1、12014 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1） 【2014 年重庆，理 1，5 分】在复平面内表示复数 的点位于（ ）i(12)（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【答案】A【解析】 ，对应点的坐标为 ，在第一象限，故选 A2i()ii(,)【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数 化为z的形式，是解答本题的关键ab,R（2） 【2014 年重庆，理 2，5 分】对任意等比数列 ，下列说法
2、一定正确的是（ ）na（A） 成等比数列 （ B） 成等比数列 （C） 成等比数列 （D ） 成等比数列139, 236,a248,a369,a【答案】D【解析】设 公比为 ，因为 ，所以 成等比数列，故选 Dnaq6936,q369,【点评】本题主要考查了是等比数列的性质主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断（3） 【2014 年重庆，理 3，5 分】已知变量 与 正相关，且由观测数据算得样本平均数 ， ，则由xy 3x.5y观测的数据得线性回归方程可能为（ ）（A）（B）（C ） （D ）0.42.yx2.429.5yx0.4.x【答案】A【解析】根据正相关知回归直线的斜率为正，排除
3、 ，回归直线经过点 ，故选 A,D,y【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键（4） 【2014 年重庆，理 4，5 分】已知向量 ，且 ，则实数 （ ）(,3)(1,4)(2,)akbc(3)abc0k（A） （B）0 （C）3 （D）92 152【答案】C【解析】由已知 ，即 ，故选 C(3)230abcacb2()(214)03kk【点评】本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错（5） 【2014 年重庆，理 5，5 分】执行如题图所示的程序框图，若输出 的值为 6，则判断框内可填入的条件是（ ）（A）
4、 （B ） （C ） （D）12s35s710s45s【答案】C【解析】由程序框图知：程序运行的 ，输出的 ， ，9810kS 6k98710S判断框的条件是 ，故选 C7【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的 值是解题的关键（6） 【2014 年重庆，理 6，5 分】已知命题 对任意 ，总有 ； 是 的充分不必要条:pxR20x:“1qx2“件则下列命题为真命题的是（ ）（A） （B ） （C） （D ）pqqppq【答案】D2【解析】根据指数函数的性质可知，对任意 ，总有 成立，即 为真命题， “ ”是“ ”的必要不xR20xp1x2充分条件，即 为假命题，
5、则 ，为真命题，故选 Dqpq【点评】本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定 ， 的真假是解决本题的pq关键，比较基础（7） 【2014 年重庆，理 7，5 分】某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（ ）（A）54 （B）60 （C）66 （D）72【答案】B【解析】在长方体中构造几何体 ,如右图所示， ， A4,5,2ABB，经检验该几何体的三视图满足题设条件3C其表面积 ，故选 B BCBACBCSSS 316160【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键（8） 【2014 年重庆，理 8，5 分】设 分别为双
6、曲线 的左、右焦点，双曲线上存在12F，21(0,)xyab一点 使得 ，则该双曲线的离心率为（ ）P129|3,|4FPbPab（A） （B） （C ） （D ）343594【答案】B【解析】由于 ，所以 ，221112(|)(|)4|FPF29bab分解因式得 ，所以离心率 ，故选 B 4303,5baabc53cea【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题（9） 【2014 年重庆，理 9，5 分】某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）（A）72 （ B）120 （
7、C）144 （D）3【答案】B【解析】用 表示歌舞类节目，小品类节目，相声类节目，则可以枚举出下列 10 种排法：,abc,abcabcacbcaba每一种排法中的三个 ，两个 可以交换位置，故总的排法为 种，故选 B3210A【点评】本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便（10） 【2014 年重庆，理 10，5 分】已知 的内角 ，ABC 1,sini()sin()2CA， 满 足面积 满足 所对的边，则下列不等式成立的是（ ）S12,abc， 记 分 别 为（A） （ B） （C ） （D ）()8bc()162612abc4abc【答案】A【
