1、2.1.5 平面上两点间的距离,第2章 2.1 直线与方程,学习目标 1.掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式. 2.能运用距离公式、中点坐标公式解决一些简单的问题. 3.理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 两点间的距离,已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). 思考1 当x1x2，y1y2时，P1P2？,答案 P1P2|x2x1|.,思考2 当x1x2，y1y2时，P1P2？,答案 P1P2|y2y1|.,思考3 当x1x2，y1y2时，P1P2？请简单说明理由.,答案 如图，在Rt P1QP2中，,梳理 (
2、1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). (2)结论： . (3)特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离OP .,知识点二 中点坐标公式,思考 已知A(1,3)，C(6，1)，怎样求AC的中点呢？,答案 如图，设线段AC的中点M的坐标为(x，y)， 过点A，M，C向x轴作垂线， 垂足分别为A1，M1，C1， 则A1，M1，C1的横坐标分别为1，x,6. 由A1M1M1C1，得x(1)6x，,梳理 一般地，对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则,x0 ， y0 .,题型探究,例1 如图，已知ABC的三个顶点A(3,1)，
3、B(3，3)，C(1,7)，(1)判断ABC的形状；,类型一 两点间的距离公式,解答,AB2AC2BC2，且ABAC， ABC是等腰直角三角形.,kACkAB1，ACAB.,ACAB，ABC是等腰直角三角形.,(2)求ABC的面积.,解答,ABC的面积为26.,引申探究 若本例中的三个点的坐标改为A(2,3)，B(2t,3t)，C(5,1)，对任意t1，试判断ABC的形状.,解答,解 方法一 根据题意可得,AB2AC2BC2. ABC是以A为直角顶点的直角三角形.,kABkAC1，ABAC， ABC是以A为直角顶点的直角三角形.,反思与感悟 (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明
4、确三角形的形状，以确定证明的方向. (2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理. (3)利用平面上两点间的距离公式可以求点的坐标，方法：根据已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足的条件，设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解.,跟踪训练1 已知点A(1,2)，B(2， )，在x轴上求一点P，使PAPB，并求PA的值.,解答,类型二 运用坐标法解决平面几何问题,例2 在ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AB2AC22(AD2DC2).,证明,
5、证明 设BC所在边为x轴，以D为坐标原点，建立直角坐标系， 如图所示，设A(b，c)，C(a,0)， 则B(a,0). AB2(ab)2c2， AC2(ab)2c2， AD2b2c2，DC2a2， AB2AC22(a2b2c2)，AD2DC2a2b2c2， AB2AC22(AD2DC2).,反思与感悟 利用坐标法解平面几何问题常见的步骤 (1)建立直角坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上. (2)用坐标表示有关的量. (3)将几何关系转化为坐标运算. (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.,跟踪训练2 已知在等腰梯形ABCD中，ABDC，对角线为AC和BD. 求证：ACBD.,证明 如图所示
6、，建立直角坐标系， 设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(ab，c)，,证明,达标检测,答案,解析,1.过点A(4，a)和点B(5，b)的直线和直线yxm平行，则AB_.,1,2,3,4,5,答案,解析,2.已知点M(m，1)，N(5，m)，且MN2 ，则实数m_.,1,2,3,4,5,解得m3或m1.,1或3,答案,解析,1,2,3,4,5,3.已知点M(1,3)和点N(5,1)，点P(x，y)到点M，N的距离相等，则x，y满足的条件是_.,3xy40,答案,解析,4.若三角形的顶点分别为A(2，3)，B(2，5)，C(6,4)，则AB边上的中线长为_.,10,1,2,3,4,5,解析 AB的中点坐标为(0，4)，,1,2,3,4,5,5.已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是 ，则AB的长为_.,13,答案,解析,解析 设A(a,0)，B(0，b)，则a5，b12，,1.坐标平面内两点间的距离公式是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离.反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标. 2.解析法证明几何问题的步骤,规律与方法,
