1、第1课时 直线与圆的位置关系,第二章 2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系,学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离. 2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系. 3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断,思考 如何判断直线xy20与圆x2y21的位置关系？ 答案 有两种方法.,方法一 (几何法),故直线与圆相离. 方法二 (代数法),该方程组无解. 故直线与圆相离.,梳理 直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2位置关系的判定,dr,dr,
2、dr,0,0,0,2,1,0,几何法：设圆心到直线的距离为,思考辨析 判断正误 1.若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.( ) 2.如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.( ) 3.若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.( ),题型探究,例1 求实数m的取值范围，使直线xmy30与圆x2y26x50分别满足：相交；相切；相离.,类型一 直线与圆的位置关系的判断,解答,圆的半径r2.,解 圆的方程化为标准形式为(x3)2y24，,反思与感悟 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代
3、数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.,跟踪训练1 对任意的实数k，直线ykx1与圆x2y22的位置关系一定是 A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心,答案,解析,解析 直线ykx1恒过定点(0,1)， 由定点(0,1)在圆x2y22内， 则直线ykx1与圆x2y22一定相交. 又直线ykx1的斜率存在， 则该直线必不过圆心(0,0)，故选C.,类型二 切线问题,例2 过点A(4，3)作圆(x3)2(y1)21的切线，求此切
4、线方程.,解答,解 因为(43)2(31)2171， 所以点A在圆外. 若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k， 则切线方程为y3k(x4)，即kxy4k30. 设圆心为C， 因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，,即15x8y360. 若直线斜率不存在， 圆心C(3,1)到直线x4的距离为1， 这时直线x4与圆相切，所以另一条切线方程为x4. 综上，所求切线方程为15x8y360或x4.,引申探究 若本例的条件不变，求其切线长.,解答,解 因为圆心C的坐标为(3,1)， 设切点为B，则ABC为直角三角形，,又|BC|r1，,所以切线长为4.,反思与感悟 求过某一点的圆的切线方程，首先判定
5、点与圆的位置关系，以确定切线的数目. (1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为 ，由点斜式方程可求得切线方程.如果k0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为yy0或xx0. (2)求圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解： 设切线方程为yy0k(xx0)，即kxykx0y00，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出.但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出.,跟踪训练2 若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方
6、程为_.,x2y50,解析 点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上， 可得此圆的方程为x2y25， 所以该圆在点P处的切线方程为1x2y5， 即x2y50.,答案,解析,类型三 直线与圆相交问题,命题角度1 求弦长问题 例3 过圆x2y28内的一点P(1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135，则弦AB的长为_.,解析,答案,解析 方法一 (交点法) 由题意知，直线l的方程为y2(x1)， 即xy10.,方法二 (弦长公式) 由题意知，直线l的方程为y2(x1)， 即xy10.,消去y，得2x22x70. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,方法三 (几何法) 由题意知直线
7、l的方程为y2(x1)， 即xy10，,反思与感悟 求直线与圆相交时的弦长有三种方法 (1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式 |AB| 求解.,跟踪训练3 已知直线l：kxyk20与圆C：x2y28. (1)证明：直线l与圆相交；,证明,证明 l：kxyk20， 直线l可化为y2k(x1)， 直线l经过定点(1,2)， (1)2228， (1,2)在圆C内， 直线l与圆相交.,(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长.,解答,解 由(1)知，直线l过定点P(1,2)， 又圆C：x2y28的圆心为原点O， 则与OP垂直的直线截得的
8、弦长最短. kOP2，,即x2y50. 设直线l与圆交于A，B两点，,命题角度2 已知弦长求方程 例4 直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2y225相交于A，B两点，截得的弦长为4 ，求直线l的方程.,解答,解 方法一 若直线l的斜率不存在， 则l：x5与圆C相切，不合题意， 直线l的斜率存在， 设其方程为y5k(x5)， 即kxy5(1k)0. 如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，,|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，,在RtAHO中，|OA|5，,直线l的方程为x2y50或2xy50.,方法二 若直线l的斜率不存在， 则l：x5与圆C相切，不合题意， 直线l的斜率存在
9、， 设直线l的方程为y5k(x5)， 且与圆相交于A(x1，y1), B(x2，y2)两点.得(k21)x210k(1k)x25k(k2)0， 10k(1k)24(k21)25k(k2)0， 解得k0.,由斜率公式， 得y1y2k(x1x2).,两边平方，整理得2k25k20，,故直线l的方程为x2y50或2xy50.,反思与感悟 设直线方程时，注意别遗漏了斜率不存在的情况，应先验证斜率不存在时，是否符合题意.,跟踪训练4 已知圆C与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且在直线 yx上截得的弦长为2 ，求此圆的方程.,解答,解 圆心在直线x3y0上， 故可设其圆心为(3b，b)，b0， 由圆C与y
10、轴相切可知，r3|b|，,b1， 故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.,达标检测,答案,1.直线yx1与圆x2y21的位置关系是 A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离,1,2,3,4,5,解析,又直线yx1不过圆心(0,0)，故选B.,答案,解析,2.直线3x4yb与圆x2y22x2y10相切，则b的值是 A.2或12 B.2或12 C.2或12 D.2或12,解析 圆的方程为x2y22x2y10， 可化为(x1)2(y1)21，得b2或12，故选D.,1,2,3,4,5,3.若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是 A
11、.3，1 B.1,3 C.3,1 D.(，31，),1,2,3,4,5,答案,解析,解析 圆(xa)2y22的圆心C(a,0)到直线xy10的距离为d，所以|a1|2，解得3a1.,1,2,3,4,5,解析,答案,5.直线ykx3与圆(x1)2(y2)24相交于M，N两点，且|MN|2 ，则k的取值范围是_.,(，0,1,2,3,4,5,答案,解析,1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷. 2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长,规律与方法,3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.,
