1、四色定理是求解最大值问题以及证明摘要：问题一：如果任何一个国家与它邻接区域或说国家的染色都是不同的时候，是不是任何两个邻接区域的颜色就是不同的？问题二：两个国家的邻接区域还没有什么，但说到三个国家的时候，就有了不同，在其中一个国家看来，另外两个国家都与这个国家是邻接区域，但这两个国家之间有什么关系？一，这两个国家不是相互区域邻接；二，这两个国家是相互区域邻接。四色定理的证明可以从这两个问题出发。正文：虽然我们用计算机证明了四色定理，但正如汤米R延森和比雅尼 托夫特在图染色问题一书中问的：“是否存在四色定理的一个简短证明，使得一个合格的数学家能在（比如说）两个星期里验证其正确性呢？”【1】严谨版
2、本的染色问题需要用到拓扑学的概念来定 义，那么四色问题的论证是否一定需要拓扑学来证明呢？如果不用拓扑学用其他数学 证明，算不算是证明了呢？什么是四色定理？四色定理是一个著名的数学定理：如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；另一个通俗的说法是：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。 【1】那么不用计算机能不能论证四色定理的成立呢？先看一个问题，问题一：如果任何一个国家与它邻接区域或说国家的染色都是不同的时候，是不是任何两个邻接区域的颜色就是不同的？【2】答案是肯定的。这样四色问题就变成了：平面地
3、图上，如果任何一个国家的邻接区域颜色都是不一样的，是不是只要四种颜色就可以全部描述？如果能够证明成立，那么四色定理就是成立的。证明如下：问题二：两个国家的邻接区域还没有什么，但说到三个国家的时候，就有了不同，在其中一个国家看来，另外两个国家都与这个国家是邻接区域，但这两个国家之间有什么关系？一，这两个国家不是相互区域邻接；二，这两个国家是相互区域邻接。这样三个或者三个以上国家的时候，区域邻接有两种关系：一种是，这个国家的所有的邻接区域国家都与这个国家是区域邻接的关系，但这些国家之间不是相互区域邻接的关系；【注：这里的相互区域邻接指的是完全相互区域邻接，有 n 个国家，就是 n 个国家之间是相互
4、区域邻接的。其中一个国家与部分国家区域邻接不算。 】二就是，这个国家的所有的邻接区域都与这个国家是区域邻接的关系，同时，这些国家之间还是相互区域邻接的关系。首先，对不是相互区域邻接的关系的证明。这一点在四色定理非计算机的简短证明中已经证明了，这里简单叙述一下。这里四色定理转化成数学就是函数求解最大值的问题。我们用函数可以解出最大值，论证四色定理的成立。证明：第一，任何一个国家都是与 n个国家相连接的，即与一个国家相连接的国家个数有n 个。n 可以是任意整数。任何一个国家都是占据一个颜色的。第二，这个国家与所有连接国家的关系：1，所有连接的国家组成闭合区域，2，所有连接的国家没有组成闭合区域。第
5、三，任意选择一个国家，如果国家的邻接国家颜色都是不一样的，那么用于邻接国家的颜色的个数与邻接国家的个数 n 有什么关系？a，当与这个国家所有连接的国家组成闭合区域的时候，所有连接的国家中任选一个为起点，闭合的最后两个国家是接壤的。这样我们得出，当 n是 1 的时候，我们知道颜色只能是 1. 当 n 大于 1是奇数的时候，需要的颜色是 3；当 n 大于 1是偶数的时候，颜色是 2.因为是偶数 的时候，n/2 整除，两个颜色的话，最后结尾的两个国家正好不相同；当是奇数的时候，由于，不能被 2 整除，剩一，剩下的国家不论选择与接头的国家相同还是与结尾的国家颜色相同，都是颜色相同。所以需要第三种颜色。
6、这样，不论一个国家接壤的国家的个数是多少，与颜色关系不大，决定颜色个数只与 n 是奇数还是偶数有关。这样一个国家的周围接壤的国家的颜色最多用三个颜色就可以标出来，加上这个国家本身的颜色，就是四个。这个国家本身的颜色不能与任何一个接壤的国家的颜色相同。这样我们知道了一个国家与周围国家接壤的时候，最多用四种颜色。b, 当与这个国家所有连接的国家没有组成闭合区域的时候，当 n 是 1 的时候，我们知道颜色只能是 1。当 n 大于 1是奇数的时候，需要的颜色是 2；当 n 大于 1是偶数的时候，需要的颜色也是 2.此时颜色的个数与 n 的个数无关，与 n 是奇数还是偶数无关。因为，在所有接壤的国家中，
