1、函数及其表示基础知识1、函数与映射的概念函数 映射两集合 设 AB、 是两个非空数集 设 AB、 是两个非空集合对应关系 :fAB如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 中的任意一个数 x，在集合 中都有唯一确定的数 ()f和它对应。如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 中的任意一个元素 x，在集合 中都有唯一确定的元素 y与之对应。名称 称 :fAB为从集合 A到集合 的一个函数称 :fB为从集合 A到集合 的一个映射记法 ()yfx， 对应 :f是一个映射注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空
2、数集。2.函数的定义域与值域在函数 Axfy),(中， 叫做自变量， x的取值范围 A叫做 )(xfy的定义域；与 x的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 f)(称为函数 的值域.显然，值域是集合 B 的子集。温馨提示：(1)A、 B 都是非空数集，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在(2)函数关系的判断要注意“每一个” 、 “都有” 、 “唯一”等关键词(3)注意 f(x)与 f(a)的区别， f(a)表示当 x a 时的函数值，是一个常量；而f(x)是关于 x 的函数，一般情况下是一个变量， f(a)是 f(x)的一个特殊值（4）y= f(x)仅仅是函数符号。3、函数的构成要素：定义
3、域、对应关系和值域4、区间的概念及表示法设 是两个实数，且 ，,abab满足 的实数 的集合叫做闭区间，记做 ；xx,ab满足 的实数 的集合叫做开区间，记做 ；()满足 ，或 的实数 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 ，axbaxbx ,)ab；(,ab满足 的实数 的集合分别记做 。,xxbx,)(,(,)ab注意：对于集合 与区间 ，前者 可以大于或等于 ，而后者必须 。|a(,)ab a5、相等函数：由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数 y=x
4、和 y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如 y=sinx 与 y=cosx，其定义域为 R，值域都为-1，1，显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系）6、函数的表示法有： 解析法 、 列表法 、 图像法7、分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数。例题精讲：考点一：函数与映射概念考查例 1 判断下列图象能表示函数图象的是（ ）练习 1：函数 的图象与直线 x =
5、a 的交点个数 （ ）()yfxA.只有一个 B.至多有一个 C.至少有一个 D.0 个练习 2：下述两个个对应是 到 的映射吗？AB（1） ， ， ；AR|0By:|fxy（2） ， ， |x|R:fxxy0(A)xy0(B)xy0(D)xy0(C)练习 3：下列是映射的是（ ）图 1 图 2 图 3 图 4 图 5(A)图 1、2、3 (B)图 1、2、5 (C)图 1、3、5 (D)图1、2、3、5函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致.例 2 指出下列各函数中，哪个与函数 是同一个函数：yx（1） ； （2） ； （3） xy2yxst练习 1：判定下列各组函数是否为
6、同一个函数：（1） ， ；（2） ，()fx3()fx()1fx21()xf练习 2：试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1） 2)(xf， 3)(xg；（2） f， ;01,（3） xf)(， xg2)(；（4） 2， tt（5） 1)(nxf， 12)()nx（ nN *） ；abceabcefabcefgabcefabefg考点二：函数定义域题型 1：求有解析式的函数的定义域（1）若 f(x)为整式，则其定义域为实数集 R（2）若 f(x)是分式，则其定义域是使分母不等于 0 的实数的集合（3）若 f(x)是偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数的集合。（4）若 f
7、(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集。（5） 0()0fxxR的 定 义 域 是例 求下列函数的定义域：（） ； （） 1fx12fx例 2 设 ，求 ， ， ， 213xf0f2f5ffb练习 1：函数 的定义域为（ ）2143fxxA B， ， 2,3，C D2,， ， ，练习 2：函数 的定义域是（ ）xf0)1()A. B. C. D. 0|x0|10|x且 10|x且题型 2：求复合函数和抽象函数的定义域1、复合函数的定义如果 是 的函数， 又是 的函数，即 ， ，那么 关于 的 yux()yfu()gxyx函数 叫做函数 （外函数
8、）和 （内函数）的复合函数，()fgx()yfu其中 是中间变量，自变量为 函数值为 。 例如：函数 是由uxy21xy和 复合而成立。2uy21x2求有关复合函数和抽象函数的定义域(1)函数 f(x)的定义域是指 x 的取值范围所组成的集合。(2)函数 f(g(x)的定义域还是指 x 的取值范围，而不是 g(x)的范围。(3)已知 f(x)的定义域为 A，求 f(g(x)的定义域，其实质是已知 g(x)的取值范围是 A，求出 x 的取值范围。(4)已知 f(g(x)的定义域为 B，求 f(x)的定义域，其实质是已知 f(g(x)中的x 的取值范围为 B，求出 g(x)的范围，此范围就是 f(
