1、 与一元二次方程有关的竞赛题一、降次（一）直接用方程降次1当 时，多项式 的值为 。2194x 2013)94174(x分析与解：2若 则 的值等于 。,132x205729234xx分析与解：3设 ，则 = 。072x4279x分析与解：（二）用根的关系式降次4已知 是方程 的两个根，则 的值为 。, 012x34分析与解：5设 是二次方程 的两个根，求 的值。21,x032x194231x分析与解：二、用根的判别式解题6已知 是整数，且 求 的值。cba, ,01,422cabcba分析与解：7已知 均为实数，且 ， 求 的值。cba, 4ba,10342cabcab分析与解：8已知 为整
2、数，且 有两个不相等的实数根；ba, 032bax有两个相等的实数根； 没有实数根，07)6(2x 0)5()4(2bxa则 = 。分析与解：9 为整数时，关于 的方程 的根是有理数，mx 0)23()1(422 kmx求 的值。k分析与解：10证明：已知关于 的一元二次方程 x02cBxA 中，至少有一个方程有实数根。02ACxB02c分析与解：11设 p1、p 2、q 1、q 2 为实数，且 证明方程 和),(2211qp 012qxp中至少有一个实数根。02x分析与解：12求方程 的整数解。0122yxyx分析与解：三、用韦达定理解题13若 ，且有 及 则 的值是 1ab09235a,0
3、523ba。分析与解：14已知 是 的两根，不解方程。21,x013求（1） 的值；)(21（2 ） 的值。21369xx分析与解：四、构造一元二次方程解题15已知实数 满足 且 ，那么 的取值范围是 。ba, ,122ba2batt16若 均为实数，且 那么 的最小值可达到 c, ,0c,|c。17已知 p、q 是有理数， 满足 则 的值是 。215x,03qpxp18若 ，且有 及 ，则 的值是 。1ab092a521bba19已知实数 满足c, .4,bc（1 ）求 中的最大者的最小值；（ 2）求 的最小值。cba, |cba分析与解：20已知 且 ，则 。)()(412acbcb0ac
4、b分析与解：21已知实数 a、b、c 满足 ，且 求b ,0)()19)(19acba的值。2)(c分析与解：22已知实数 x、y、z 满足 及 ，则 = 。5yx92yxzzyx3223当 变化时，分式 的最小值是 。12632x24已知 则 的值等于 。,31x73623425 E、F 分别在矩形 ABCD 的边 BC 和 CD 上，若 CEF、 ABE、 ADF 的面积分别是3， 4，5，求 AEF 的面积 S。分析与解：26已知实数 ，且满足 ，求ba 22 )1(3)(,13)1( baa的值。b分析与解：五、一元二次方程的整数根的探究27已知方程 （其中 是非负整数）至少有一个01532)83(22 axaxa a整数根，那么， = 。28设关于 的二次方程 的两根都是整数。求x 4)6()6( 222 kxkxk满足条件的所有实数 的值。分析与解：29设 为整数且 ，方程 有两个整数根，m40 0814)32(2mxx求 的值及方程的根。分析与解：30已知方程 的根都是整数，求整数 的值及方程的根。0)3(22kxk分析与解：31一直角三角形的两直角边长为整数，且满足方程 试求 的值,04)2(2mxx及此直角三角形三边的长。分析与解：32求使关于 的方程 有整数根时所有整数 。x 062)1()(32axxa a分析与解：
