)(,)1，()sinco26fm， ，解得 4()is233fn132mn31mn（2） ， 左移 后得到 ()si2cosi()6fxxx(fx()2si()6gx设 的对称轴为 ， 解得 ， ，解得 g0201d04 ()2sin()2sin()2cos36gxxx2,kxkz 的单调增区间为 ,kkzf,z（17） 【2014 年山东，理 17，12 分】如图，在四棱柱 中， 底面 是等腰1ABCDABCD梯形， ， ， 是线段 的中点60DAB2CDM（1）求证： ；1
11、1/CM平 面（2）若 垂直于平面 且 ，求平面 和平面 所成的角（锐角）1=31的余弦值解：（1）连接 ， 为四棱柱， ， ， ， 1A1BAC1/CD/AMCD， ， 为平行四边形， ，又 ， /CD1 111A平 面， 平 面 /平 面（2）解法一：， ， ，作 ，连接 ，1/1/11MAB面 与 共 面 NB1N则 即为所求二面角，在 中， ，NCD,2,60DA32C在 中， ， ， 1RtDC132N15解法二：作 于 点以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间坐标系，PABpxPy1z，11(,03),(,)(,0)2M1 3(,0)(,)2CDM设平面 的法向量为 ，
12、， ，1CD1,nxyz11302xyz1(,2n显然平面 的法向量为 ， ，显然二面角为锐角，AB2(,0) 2215cos,n所以平面 和平面 所成角的余弦值为 ， 1CDMC511352cos1NCD（18） 【2014 年山东，理 18，12 分】乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分如图，甲上有两个不相交的区域 ，A，乙被划分为两个不相交的区域 ， 某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球规定：BD回球一次，落点在 上的概率为 ，在 上的概率为 假设共有两次来球且落在 上各一次，小明1535,AB的两次回球互不影响求：（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（2）两次回
13、球结束后，小明得分之和 的分布列与数学期望解：（1）设恰有一次的落点在乙上这一事件为 ，A543()610PA（2） 的可能取值为 ， ； ； ；246， ， ， ， ， 1(0)6530P131()56P13(2)5P； ； (3)512()20的分布列为：B1C1D1A1D CBMABAC D50 1 2 3 4 6P365101129() 4665300E（19） 【2014 年山东，理 19，12 分】已知等差数列 的公差为 2，前 项和为 ，且 ， ， 成等比数nannS12S4列（1）求数列 的通项公式；na（2）令 ，求数列 的前 项和 14()nbnbnT解：（1） ， ， ，
14、成等比， ，解得 12141,6dSdSad1S2214S1,21na（2） ，当 为偶数时，()()2nnna， ，1()()35732Tnn 21nTn当 为奇数时， 111() ()3573nT ， 211nT2,1n为 偶 数为 奇 数（20） 【2014 年山东，理 20，12 分】设函数 （ 为常数， 是自然对数的底2(ln)xefkxk2.718e数） （1）当 时，求函数 的单调区间；0kfx（2）若函数 在 内存在两个极值点，求 k 的取值范围fx,2解：（1） ，当 时， ， ， 4231(2)()()(0)x xe ef kxk0x0xek令 ，则 当 时， 单调递减；当
15、 时， 单调递增00,f 2,f（2）令 ，则 ， ， ， ，xggexkln()1g()1g， ，222(), eekkl0lnkgeke综上： 的取值范围为 ,e（ ）（21） 【2014 年山东，理 21，14 分】已知抛物线 的焦点为 ， 为 上异 于原点的任意一2:(Cypx ） FAC点，过点 的直线 交于另一点 ，交 轴的正半轴于点 ，且有 ，当点 的横坐标为 3 时，AlBxD为正三角形 DF（1）求 的方程；C（2）若直线 ，且 和 有且只有一个公共点 1/l1lCE（）证明直线 过定点，并求出定点坐标；E（） 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由
16、AB解：（1）由题意知 设 ，则 的中点为 因为 ，,02pF,Dt0FD2,04ptFAD由抛物线的定义知： ，解得 或 （舍去） 由 ，解得 32pt3tt234pt2p所以抛物线 的方程为 C24yx6（2） （）由（1）知 设 ， ，因为 ，则1,0F0,Axy0,0DxFAD，0Dx由 得 ，故 故直线 和直线 平行，设直线 的方程为Dx0202,D1lB1l，02yb代入抛物线方程得： ，由题意 ，得 设 ，208byy20643by02y,Exy则 ， 当 时， ，可得直线 的方程为：204Exy0Ey2040204EAkxyA，由 ，整理可得： ，直线 恒过点 0024xy204x0241xE1,0F当 时，直线 的方程为 ，过点 所以直线 过定点 0AE1,FA,（）由（）知直线 过焦点 ，所以 ,F0002AExx设直线 的方程为 ，因为点 在直线 上，故 设 ，1xmy0,xy1my1,By直线 的方程为 ，由于 ，可得 ，代入抛物线方程得：AB02x002xx所以 ，可求得 ， 20084yx0108y108y104x所以点 到直线 的距离为： ，BAE 00 0024 141xmd xx则 的面积 ，当且仅当 ，即 时等号成0011462Sxx 010立所以 的面积的最小值为 16ABE
