1、2.3.3 直线与圆的位置关系,第二章 2.3 圆的方程,学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离. 2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系. 3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,思考1 若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切吗？,知识点 直线与圆的位置关系,答案 一定.由直线与圆的位置关系可得.,思考2 若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足什么条件？,答案 当直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离小于或等于半径.,梳理 直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断,2,1,0,
2、思考辨析 判断正误 1.若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.( ) 2.如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.( ) 3.若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.( ),题型探究,例1 求实数m的取值范围，使直线xmy30与圆x2y26x50分别满足：相交；相切；相离.,类型一 直线与圆的位置关系的判断,解 圆的方程化为标准形式为(x3)2y24，,解答,反思与感悟 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. (3)直线系法：若直线
3、恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.,跟踪训练1 (1)对任意的实数k，直线ykx1与圆x2y22的位置关系一定是 A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心,解析,解析 直线ykx1恒过定点(0,1)， 由定点(0,1)在圆x2y22内， 得直线ykx1与圆x2y22一定相交. 又直线ykx1的斜率存在， 则该直线必不过圆心(0,0)，故选C.,答案,解析,解析 当直线l斜率不存在时，直线l与圆x2y21没有公共点，,答案,060,060.,例2 (1)若圆C：x2y22x4y30关于直线2axby60
4、对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.6,类型二 切线问题,答案,解析,解析 因为过圆外一点的圆的切线长l、半径长r和点到圆心的距离d满足勾股定理，即l2d2r2， 所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，转化成求该点与圆心的距离的最小值问题.,(2)过点A(1,4)作圆(x2)2(y3)21的切线l，求切线l的方程为_.,解析,解析 (12)2(43)2101，点A在圆外. 当直线l的斜率不存在时，l的方程是x1，不满足题意. 设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y4k(x1)， 即kxy4k0.,答案,y4或3x4y130,因此，所求直线l的方程为y4
5、或3x4y130.,反思与感悟 (1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为 ，由点斜式可得切线方程.如果k0或k不存在，则由图形可直接得切线方程为yy0或xx0. (2)过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法 设切线方程为yy0k(xx0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，即得切线方程.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为xx0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条，一般不用联立方程组的方法求解.,(3)求切线长最小值的两种方法 (代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量
6、统一成一个，转化成函数求最值； (几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.,解析,答案,点P在圆上.,解析,解析 如图所示，因为S四边形PAOB2SPOA， 又OAAP，,(2)点P是直线2xy100上的动点，PA，PB与圆x2y24分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为_.,答案,8,为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，,类型三 弦长问题,例3 (1)过圆x2y28内的点P(1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135，则弦AB的长为_.,解析,答案,解析 方法一 (交点法) 由题意知，直线l的方程为y2(x1)，即xy10.,方法二
7、 (弦长公式) 由题意知，直线l的方程为y2(x1)，即xy10.,消去y，得2x22x70. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,方法三 (几何法) 由题意知，直线l的方程为y2(x1)，即xy10，,(2)如果一条直线经过点 且被圆x2y225所截得的弦长为8，求这条直线的方程.,解答,解 圆x2y225的半径r为5，直线被圆所截得的弦长l8，,故直线的方程为3x4y150. 综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x3和3x4y150.,因为圆心O(0,0)到直线x3的距离恰为3，所以直线x3符合题意.,反思与感悟 求直线与圆相交时的弦长有三种方法,跟踪训练3 (1)过点(3
8、,1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_.,答案,解析,解析 设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r2.,(2)圆心为C(2，1)，截直线yx1的弦长为2的圆的方程为_.,答案,解析,解析 设圆的半径为r，由条件，,(x2)2(y1)24,r2224，得r2. 圆的方程为(x2)2(y1)24.,达标检测,1.直线3x4y120与圆(x1)2(y1)29的位置关系是 A.过圆心 B.相切 C.相离 D.相交但不过圆心,1,2,3,4,5,答案,解析,2.直线xym0与圆x2y2m(m0)相切，则m的值为,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,3
9、.设A，B为直线yx与圆x2y21的两个交点，则|AB|等于,解析 直线yx过圆x2y21的圆心C(0,0)， 则|AB|2.,1,2,3,4,5,4.过点P(1,3)引圆x2y29的切线的长是_.,解析,答案,1,5.过原点的直线与圆x2y22x4y40相交所得弦的长为2，则该直线的方程为_.,1,2,3,4,5,解析,答案,2xy0,解析 设所求直线方程为ykx，即kxy0. 由于直线kxy0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，,即圆心(1,2)位于直线kxy0上. 于是有k20，即k2，因此所求直线方程是2xy0.,规律与方法,1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷.,3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.,