9、x)的定义域。(5)同在对应法则 f 下的范围相同，即 f(t)、f(g(x)、f(h(x)三个函数中的t，g(x)，h(x)的范围相同。例 1 已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域。 ()fx0,12()fx例 2 已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域。(21)fx1,2()fx例 3 已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域。2(1)fx(2,5)1()fx练习 1：已知 的定义域是（-2，0） ，求 的定义域.(21)yfx(21)yfx练习 2： 若函数 的定义域是0，1，求 的定义域；)(xf )21(xf若 的定义域是-1，1，求函数 的定义域；1已知 定义域是 ，求 定义
10、域)3(xf5,4)3(xf*例 4、设函数 f(x)的定义域为0,1,求 F(x)=f(x+m)+f(x-m)(m0)的定义域。题型 3：定义域的逆向思维问题例 1、若函数的定义域是 R，求实数 a 的取值范围？21()+43fxax练习 1、已知函数 的定义域为 R，则 m 的取值范围是？268ymx练习 2、已知函数 的定义域为-3,6,求 a,b 的值。218yaxb练习 3、(1)若函数 的定义域为 R，求实数 a 的22()1)()1fxaxa取值范围；(2)判断 k 为何值时，函数 的定义域为 R.28()kfxx考点三：求函数值域题型 1：函数值域的解法1、观察法例 1、求函数
11、的值域是 2()1xyR练习 1、求函数 的值域是 练习 2、求函数的值域 1xy2、配方法例 1 求二次函数 的值域。256(32)yxx例 2、求函数 的值域23yx练习 1、求函数 的值域254yx练习 2、求函数 的值域1()()fxx练习 3、求 的值域3、图像法（数形结合法）例 1、 求 的值域。24(,3)3yx练习 1、求函数 的值域12yx练习 2、求函数 的值域()12fxx4、换元法例 1、 求函数 的值域。12yx练习 1、求函数 的值域2yx练习 2、求函数 的值域()342,1,2xf()5fx5、分离常数法例 1、求函数 的值域351xy练习 1、求函数 的值域5
12、142xy练习 2、求 的值域。12xey练习 3、求函数 的值域256xy6、判别式法例 1、 求函数 的值域。21xy练习 1、求函数 的值域2473xy练习 2、求函数 的值域21xy7、反表示法例：求函数 的值域。 1()2xy练习 1、求函数 的值域。21(3)xy练习 2、求函数 的值域。23(1)xy8、中间变量值域法例：求函数 的值域。241xy练习 1、求函数 的值域。421xey练习 2、求函数 的值域。231xy题型 2：函数值域的逆向问题例：求使函数 的值域为 的 a 的取值范围。21xay(,2)练习 1：若函数 的最大值为 4，最小值为-1，求实数 a，b 的值。2
13、()1axbf练习 2、折 A=1,b(b1),函数 ，当 时，f(x)的值域也21()fxxA是 A，试求 b 的值。考点四、函数解析式求法1、直接代入法例：已知 ，求1)(2xf )(2xf练习：已知 ，求()21fx2(1)fx2、配凑法例：已知 ，求 的解析式。213()xf()fx练习 1、已知 ，求 的解析式。()2fx()fx练习 2、已知 ，求 的解析式。21()fxx()f3、换元法例：已知 ，求 的解析式。(1)2fx()fx练习 1、已知 ，求 的解析式。(2)fx()fx练习 2、已知 ，求 的解析式。21()xf()fx4、待定系数法例：一次函数 满足 ，求)(xf
14、14)(xf )(xf练习 1、已知 是二次函数，且 ，求 。()fx 2(1)()4fxfx()fx5、特殊值法例：已知对一切 ，关系式 且 ，求,xyR()(21)fxyfxy(0)1f。()fx练习： 对任意实数 ， 有 ，且 ，求)(xfxy)(2)(yxfxf 1)(f)(xf6、转化法例：设 是定义在 上的函数，对一切 ，均有 ，()fx(,)xR()2)0fx当 时， ，求当 时，函数 的解析式。1)21fx3f7、方程组法例：已知函数 满足 ，求()fx213()fxx()f练习 1、已知函数 满足 ，求()fx1()2ffx()fx练习 2、已知函数 满足 ，求()fx22(
15、)fxx()fx练习 3、已知函数 满足 ，求()fx3(1)2()ffx()fx8、分段求解法例： 已知函数 ，求 的解析式2,0()21,()xfxg(),fgxf练习： 已知函数 ，求 的解析式21,0()1,()2xfxg(),fgxf考点五、分段函数例 1、（ ）2,(0)(),(2),xfef已 知 则 的 值 为A.0 B.e C. D.4例 2、设函数 f(x)Error!若 f(f(a)2，则实数 a 的取值范围是_例 3、已知函数 ，若 f(a)=3，则 a 的值为 2,1(),xf练习 1、已知函数 ，若 f(f(0)=4a，则实数 a 等于 21,()xfa练习 2、设
16、函数 ，则 f(x)的值域)4,(),(gxggRf x是 2关于分段函数的单调性应注意：(cb)分段函数 为单调递增函数 ；(),gxabfhcd(),gxabhcd在 区 间 上 递 增在 区 间 上 递 增分段函数 为单调递减函数 ；(),xfc(),xcgbh在 区 间 上 递 减在 区 间 上 递 减图像变换规律一、平移变换。 （左+右-，上+下-）(1)将函数 y=f(x)的图象沿 x 轴向左平移 m(m0)个单位，得到函数 y=f(x + m)的图象;将函数 y=f(x)的图象沿 x 轴向左平移 m(m0)个单位，得到函数 y=f(x - m)的图象.(2)将函数 y=f(x)的
17、图象沿 y 轴向上平 移 n(n0)个单位，得到函数 y=f(x) + n 的图象;将函数 y=f(x)的图象沿 y 轴向下平 移 n(n0)个单位，得到函数 y=f(x)- n 的图象;二、对称变换。(1)将函数 y=f(x)的图象关于 x 轴对称，得到函数 y=-f(x)的图象。(2)将函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称，得到函数 y=f(-x)的图象。(3)将函数 y=f(x)的图象关于原点对称，得到函数 y=-f(-x)的图象。(4)将函数 y=f(x)的图象关于直线 y = x 对称，得到函数 y=f-1(x)的图象。(5)保留函数 y=f(x)在 x 轴上及 x 轴上方的部分，把 x 轴下方的部分关于 x 轴对称到 x轴上方，(去掉原来下方的部分)，得到函数 y=f(x)的图象。(6)保留函数 y= f(x)在 y 轴上及 y 轴右侧的部分，去掉 y 轴左侧的部分，再将右侧图象对称到 y 轴左侧，得到函数 y=f(x)的图象。