8、解析】已知变形为 ，1sini(sin()ACABA展开整理得 ，112cos)2icos()2B即 ，si()(sn8BC而 ，2 21nsin2inisi2 4SabCRABRAR故 ，故 ，排除 ，4R338sn,16abcB,CDC BACBA3因为 ，所以 ，故选 Abca()8bcac【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题二、填空题：本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡的相应位置（11） 【2014 年重庆，理 11，5 分】设全集 ，
9、则|10,1,2358,1,3579UnNAB()UCAB【答案】 7,9【解析】全集 ， ， ， ，10nN,2358A,79B4,6UC(),U【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题（12） 【2014 年重庆，理 12，5 分】函数 的最小值为 22()logl()fxx【答案】 14【解析】因为 ，设 ，则：222 221logl,og()l4lxxx2logtx原式 ，故最小值为 1()ttt14【点评】本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于中档题（13） 【2014 年重庆，理 13
10、，5 分】已知直线 与圆心为 的圆 相交于02yaxC2214xya两AB，点，且 为等边三角形，则实数 AC【答案】 41【解析】易知 的边长为 ，圆心到直线的距离为等边三角形的高 ，即：2 3h235aa【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键考生注意：（14） 、 （15） 、 （16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分（14） 【2014 年重庆，理 14，5 分】过圆外一点 作圆的切线 （ 为切点） ，再作割线 ， 分别交圆于PAPBC， ，若 ， ， ，则 BC6PA8C9B【答案】4【解析】设 ，
11、由 知： ，所,xyA:64,398BxyC以 A【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判断，属于基础题（15） 【2014 年重庆，理 15，5 分】已知直线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点， 正l23xty x半轴为极轴建立极坐标，曲线 的极坐标方程为 则直线 与曲线Csin4cos0(,2)l的公共点的极径 C【答案】 5【解析】直线的极坐标方程为 与 联立得：sincos12sis24costan, 5in【点评】本题考查直线 l 的参数方程、曲线 C 的极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题4（16） 【2014 年重庆，理 16，5 分】若不等式 对任
12、意实数 恒成立，则实数 的取值2121xaxa范围是 _【答案】 12a【解析】转化为左边的最小值 ，左边21a，当 时取等号，故1 15()22 2xxxx1x512aa【点评】本题考查绝对值不等式的解法，突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题，属于中档题三、解答题：本大题共 6 题，共 75 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （17） 【2014 年重庆，理 17，13 分】已知函数 的图像关于直线3sin02fxx，对称，且图像上相邻两个最高点的距离为 3x （1）求 和 的值；（2）若 ，求 的值3246f3cos2解：（1）由已知 ，周期 ，解出 ，因为 ，故只(),6kZ
13、,)2有 6（2） ，由 ，故313sin()sin()6464f062，215cos()1i63sini()sin()cos()sin666 135135428【点评】本题主要考查由函数 的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式的应用，属于siyAx中档题（18） 【2014 年重庆，理 18，13 分】一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是 1，3张卡片上的数字是 2，2 张卡片上的数字是 3，从盒中任取 3 张卡片（1）求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；（2） 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 的分布列与数学期望（注：若三个数 满足XX,a
