1、1常用因式分解公式：1、 2、 2()()xabxab22()abab3、 4、 323()5、 ()6、 2()(cccc7、 2(xaybxaby常用因式分解方法：一、公式法：例 1 分解下列因式： 256x256x 24yy解：因为 ，所以公式 中的()3,5()32()()axbabx。故,ab26)3()3x因为 ，所以公式 中的 61, 2(x 1,6。故 225()1(16)x因为 ，所以4(),yy22yxy因为 的公式中含有因式 ， ，也含有因式 ，2 (),x()xy()xy所以 ()()2x练习： 241261 269x24xy 321x327a2二、十字相乘法（一）二次
2、项系数为 1 的二次三项式直接利用公式 进行分解。)()(2 qxpqxpx特点：（1）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。例 2、分解因式： 652x解：因为 ，列式子如右： ，对角交叉两个相乘后的和为 ，符合2,3x23x5x题意，所以 。这种方法叫做十字相乘法。这种方法中，每竖列相乘分别()是二次三项式中的第一项和第三项，而对角交叉相乘之和则恰为第二项。例 3、分解因式： 672x解：因为 ，列式子如右： ，对角交叉两个相乘后的和为2,(1)x 16x，符合题意，所以 。72(1)6x例 4、分解因式： 3y分析：把 看成一个字母来进行因式
3、分解xy解：因为 ，列式子如右： ，对角交叉两个相乘后的和2,() 21xy为 ，符合题意，所以 。323(2)xyxy练习 1、分解因式(1) (2) (3)413615a542x练习 2、分解因式(1) (2) (3)2x152y24102x练习 3、分解因式(1) (2) （3）862ax1736x 10)(3)(2yx注：（1）中把 看成一个字母， （2）中把 看成一个字母， （3）中把 看成一个字母ax3（二）二次项系数不为 1 的二次三项式 cbxa2条件：（1） 2a11（2） c22（3） 11b分解结果： =x2 )(2cxa例 5、分解因式： 0解：因为 ，列式子如右： ，
4、对角交叉两个相乘后的和2,5352x为 ，符合题意，所以 。1x231()xx注：因为中间一次项系数为负数，而二次项和常数项都为正，所以正数 10 应分解为两个负数之积。如果 10 分解为 ，无论前面哪个与这两个数相乘，其和都不可能为 ，所以排除()0 1x10 分解为 。但如果把 误列为 ，则对角交叉相乘后的和为52x325x与题意不和，所以也要舍弃。17x练习 4、分解因式：（1） （2）675272x（三）二次项系数为 1 的齐次多项式为了更好地进行因式分解，我们把齐次中的另一个字母设为 1，化成了二次项系数为 1 的二次三项式。例 6、分解因式： 228ba分析：第一步，把 中的 看成
5、 1，则该式变成 ，对其进行因式分解28a可得：，列式子如右： ，对角交叉两个相乘后的和为 ，符2,18(6)a68a8a合题意，所以 2(1)a第二步，把分解后的因式中的常数项都乘以 得： 。b221(6)bab注：这种方法在对齐次多项式进行因式分解经常采用。解：因为 ， ，列式子如右： ，对角交叉两个相乘后的2286b8和为 ，符合题意，所以8ab218(6)abab练习 5、分解因式(1) (2) 22 2nm4（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式参考上面的因式分解方法，我们把齐次中的另一个字母设为 1，化成了二次项系数不为 1 的二次三项式 。cbxa2参照二次项系数不为 1 的二次
6、三项式的因式分解方法进行。例 7、 26y解：因为 ，列式子如右： ，对角交叉两个相乘2,()3y23xy后的和为 ，符合题意，所以 。x2276(3)(xy练习 6、分解因式：（1） （2）415 22151三、添项、拆项、配方法。例 8、分解因式 432x解：拆项：把 拆成 。232 3224()4(1)()4(1)xxxxx(1)()1)练习 7、分解因式（1） （2）289424练习 7 中（2） 把 看成 ，把 看成 ，则44()x2()a()b2()()xxb（3） （4）4261x32x（3） 中对 拆项，拆成 和 ；则 。2x2442261(1)xx（4） 对常数 2 进行拆项
7、： 332()5四、待定系数法：主要依据公式：和2()()xabxab22()()xaybxaby例 8 分解因式： 23453y解：把 分成二部分：二次项部分和一次项部分2二次项部分： ，一次项部分 ；那么二次项部分可以先进行分解。因为 系数是 2，故可以设 ，将 展开得：2y222()xyxay2()xay，所以 ，求得 或 ()xay3a1故 223()观察 ，若可以分解因式，则 一定是两个45x223453xyxy一次因式的积的形式，并且是 和 的形式。ymxyn所以设 ，将 展开得：223()()xy()()mn2()()mn n所以有： ，于是 4,5,1,3故 223()()xxy注：对于这种较复杂和因式分解可以分两步走，先分解所有二次项的，再进行整体分解。练习：分解下列因式：（1） （2） 2208xy 24xyxy例 17、当 为何值时，多项式 能分解因式，并分解此多项式。m652ymx观察 ，若可以分解因式，则 一定是两个一次因式的积652yx 652yx的形式，并且是 和 的形式。axb解：设 = ，展开得：()()a，所以有 2()()xyabyab,5,6maba所以 或者 。所以 112,32,1当 时，此时 ，m13256(2)(3)xxy当 时，此时 ，22, x练习：已知： 能分解成两个一次因式之积，求常数 并且分解因式pyyx46 p