7、一边的国家与另一边的国家是不接壤的，所以只要任何两个接壤的国家的颜色是不同的就可以，即只需两个颜色。这样，加上这个国家本身的颜色，就是三个。这个国家本身的颜色不能与任何一个接壤的国家的颜色相同。这样，此时一个国家与周围国家接壤的时候，最多用三种颜色。第四，通过一个国家与周围国家接壤的时候，周围接壤的国家是否闭合两种情形，我们得出：一个国家与周围国家接壤的时候，最多用四种颜色，任何一个国家的邻接区域颜色都是不一样的。第五，这样，无数个国家组成的一定平面内的地图中，这个地图中任何一个国家都是与其他国家接壤的，当任何一个国家都与周围接壤国家的颜色不同的时候，那么这个区域内任何两个邻接区域的染色都是不
8、同的。这样由于任何一个国家与它两个邻接区域的染色都是不同的时候，最多需要的染色是 4 种 周围国家 3种，这个国家 1种，即 4 种，只要四种染色就可以使任何两个邻接区域的颜色是不同的，所以如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；或者说：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。即四色定理成立。以上所需的简单数学公式为，任何一个国家与之接壤的国家个数x 与需要颜 色 y 的关系，y=f(X),在 a 情形中，y=f(X) 对应法则为，x=1,y=1;x 大于1 为 奇数的时候，y=3; x 大于 1
9、 为偶数的时候，y=2.x 限域是正整数。y 最大值是3.在 b 情形中，y=f(X)对应法则为，x=1,y=1；x 大于 1 为奇数的时候，y=2; x 大于 1 为偶数的时候，y=2. x 限域是正整数。y 最大值是2.四色定理成立的公式为，y 定，表示所需的颜色总数，y 表示任何一个国家与之接壤的国家个数 x 与需要颜色 y的关系，y 定=y+1.y 最大值为3，所以 y 定最大值是 4. 通过以上的阅读，我们发现，b 情况中，得出与 n 是奇数还是偶数无关是不对的，是片面的，因为需要的颜色是 2 是不对的，片面的。是的，以上我们很快就可以找出需要的颜色是 3 的情形。这种需要的颜色是
10、3 的情形是怎样的情形呢？这种情形就是国家之间都是相互区域邻接的关系。这种情形，四色定理是否依然成立？这个在四色定理的几何语言描述以及奇特的证明和四色定理奇妙而简短的证明中进行了证明，这里捡主要的说一下。国家之间是相互区域邻接关系的四色证明这里四色定理可以转换成几何语言。邻接区域的几何语言就是两个点的线段。一个国家就是一个一定面积的闭合面。就是闭合线。相邻区域就是两个国家的共有线段，或者说共同线段。一个平面内，区域相邻的闭合面或说国家最多能有多少？这里的区域相邻指的是相互区域相邻。两个国家的相邻区域是一条线段。三个国家相互区域相邻有三条线段。三个国家相互区域相邻有两种形式，一种是无缝区域相邻，
11、另一种是有缝区域相邻。在百度文库作者 何 xp 的文章四色定理第五页的这 个图形，来讲解一下。去掉外围蓝色的，和黄色的，剩下四个国家。中心蓝色 a表示，绿色的用 b表示，黄色的用 c表示，红色的用 d表示。abc 三个国家就是无缝区域相邻。bcd 三者就是有缝区域相邻。四个国家相互区域相邻的时候，相邻区域是六条线段。四个国家相互区域相邻的时候，必有一个国家被包围。与这三个国家外的国家不能相邻，包括，点的相邻。有没有五个国家相互区域相邻呢？没有的。因为，四个国家相互区域相邻的时候必有一个国家被其他国家包围，第五个国家与这四个国家区域相邻的时候，其实是与三个国家相邻，永远不能与被包围的国家相邻，所
12、以在平面上，没有五个国家相互区域相邻的时候。如果两个邻接的区域的颜色不能相同，那么一个地图上最多只要四种颜色就可以把平面上所有的国家标示出来。就是说果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；另一个通俗的说法是：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同，是成立的。四色定理是成立的。为什么四个国家相互区域相邻的时候，必有一个国家被其他国家包围？先说一说，三个国家相互区域相邻的情形。三个国家相互区域相邻的时候，线段之间有什么关系？线段与国家有什么关系？线段属于国家国境线的一部分。任何一个线段都是两个国家的共同