14、bc，则称 为这三个数的中位数） abc解：（1）由古典概型的概率计算公式得所求概率为： 34958Cp（2） ； ； 321457(1)84Cpx1212134334(2) 8Cpx 17(3)842Cpx所以 X 的分布列为：所以 17431472828E【点评】本题属于中档题，关键是要弄清涉及的基本事件以及所研究的事件是什X1 2 3P781OMD CBA P5么才能解答好第一问；第二问的只要是准确记住了中位数的概念，应该说完成此题基本没有问题（19） 【2014 年重庆，理 19，13 分】如下图，四棱锥 ，底 面是以 为中心的菱形， 底面PABCDOPO， ， 为 上一点，且 ABC
15、D2,3BAMBC1,2MP（1）求 的长；PO（2）求二面角 的正弦值解：解法一：（1）设 ，则 ， ，x223APOx2234POx在 中由余弦定理 ，因为 ，所以 为BM 1cos0ABMBMPAPM直角三角形，由勾股定理： ，解出 ，2222 23()4x32x 32PO（2）设点 到平面 的距离为 ，由体积法知： ，APCdAPBCAV即 ，11163633322BABSdSOd点 到棱 的距离为 ，设所求二面角为 ，则 M15hx6210sin5dh解法二：（1）连接 ， ，底面是以 为中心的菱形， 底面 ，故 ，且 ，CDPOABCDBOACBD以 为坐标原点， ， ， 方向为
16、， ， 轴正方向建立空间坐标系 ，OAOBPxyz xyz ， ， ，2AB31cos32，1sin ， ， ， ， ， ，0,0,10B3,0C0,1OB3,10C又 ， ，则 ，2BM,44 ,4M设 ，则 ， ， ， ，0,Pa3,0APa3,PaPA230MPa解得 ，即 的长为 32O2（2）由（1）知 ， ， ，设平面 的法向量3,03,42M3,02CA，,nxyz平面 的法向量为 ，由 ，得 ，令 ，则PMC,nabc0mAP3042xzy1x，531,2m6由 ，得 ，令 ，则 ， 平面 的法向量 和平0nCPM3024acb1a,32nAPMm面 的法向量 夹角 满足： ，
17、故 n541cos083mn 210sin1si5【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键（20） 【2014 年重庆，理 20，12 分】已知函数 的导函数 为偶函数，且曲2()(,)xxfaebcaR()fx线 在点 处的切线的斜率为 ()yfx(0,)f 4c（1）确定 的值；ab（2）若 ，判断 的单调性；3cfx（3）若 有极值，求 的取值范围()fxc解：（1） ，由 恒成立知：22 xe()(fxf，故2 242)(2)0xx xababecabea b另外 ，联立解出 (0)4fc1（2）当 时， ，故 在定义域
18、 上为单调递增3c2 3(xxxffxR（3）由（1）得 ，而 ，当且仅当 时取等号，e 224xee 0x当 时， 恒成立，故 无极值；当 时，令 ，方程 的两根均为40ffc2xte2tc正，即 有两个根 ， ，当 时， ，当 时，x1x212,x0fx12,，0fx故当 ，或 时， 有极值，综上，若 有极值， 的取值范围为 12f fc4,【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应 用，难度中档（21） 【2014 年重庆，理 21，12 分】如下图，设椭圆 的左右焦点分别为21(0)xyab，12,F点 在椭圆上， ， ， 的面积
19、为 D12F12|D12F2（1）求椭圆的标准方程；（2）设圆心在 轴上的圆与椭圆在 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并yx分别过不同的焦点，求圆的半径解：（1）设 ，代入椭圆方程中求出 ，故 ，而 ，(,)Dc2bya21bDFa12c由已知： ，联立解出 ，12121,FF ,F即 ，联立解出 ，所以椭圆的标准方程为 2,bcabc2,1bc21xy（2）由于所求圆的圆心 在 轴上，故圆和椭圆的两个交点 关于 轴对称，从而经过Cy ,ABy点 所作的切线也关于 轴对称，如下图所示当切线互相垂直时，设两条切线交 ,AB于点 ，则 恰好形成一个边长为 正方形其中 表示圆
20、的半径，由几何关系Prr， ，22Fr2211BFP12FaPCBAy xOF2F17，所以 ，故所求圆的半径为 2423rrr423【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题（22） 【2014 年重庆，理 22，12 分】设 211, (*)nnaabnN（1）若 ，求 及数列 的通项公式；b23,an（2）若 ，问：是否存在实数 使得 对所有 成立？证明你的结论1c221nnc解：（1） ， ， ， ， ；又 ，nnb 312211nna 是首项为 0，公差为 1 的等差数列； ， （ ） 2n 2na*N（2）设 ，则 ，令 ，即 ，解得 21fxnnafcf2c4c下面用数学归纳法证明加强命题 时， ， ，221210f321af ，成立；设 时结论成立，即 ， 在 上为减函数，23ack21kkax, ， ， ，212kffafakc223kcfff ， ，即 时结论成立，23k 1kcn综上， 使得 对所有的 成立 4c22nn*N【点评】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，难度大
