1、2018/9/27,1,窄带随机过程,2018/9/27,2,内容安排,窄带随机过程,2018/9/27,3,2018/9/27,4,1.1 希尔伯特变换,设实信号 ，其希尔伯特变换记作,希尔伯特变换是信号处理中常用的一种变换，是分析窄带随机信号的一种很好的数学工具，把一个实信号表示成频谱仅在正频率有值的解析信号，对研究实信号的瞬时包络、瞬时相位和瞬时频率有重要意义。,2018/9/27,5,1.1 希尔伯特变换,正变换,反变换,2018/9/27,6,1.1 希尔伯特变换,x(t),系统的冲激响应,线性？时变？,线性，时不变,2018/9/27,7,1.2 希尔伯特变换性质(1),系统的传输
2、函数,2018/9/27,8,1.2 希尔伯特变换性质(1),(1) 希尔伯特变换相当于一个 理想移相器,2018/9/27,9,1.2 希尔伯特变换性质(2),(2) 的希尔伯特变换为,两次希尔伯特变换相当于连续两次 相移，结果正好是 反相,2018/9/27,10,1.2 希尔伯特变换性质(3),(3) 的希尔伯特变换为,证明根据希尔伯特变换的定义和卷积运算的交换律和结合律。,2018/9/27,11,1.2 希尔伯特变换性质(4),(4) 的能量及平均功率相等,与,希尔伯特变换是一全通滤波器，只改变信号的相位， 不会改变信号的能量和功率。,2018/9/27,12,1.2 希尔伯特变换性
3、质(5),(5) 设具有有限带宽 的信号 ，,设 与 为低频信号,2018/9/27,13,1.2 希尔伯特变换性质(6),(6) 平稳随机过程 希尔伯特变换的统计自相关函数 和时间自相关函数 ，分别等于 的统计自相关函数 和时间自相关函数 。,a. 平稳随机过程 经过希尔伯特变换后，平均功率不变。 b. 平稳随机过程 经过希尔伯特变换后，功率谱密度不变。,推论：,2018/9/27,14,1.2 希尔伯特变换性质(7),(7) 平稳随机过程 与其希尔伯特变换的统计互自相关函数 和时间自相关函数 ，分别等于 的统计自相关函数 和时间自相关函数 的希尔伯特变换。,2018/9/27,15,1.3
4、 复随机变量,若X与Y分别是实随机变量，定义为复随机变量均值：方差:相关矩：协方差：,2018/9/27,16,1.3 复随机过程,若X与Y分别是实随机变量，定义为复随机变量均值：方差:自相关矩：协方差：,1.3 复随机过程,1.3 复随机过程,2018/9/27,19,1.3 解析信号,解析信号：由实信号 作为实部，其希尔伯特变换 作为虚部，构成一复信号,复信号 称为解析信号,希尔伯特变换可以把一个实信号表示成其频谱仅在正频率域的复信号。,1.3 解析信号,解析信号本质上是原信号的正频率部分，是实信号的一种“简练”形式。,若 是确定信号,则 也是确定信号.,若 是随机信号,则 也是随机信号.
5、,2018/9/27,21,1.3 解析信号的性质,(1)若 为宽平稳过程，则 也是宽平稳过程，,(2),(3),(4),且 与 联合平稳。,2018/9/27,22,1.3 解析信号的性质,(5),(6),(7),(8),与 在同一时刻是正交的,2018/9/27,23,窄带随机过程,2018/9/27,24,2.1 窄带随机过程的定义,窄带随机过程的定义,若随机过程的功率谱是集中在以 为中心频率的有限带宽 内，并满足 ，则称它为窄带随机过程。,一个典型的确定性窄带信号可表示为,幅度调制或包络调制信号,相位调制信号,二者相对于 都是慢变的,2018/9/27,25,2.1 窄带随机过程的数学
6、模型,窄带随机过程,对于窄带随机过程，它的每一个样本函数都具有上式的形式，则所有的样本函数构成窄带随机过程。,窄带随机过程的包络,窄带随机过程的相位,二者都是随机过程，且相对于 都是慢变随机过程,2018/9/27,26,2.1 窄带随机过程的数学模型,窄带随机过程,都是低频慢变的随机过程,和,同相分量,正交分量,2018/9/27,27,2.1 窄带随机过程的数学模型,窄带随机过程,包络 相位,2.1 窄带信号与调制,2.1 窄带信号与调制,2.1 窄带信号与调制,2018/9/27,31,2.2 窄带随机过程的统计特性,(1) 是均值为0的平稳过程，则,也是均值为0的平稳过程。,(2) 的
7、自相关函数相同，且,与 具有相同的平均功率，即它们的方差相同,2018/9/27,32,2.2 窄带随机过程的统计特性,(3) 集中在,2018/9/27,33,2.2 窄带随机过程的统计特性,(4) 是联合平稳的，且互相关函数,为奇函数,在同一时刻， 是相互正交的,2018/9/27,34,2.2 窄带随机过程的统计特性,(5)若窄带过程的单边功率谱是关于 对称的，则,的互相关函数和互功率谱密度恒为0，,即两个低频过程正交。,其中,2018/9/27,40,2018/9/27,41,3 窄带高斯过程,假定窄带高斯过程的均值为零，方差为 ， 功率谱相对于中心频率 是对称的,若 为高斯过程，则
