1、2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系,第二章 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系,学习目标 1.了解空间中两条直线的位置关系. 2.理解异面直线的概念、画法. 3.理解并掌握公理4及等角定理. 4.了解异面直线所成角的概念，会求一些较特殊的异面直线所成的角.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 空间两直线的位置关系,思考 在同一平面内，两条直线有几种位置关系？ 观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？,答案 平行与相交. 教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.,梳理 异面直线的概念 (1)定义：不同在
2、平面内的两条直线. (2)异面直线的画法(衬托平面法) 如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.,任何一个,(3)判断两直线为异面直线的方法 定义法；两直线既不平行也不相交. (4)空间两条直线的三种位置关系 从是否有公共点的角度来分：,平行,异面,相交,平行,从是否共面的角度来分：,相交,异面,知识点二 平行公理(公理4),思考 在平面内，直线a，b，c，若ab，bc则ac.该结论在空间中是否成立？,答案 成立.,梳理 平行公理的内容 (1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行.,知识点三 等角定理,思考 观察图，在长方体ABCDABC
3、D中，ADC与ADC，ADC与DAB的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？,答案 从图中可以看出，ADCADC，ADCDAB180.,梳理 空间中如果两个角的两边分别对应 ，则这两个角 或 .,平行,相等,互补,知识点四 异面直线所成的角,思考 在长方体A1B1C1D1ABCD中，BC1AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？,答案 相等.,梳理,锐角(或直角),090,90,ab,1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.( ) 2.两直线若不是异面直线，则必相交或平行.( ) 3.若ABAB，ACAC，则BACBAC.( ),思考辨析
4、 判断正误,题型探究,例1 如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是,类型一 空间两直线位置关系的判定,解析,解析 不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择.A，B中，PQRS，D中，PQ和RS相交.故选C.,答案,反思与感悟 (1)判断空间中两条直线位置关系的关键点 建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线. 重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系. (2)判定两条直线是异面直线的方法 证明两条直线既不平行又不相交. 重
5、要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线， 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号 语言可表示为A，B，Bl，l，则AB与l是异 面直线(如图).,跟踪训练1 (1)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是 A.平行 B.异面 C.相交 D.平行、相交或异面,解析,解析 可借助长方体来判断. 如图，在长方体ABCDABCD中，AD所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCDABCD中的BC，CC，DD.故a和c可以平行、相交或异面.,答案,(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原
6、正方体中互为异面的对数为 A.1 B.2 C.3 D.4,解析,解析 还原的正方体如图所示. 是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.,答案,例2 在正方体ABCDABCD中，E，F，E，F分别是AB，BC，AB，BC的中点，求证：EEFF.,类型二 平行公理和等角定理的应用,证明,证明 因为E，E分别是AB，AB的中点， 所以BEBE，且BEBE. 所以四边形EBBE是平行四边形， 所以EEBB，同理可证FFBB. 所以EEFF.,引申探究 1.在本例中，若M，N分别是AD，CD的中点，求证：四边形ACNM是梯形.,证明,因为ACAC，且ACAC，,又AM与CN不平行，
7、 故四边形ACNM是梯形.,2.若将本例变为已知E，E分别是正方体ABCDABCD的棱AD，AD的中点.求证：BECBEC.,证明,证明 如图所示，连接EE.,因为E，E分别是AD，AD的中点， 所以AEAE，且AEAE. 所以四边形AEEA是平行四边形. 所以AAEE，且AAEE. 又因为AABB，且AABB， 所以EEBB，且EEBB， 所以四边形BEEB是平行四边形， 所以BEBE.同理可证CECE. 又BEC与BEC的两边方向相同， 所以BECBEC.,反思与感悟 (1)空间两直线平行的证明方法 证明空间两条直线平行的方法有两个：一是利用平面几何知识(三角形、梯形的中位线，平行四边形性
8、质，平行线分线段成比例定理等)证明；二是利用公理4，就是需要找到第三条直线c，使ac，bc，由公理4得到ab. (2)空间角相等的证明方法 等角定理是较常用的方法. 转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明.,跟踪训练2 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点.求证：EFGC1DA1.,证明,证明 如图，连接B1C.因为G，F分别为BC，BB1的中点，,所以CDAB且CDAB，A1B1AB且A1B1AB， 由公理4知CDA1B1且CDA1B1， 所以四边形A1B1CD为平行四边形， 所以A1DB1C且A1DB1C.又B1CFG， 由公理4知A1DFG
9、.同理可证：A1C1EG，DC1EF. 又DA1C1与EGF，A1DC1与EFG，DC1A1与GEF的两边分别对应平行且均为锐角， 所以DA1C1EGF，A1DC1EFG，DC1A1GEF. 所以EFGC1DA1.,例3 在空间四边形ABCD中，ABCD，且AB与CD所成锐角为30，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.,类型三 求异面直线所成的角,解答,解 如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，,由ABCD知EGFG， 从而可知GEF为EF与AB所成角，EGF或其补角为AB与CD所成角. AB与CD所成角为30，EGF30或150， 由EGFG知EFG为等腰三角形， 当
10、EGF30时，GEF75， 当EGF150时，GEF15， 故EF与AB所成角的大小为15或75.,反思与感悟 求两条异面直线所成的角的一般步骤 (1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角. (2)计算角：求角度，常利用三角形. (3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.,跟踪训练3 在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小.,解 如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G
11、. 则OGB1D，EFA1C1. GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角. GA1GC1，O为A1C1的中点， GOA1C1. 异面直线DB1与EF所成的角为90.,解答,达标检测,1,2,3,4,1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是 A.共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面,答案,5,解析 若直线a和b共面，则由题意可知ab； 若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线,解析,2.若OAOA，OBOB，且AOB130，则AOB为 A.130 B.50 C.130或50 D.不能,答案,1,2,3,4,5,解析 根据定理，AOB与AOB相等或互补， 即AOB1
12、30或AOB50.,解析,3.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是 A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交,解析 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1BB1，AA1DD1，显然BB1BCB，DD1与BC是异面直线，故选B.,解析,答案,1,2,3,4,5,4.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是_.,1,2,3,4,5,答案,解析 如图所示. 点M，N，P，Q分别是四条边的中点，,解析,矩形,即MNPQ且MNPQ，四边形MNPQ是平行四边形. 又BDMQ，ACBD，MNMQ，
13、 平行四边形MNPQ是矩形.,5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小；,1,2,3,4,5,解 如图所示，连接AC，AB1. 由六面体ABCDA1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形， ACA1C1， 从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角. 在AB1C中，由AB1ACB1C， 可知B1CA60， 即A1C1与B1C所成的角为60.,解答,(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.,1,2,3,4,5,解 如图所示，连接BD. 由(1)知ACA1C1， AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角. EF是ABD的中位线，EFBD. 又ACBD，ACEF，EFA1C1， 即A1C1与EF所成的角为90.,解答,1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法. 2.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0，90，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小.,规律与方法,
