1、二次根式的运算【知识梳理】1、 当 时，称 为二次根式，显然 。0aa0a2、 二次根式具有如下性质：（1） ；2（2） 时 ；， 当 时 ， 当 02aa（3） ；bb，（4） 。0a，3、二次根式的运算法则如下：（1） ；cbc（2） 。0an4、设 ，且 不是完全平方数，则当且仅当 时，Qmdcba， dbca，。5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。6、最简二次根式与同类二次根式（1）一个根式经过化简后满足：被开方数的指数与根指数互质；被开方数的每一个因式
2、的指数都小于根指数；被开方数不含分母。适合上述这些条件的根式叫做最简根式。（2）几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，那么这几个根式叫做同类根式。【例题精讲】【例 1】已知 ，则 _。25452xxy 2y【巩固一】若 为有理数，且 ，则 的值为_。yx， 421yxxx【巩固二】已知 ，则 _。2091xy yx【拓展】若 适合关系 ，m yxyxmyxyx 193253求 的值。【例 2】当 时，化简二次根式 。baabba224【巩固】1、化简 的结果是_。22314xx2、已知 ，则 等于（ ）0a2aA. B. C. D.a3a33、已知 ，化简 。cab022
3、22 cbaca【例 3】多重二次根式的化简：（1） ； （2） 。324 23810【巩固】化简：（1） _；2107（2） _；564（3） _；1610xx【拓展】化简 。119341956【例 4】计算：（1） ； （2） 。236 215140【巩固】计算：（1） ； （2） 。75231 426751【拓展】设 ，20871321M，则 的值是0874321N21MN_。二次根式的化简求值【知识梳理】有条件的二次根式化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点，这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系
4、式或图形等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形；有时需把待求式化简或变形；有时需把已知条件和待求式同时变形。【例题精讲】【例 1】设 ， ，求 的值。5x5y6yx【巩固】1、设 ，求 的值。12yx， 22yx2、已知 ，求 的值。32131yx， 221yx【拓展】已知 ，求 的值。32x43256xx【例 2】已知 ，那么 的值等于21x 191322xx_。【巩固】1、若 ，则 的值为（ ）ax24xA. B. C. D.不能确定a1a12、已知 ，求 的值。51x 1122xx【例 3】已知 是实数，且 ，问 之间有怎样的关系？ba、 1122baba、请推导。【巩固】已知 ，求2082082yx的值。564322yxy【例 4】已知 均为正数，且 ，求 的最小值。ba、 2ba1422baU【巩固】求代数式 的最小值。91242xx
