1、 数列求和一、直接求和法（或公式法）掌握一些常见的数列的前 n 项和： 123+n=(1)2，1+3+5+(2n-1)= 2n22213+=()6， 32()n等. 例 1 求 222245910解：原式 2(1)(3)()(9)3719 由等差数列求和公式，得原式 35变式练习：已知 ，求 的前 n 项和.logl23x 32nxx解：1 n2二、倒序相加法此方法源于等差数列前 n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.例 2 求 的和22221310098解：设2222S则 22221098130两式相加，得 15SS 为三、裂项相消法常见的
2、拆项公式有： ()nk1()nk ， 1nk()nk，1(2)n12，等.例 3 已知 ，2211()216nn求 的和222 257()3nN 解： ，611 1()6nan623()116ln.1nSn 小结：如果数列 的通项公式很容易表示成另一个数列 的相邻两项的差，即na nb，则有 .这种方法就称为裂项相消求和法.1nnab1Sb变式练习：求数列 3， 42， 5， )2(1n，的前 n 项和 S.解： )2(1n= 1(n）Sn= )2(43= )211(n= 42143n四、错位相减法源于等比数列前 n 项和公式的推导，对于形如 的数列，其中 为等差数列，nabna为等比数列，均
3、可用此法.nb例 4 求 的和235(21)nxx解：当 时， ； 当 时， 112()()nn xS 1x2nS小结：错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列 的公比；将两个等式nb相减；利用等比数列的前 n 项和公式求和.)1(2an变式练习：求数列 a,2a2,3a3,4a4,nan, (a 为常数)的前 n 项和。解：（1）若 a=0, 则 Sn=0 （2）若 a=1,则 Sn=1+2+3+n= (1)2n（3）若 a0 且 a1则 Sn=a+2a2+3a3+4a4+ nan ， aS n= a2+2 a3+3 a4+nan+1(1-a) S n=a+ a2+ a3+an- na
4、n+1= S n= 当 a=0 时，此式也成立。S n =五、分组求和法若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.例 5 求数列 ， 的前 项和 1124628n为 nnS23411() ()22n nnSn 变式练习：求数列 的前 n 项和11,3978解：2nn数列求和基础训练1.等比数列 的前项和 S 2 ，则 na 22321naa 4132.设 ，则 .1357(1)nnS nS()n3. .423 4. = 111.2356()n12323n5. 数列 的通项公式 ，前 n 项和2 1,(), ), na12nS111n)1(1)(n6 . 的前 n 项和为 ;,21,5
5、,231 n23nnS数列求和提高训练1数列 an满足： a11，且对任意的 m，nN *都有：a mn a ma nmn ，则208321( A )A 0946B 9C 10427D 2087解：a mn a ma nmn，a n1 a na 1na n1n，利用叠加法得到： 2)(， )1()(nn ， )209()209831(1120832 aa 416 2数列 an、 bn都是公差为 1 的等差数列，若其首项满足 a1b 15，a 1b 1，且a1，b 1N *，则数列 nba前 10 项的和等于 ( B )A100 B85 C70 D55解：a na 1n1，b nb 1n1 ba
6、 1b n1a 1(b 1n1)1a 1b 1n25n2n3 则数列 nba也是等差数列，并且前 10 项和等于： 80234答案：B.3设 m=12+23+34+(n-1)n，则 m 等于 ( A )A. )1(2nB. 2n(n+4) C. 21n(n+5) D. 21n(n+7)3解：因为 a n = n2 - n.，则依据分组集合即得. 答案;A.4若 Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，则 S17+S33 50 等于 ( A )A.1 B.-1 C.0 D.2解：对前 n 项和要分奇偶分别解决，即： Sn= )(21为答案：A5设 an为等比数列 ,bn为等差数列，且 b1=0,
7、cn=an+bn,若数列 cn是 1,1,2,则c n的前 10 项和为 ( A ) A.978 B.557 C.467 D.979解 由题意可得 a1=1,设公比为 q,公差为 d,则 22qq 2-2q=0,q0,q=2, a n=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,c n=2n-1+1-n,S n=978. 答案：A6. 若数列 an的通项公式是 an(1) n(3n2)，则 a1a 2a 10 ( A ) ( )A15 B.12 C12 D.15解析 A 设 bn3n2， 则数列b n是以 1 为首项，3 为公差的等差数列，所以a1a 2a 9a 10(b 1)b 2(b 9)
8、b 10(b 2b 1)(b 4b 3)( b10b 9)5315.7一个有 2001 项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 解： 设此数列a n,其中间项为 a1001,则 S 奇 =a1+a3+a5+a2001=1001a1001,S 偶 =a2+a4+a6+a2000=1000a1001. 答案: 108若 12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn，则 a= ,b= ,c= .解： 原式= .66)1()( n答案： 61;239已知等差数列a n的首项 a11，公差 d0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列b n的第二、三、四项 (1)求数列a n与 b
9、n的通项公式；(2)设数列c n对任意自然数 n 均有 1321 nacbc 成立求 c1c 2c 3c 2014 的值解：(1)由题意得(a 1d)(a 113d)( a14d) 2(d0) 解得 d2，a n2n1，可得 bn3 n1(2)当 n1 时，c 13； 当 n2 时，由 nnbc1，得 cn23 n1 ，故 ).(2,1nn故 c1c 2c 3c 201432323 223 20023 201510.设数列 an为等差数列， Sn 为数列a n的前 n 项和，已知 S77，S 1575，T n 为数列 的前 n 项和，求 Tn.S解析 设等差数列a n的首项为 a1，公差 为
10、d，则 Snna 1 n(n1) d.S77，S 1575，12Error!即Error!解得Error! a 1 (n1)d2 (n1) ， 数列Snn 12 12 Sn 1n 1 Snn 12是首项为2，公差为 的等差数列 Tn n2 n.nS12 14 9411.已知数列a n的首项 a1 ，a n1 23 2anan 1(1)证明：数列 是等比数列；(2)求数列 的前 n 项和 Sn.n n解析 (1)a n1 ， ， 1 ，又 a1 ，2anan 1 1an 1 an 12an 12 12an 1an 1 2n23 1 0， 10， ，数列 是以 为首项， 为公比的等比数1a1 12 1an1an 1 11an 1 12 1na12 12(2)由(1)知 1 即 1 n.设1an 12 nn1an 12n nan n2nTn .12 222 323 n2n则 Tn ， 得 Tn 12 122 223 n 12n n2n 1 12 12 122 123 12n n2n 1 1 ，T n2 2 .又123n21n2n 1 12n n2n 1 12n 1 n2n 2 n2n， 数列 的前 n 项和 Sn2 .nn 12 na2 n2n nn 12 n2 n 42 n 22n