8、也应为高斯 过程，并且都具有均值0和方差,2018/9/27,42,3 窄带高斯过程,在同一时刻是互不相关的,是高斯过程,在同一时刻是相互独立的,时刻t,2018/9/27,43,3 窄带高斯过程,2018/9/27,48,3 窄带高斯过程包络和相位的联合分布,时刻 t,2018/9/27,49,3 窄带高斯过程包络/相位的一维概率分布,包络的一维概率密度,相位的一维概率密度,瑞利分布,均匀分布,在同一时刻窄带高斯过程的包络和相位是互相独立的随机变量。,2018/9/27,50,3 窄带高斯过程包络和相位的二维概率分布,包络和相位不是两个统计独立的随机过程,2018/9/27,51,3 窄带高
9、斯过程包络平方的一维概率分布,时刻 t,指数分布,信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波，这是通信系统中常会遇到的一种情况，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。 设正弦波加窄带高斯噪声的合成波为： r(t)=A cos(ct+)+n(t) (2.6 - 1),A cos(ct+)为信号部分,n(t)为噪声部分,3 窄带高斯过程加余弦信号的分析,式中, n(t)=nc(t) cosct-ns(t) sinct为窄带高斯
10、噪声，其均值为零，方差为2n；正弦信号的A, c均为常数，是在(0, 2)上均匀分布的随机变量。 于是r(t)=Acos+nc(t)cosct-Asin+ns(t)sinct =zc(t)cosct-zs(t) sinct=z(t)cosct+(t) (2.6 - 2),式中：zc(t)=Acos+nc(t) (2.6 - 3)zs(t)=Asin+ns(t) (2.6 - 4)Zc=Zcos , Zs=Zsin ,合成信号r(t)的包络和相位为 z(t)=,利用上一节的结果， 如果值已给定(为常数)，则zc、zs是相互独立的高斯随机变量，且有 Ezc=AcosEzs=Asin D zc=DA
11、cos+nc(t) = DAcos+Dnc(t) +2EAcosnc(t)=0+ + 2Acos E nc(t) = = 同理 ： D zs= D zc = D zs =,-0,zc(t)=Acos+nc(t) zs(t)=Asin+ns(t),所以，在给定相位的条件下的zc和zs的联合概率密度函数为f(zc, zs/)=,利用上一节相似的方法， 根据式（2.6 - 3）、（2.6 - 4）可以求得在给定相位的条件下的z和的联合概率密度函数为：,f(z, /)=f(zc, zs/) =f(zc, zs/),= zf(zc, zs/),Zc=Zcos , Zs=Zsin ,以相位为条件的包络z的
12、概率密度为：,由于,故有,式中，I0(x)为零阶修正贝塞尔函数。当x0时，I0(x)是单调上升函数，且有I0(0)=1。因此f(z/)= 由上式可见， f(z/)与无关， 故正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为 ,这个概率密度函数称为广义瑞利分布，也称莱斯（Rice）密度函数。 上式存在两种极限情况：,（2.6 - 8）,（1）当信号很小，A0，即信号功率与噪声功率之比r = 0，x值很小，有I0(x)=1，这时合成波r(t)中只存在窄带高斯噪声，式（2.6 - 8）近似为式：即由莱斯分布退化为瑞利分布。 （2）当信噪比r很大时，有I0(x) ，这时在zA附近， f(z)近似于高斯分布，即
13、f(z)由此可见，信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关。 小信噪比时，它接近于瑞利分布；大信噪比时，它接近于高斯分布；在一般情况下它是莱斯分布。图 2 - 7（a）给出了不同的r值时f(z)的曲线。,A为信号A cos(ct+)的幅值,图 2 7 正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布,(瑞利分布),(高斯分布),图 2 7 正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布,关于信号加噪声的合成波相位分布f()，由于比较复杂， 这里就不再演算了。不难推想，f()也与信噪比有关。小信噪比时， f()接近于均匀分布，它反映这时窄带高斯噪声为主的情况；大信噪比时，f()主要集中在有用信号相位附近。 图 2 - 7（b）给出了不同的r值时f()的曲线。 作业：思考题：正弦波加窄带高斯噪声的合成波包络服从什么概率分布？答：广义瑞利分布。或： 信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关。 小信噪比时，它接近于瑞利分布；大信噪比时，它接近于高斯分布；在一般情况下它是广义瑞利分布（或称莱斯分布）。,
