1、1立体几何专题三：垂直证明题型及方法基础知识梳理一个关系：线线垂直 线面垂直 面面垂直；三类证法(1)证明线线垂直的方法定义：两条直线所成的角为 90；平面几何中证明线线垂直的方法；线面垂直的性质：a，b ab；线面垂直的性质：a，bab.(2)证明线面垂直的方法线面垂直的定义：a 与 内任何直线都垂直a ；判定定理 1：Error!l；判定定理 2：ab，a b；面面平行的性质： ，a a ；面面垂直的性质： ，l，a，al a.(3)证明面面垂直的方法利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a ，a.类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）1.共面垂直：实际上是平面内的
2、两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型） （1）等腰（等边）三角形中的中线 （2）菱形（正方形）的对角线互相垂直 （3）勾股定理中的三角形（4） 利用相似或全等证明直角。2PCBADE2.异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图）例 1.如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，已知ABCDPAB60,2,2,3ADB证明： ；变式 1：如图，在边长为 2的正方形 ABCD中，点 E是 AB的中点，点 F是BC的中点，将AED,DCF 分别沿 ,F折起，使,A两点重合于 A.求证: DEF；变式 2：如图，在三棱锥 中， 是等边三PBCPA角形， PAC= PBC=90 证明： AB PC
3、类型二：线面垂直证明 方法 利用线面垂直的判断定理 1例 2.在正方体 中，O 为底面 ABCD 的中心，E 为 ,求证：1ABCD 1C1OE平 面变式 1：如图：直三棱柱 ABC A1B1C1中， AC=BC=AA1=2， ACB=90.E为 BB1的中点， D 点在 AB 上且 DE= .3求证： CD平面 A1ABB1；变式 2 如图，在底面为直角梯形的四棱锥 中，PBC， ， 平面 ，ADBC 90PAD3，2BEADFG3，23AB6C求证： 平面DPA利用面面垂直的性质定理 2方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。例 3.在四棱锥 ，底面 ABCD 是正方形，侧面 PAB 是等
4、腰三角形，且PABCD,求证：面 底 面 PAB面类型 3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)例 4.如图，已知 平面 ， 平面 ， 为等边三角形，ABCECDA， 为 的中点.2ADEFD(1) 求证： 平面 ；/(2) 求证：平面 平面 ；变式 1 已知直四棱柱 ABCDA B C D的底面是菱形， 60ABC， E、 F分别是棱 CC与 BB上的点，且 EC=BC=2FB=2求证：平面 AEF平面 AA C C；小题训练1.设 M 表示平面， a、 b 表示直线，给出下列四个命题： b M b M.b/ baM/a/其中正确的命题是 ( )A. B. C. D.ABC DEF42.
5、下列命题中正确的是 ( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形 ABCD 中， E、 F 分别是 AB、 BC 的中点.现在沿 DE、 DF 及EF 把 ADE、 CDF 和 BEF 折起，使 A、 B、 C 三点重合，重合后的点记为 P.那么，在四面体 PDEF 中，必有 ( )A.DP平面 PEF B.DM平面 PEF C.PM平
6、面 DEF D.PF平面 DEF4.设 a、 b 是异面直线，下列命题正确的是 ( )A.过不在 a、 b 上的一点 P 一定可以作一条直线和 a、 b 都相交B.过不在 a、 b 上的一点 P 一定可以作一个平面和 a、 b 都垂直C.过 a 一定可以作一个平面与 b 垂直D.过 a 一定可以作一个平面与 b 平行5.如果直线 l,m 与平面 , 满足: l=, l, m 和 m,那么必有 A. 且 l m B. 且 m C.m 且 l m D. 且6.有三个命题：垂直于同一个平面的两条直线平行；过平面 的一条斜线 l 有且仅有一个平面与 垂直； 异面直线 a、 b 不垂直，那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直其中正确命题的个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.37.d 是异面直线 a、 b 的公垂线，平面 、 满足 a， b，则下面正确的结论是 ( )A. 与 必相交且交线 m d 或 m 与 d 重合B. 与 必相交且交线 m d 但 m 与 d 不重合C. 与 必相交且交线 m 与 d 一定不平行D. 与 不一定相交8设 l、 m 为直线， 为平面，且 l，给出下列命题 若 m，则 m l；若 m l，则 m；若 m，则 m l；若m l，则 m，其中真命题的序号是 ( )A. B. C. D.第 3 题图5