13、部分。任何两个线段都同属于一个国家的国境线。线段与线段是连接的，连接线段的是国境线。任何两个线段都是通过国境线连接的，那么，三个线段是可以通过国境线连接的。线段的连接属于国境线的连接，三个线段的连接就是国境线的连接。三个线段的连接是什么？无缝区域相邻的时候，三个国家无缝连接，三个线段有一个共同的点，三个国家已经吻合连接，之间没有空间。有缝区域相邻的时候，三个线段本身是不连接的。三个线段的连接，即三个国家的国境线是连接的，此时，三条国境线的连接组成闭合曲线，即把三个国家之间的空间与外界隔绝。为什么三个线段的连接会隔绝与外部的联系呢？因为，在几何中两点决定线段，三点形成平面。三个国家相连的时候，线
14、段与线段是通过国境线是相连接的，三个线段是相互连接，那么三个线段至少有三个点是连接的，这样三点确定一平面，所以三个国家有缝连接，国境线的相互连接会造成一个与外界不联系的闭合曲面。 【线段上任何一个点都通过两个国家的国境线，并且线段与线段通过国境线是连接的，所以形成闭合。 】在平面内任意放置的三个线段，如果三个线段都是连接的， 那么线段的连接必形成闭合线，形成两条闭合线，外面的闭合线包围里面的闭合线。因为不在一条直线的三点确定平面，那么两个线段四个点的首尾连接必形成闭合面，那么在平面上，任意放置的三个不连接线段，如果把三个线段相互连接，那么线段的连接必形成闭合线，形成两条闭合线，并且外面的闭合线
15、包围着里面的闭合线。-这是个推论。这个推论，如果把线段看成是相互连接的三个国家的相邻区域，那么线段的相互连接（或者说首尾连接）就是国境线的连接，那么相互连接的三个国家必形成闭合线。三个线段有一个公共点的时候，三个线段的连线形成闭合线，形成闭合面。如果线段是国之间的区域连接，那么三个国家无缝连接。当第四个国家与三个相互区域相邻的国家相互区域相邻的时候，1，三个国家有缝连接的时候，由于三个国家形成一个闭合曲面，这个闭合曲面就可以是一个国家，所以，第四个国家可以是处在三个国家包围中的国家；2，三个国家,无缝连接的时候，第四个国家，要与其中两个国家区域相邻，那么一个是这三个国家形成无缝连接，但是没有与
16、另外那个国家连接，所以不形成四国区域相邻。当形成区域连接的时候，发现与三个国家有缝连接，包围一个国家相同，此时把一个国家包围了进去。就是说四个相邻的时候，必有一个国家被包围。四国区域相邻的时候，公共有六个线段，其中三个连接在一起，组成一个国家的全部国境线。就是说在四国区域相邻的时候，有一个国家的国境线全部是公共线段。五国区域相邻呢？呵呵，当第五个国家想要区域相邻的时候，永远接触不到被包围的那个国家，所以也就形不成五国区域相邻。就是说在平面上，四国区域相邻，四个闭合曲面区域相邻是极限。不包括飞地。所以在一个国家看来，所有与这个国家区域邻接的国家之间是相互区域邻接关系的时候，四色定理成立。所以，任
17、何一个国家与它区域邻接国家的染色都是不同的时候，只需要四种颜色就可以描述出来。当任何一个国家与它区域邻接国家的染色都是不同的时候，只需要四种颜色就可以描述出来，所以如果使地图上每两个邻接区域染的颜色都不一样，只需要四种颜色。所以四色定理成立。这与地图上国家的区域邻接是相互区域邻接还是不是相互区域邻接无关，与地图是由相互区域邻接国家和不是相互区域邻接国家的混组无关。另，在四色定理奇妙而简短的证明中我们这样说由于 B 点被三个国家包围，平面内能够连接的点只有 A,C,D 三点，这样第四个国家连接后，最后一个点不能形成与原来三个国家的连接，所以此时，与三个相互连接的国家都连接的国家只有一个。 这种描
18、述是不准确的。可以说成国家与国家的连接需要有一个公共线段，两点确定一个线段，由于 B 点被三个国家包围，那么第四个国家与三个相互连接的国家连接的时候，必须要在 AC 的外线上选择两个点，必须在 CD的外线即能够连接的国境线部分，选择两个点，这样，不论是否与A，D 两点重合，都会把国家a 包围，与外界隔绝开来，那么第五个国家就不能与国家 a 形成国家连接。与 C 点重合就形成全包围。不通过 a 国的情形，上有描述。2014 年1 月 3 日 05:01:27 吴兴广参考文献：【1】 四色定理百度科【2】 数学公式 1+1=1/2 的成立小马吃鱼【3】 四色定理非计算机的简短证明天涯博客【4】 四色定理百度文库 何 xp【5】 四色定理的 几何语言描 述以及奇特的证明吴兴广【6】 歪解光速不 变原理 【7】 相对运动使 用的是牛顿 运动定律的 类似定律 【8】 物理学中量 的计算与相对论的关系 【9】 四色定理奇妙而简短的证明
