1、3.3.1 几何概型 3.3.2 均匀随机数的产生,第三章 3.3 几何概型,学习目标 1.通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义. 2.会求一些简单的几何概型的概率. 3.会用随机模拟的方法近似计算某事件的概率.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 几何概型的概念,思考 往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上.这个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？ 答案 出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的.,梳理 (1)几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与_，则称这样的概率模型为几
2、何概率模型，简称为几何概型. (2)几何概型的特点 试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 . 每个基本事件出现的可能性 .,构成该事件区域的长度(面积或体积)成,比例,无限多个,相等,思考 既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？ 答案 可以用事件A所占有的几何量与总的基本事件所占有的几何量之比来表示. 梳理 事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积)成比例，故可用区域的测度代替基本事件数.,知识点二 几何概型的概率公式,知识点三 均匀随机数,1.均匀随机数的定义 如果试验的结果是区间a，b内的任
3、何一个实数，而且出现任何一个实数是 ，则称这些实数为均匀随机数. 2.均匀随机数的特征 (1)随机数是在 内产生的. (2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性 .,等可能的,一定范围,相等,3.均匀随机数的产生 (1)计算器产生区间0,1上的均匀随机数的函数是 . (2)Excel软件产生区间0,1上的均匀随机数的函数为“ ”. (3)产生方法：由几何概型产生；由转盘产生； 由 或 产生.,RAND,rand ( ),计算器,计算机,思考辨析 判断正误 1.在一个正方形区域内任取一点的概率是零.( ) 2.与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( ) 3.随机模拟方法是以事件发生的
4、频率估计概率.( ),题型探究,例1 下列关于几何概型的说法错误的是 A.几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性 B.几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关 C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个 D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性 解析 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基本事件有无限多个，古典概型中的基本事件有有限个.,类型一 几何概型的识别,答案,解析,反思与感悟 几何概型特点的理解 (1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个； (2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本
5、事件的发生是等可能的.,跟踪训练1 判断下列概率模型是古典概型还是几何概型. (1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率； 解 先后抛掷两枚质地均匀的骰子， 所有可能结果有6636(种)， 且它们的发生都是等可能的， 因此属于古典概型.,解答,解答,(2)如图所示，图中有一个转盘，甲、乙玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率.,解 游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，且它们的发生都是等可能的，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型.,类型二 几何概型的计算,命题角度1 与
6、长度有关的几何概型 例2 取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率为多少？,解答,解 如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.,把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生，因为中间一段的长度为1 m，所以事件A发生的概率为P(A) .,反思与感悟 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找区域d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率.,解答,跟踪训练2 平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径
7、为r(ra)的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.,解 记“硬币不与任何一条平行线相碰”为事件A，如图，由图可知：硬币圆心在线段AB上的任意一点的出现是等可能的. 圆心在线段CD(不含点C，D)上出现时硬币不与平行线相碰，,命题角度2 与面积有关的几何概型 例3 设点M(x，y)在区域(x，y)|x|1，|y|1上均匀分布出现，求： (1)xy0的概率；,解 如图，满足|x|1，|y|1的点(x，y)组成一个边长为2的正方形(ABCD)区域(含边界)，S正方形ABCD4. xy0的图象是直线AC，满足xy0的点在AC的右上方(含AC)，,解答,(2)xy1的概率；,解
8、设E(0,1)，F(1,0)，则xy1的图象是EF所在的直线， 满足xy1的点在直线EF的左下方， 即在五边形ABCFE内(不含边界EF)，,解答,(3)x2y21的概率.,解答,解 满足x2y21的点是以原点为圆心的单位圆O，SO，,反思与感悟 如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域的某个指定区域内的点，且该区域中的每一个点被取到的机会都一样，这样的概率模型就可以视为几何概型，并且这里的区域可以用面积表示，利用几何概型的概率公式求解.,跟踪训练3 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸
9、边不超过2 m的概率.,解答,解 如图所示，区域是长30 m、宽20 m的长方形.,图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率. 由于区域的面积为3020600(m2)，阴影部分的面积为30202616184(m2).,即海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率约为0.31.,解答,命题角度3 与体积有关的几何概型 例4 已知正三棱锥SABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于 的概率.,解 如图，分别在SA，SB，SC上取点A1，B1，C1，使A1，B1，C1分别为SA，SB，SC的中点，,答案,解析,跟踪
10、训练4 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为,解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V11， 球的直径是正方体的体对角线长，,类型三 均匀随机数及随机模拟方法,解答,例5 在如图所示的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值.,解 随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的， 落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，,由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，,所以就得到了的近似值.,反思与感悟 用随机模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随
11、机数的范围.用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大. 用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内进行多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识.,解答,跟踪训练5 利用随机模拟方法计算由y1和yx2所围成的图形的面积.,解 以直线x1，x1，y0，y1为边界作矩形， (1)利用计算器或计算机产生两组01区间的均匀随机数，a1RAND，bRAND； (2)进行平移和伸缩变换，a2(a10.5)； (3)数出落在阴影内的样本点数N1，用几何概型公式计算阴影部分的面积.,例如做1 000次试验，即N1 0
12、00，模拟得到N1698，,达标检测,1.在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|1的概率为,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 问题相当于在以O为球心，1为半径的球外， 且在以O为球心，2为半径的球内任取一点，,2.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域.在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是 ，则阴影区域的面积是,答案,解析,解析 在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型. 设“落在阴影区域内”为事件A，则事件A构成的区域是阴影部分. 设阴影区域的面积为S，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，,1,2,3,4,5,3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的
13、时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是,解析 由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的， 可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件. 事件“看到黄灯”的时间长度为5秒， 而整个灯的变换时间长度为80秒，,1,2,3,4,5,解析,答案,4.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 .,解析 不妨设正方形ABCD的边长为2， 则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，,解析,1,2,3,4,5,答案,5.在区间0,3内任意取一个数，则此数大于2的概率为 .,1,2,3,4,5,解析 由于区间0,3的长度为3，区间(2,3的长度为1，,解析,答案,1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型. 2.几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题. 3.注意理解几何概型与古典概型的区别. 4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为,规律与方法,
