1、学年论文题 目 凹凸函数及其在证明不等式中的应用 学 院 数学与计算机科学学院 专 业 数学与应用数学 级 别 10 级 姓 名 洪玉茹 学 号 101301040 摘 要 首先给出了凸函数的定义， 接着 给出了凸函数的一个判定定理以及 Jesen 不等式通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用凸函数具有重要的理论研究价值和实际广泛应用，利用凸函数的性质证明不等式；很容易证明不等式的正确性因此，正确理解凸函数的定义、性 质及应用，更对有关学术问题进行推广研究起着举足轻重的作用关键词 凸函数，凸函数判定定理 Jensen 不等式。下面我们主要研究凸函数，凹函数由读者自行探索。一、 凸函数的等价定
2、义定义 1 若函数 对于区间 内的任意 以及 ，恒有()fx(,)ab12,x(0,1)，12()xff则称 为区间 上的凸函数()fx(,)其几何意义为：凸函数曲线 上任意两点 间()yfx12(,),()xffx的线总在曲线之上定义 2 若函数 在区间 内连续，对于区间 内的任意 ，恒有()fx(,)ab(,)ab12,x，1212()xfffx则称 为区间 上的凸函数()fx(,)其几何意义为：凸函数曲线 上任意两点 间()yfx12(,),()xffx割线的中点总在曲线上相应点(具有相同横坐标)之上定义 3 若函数 在区间 内可微，且对于区间 内的任意 及 ，()fx(,)ab(,)a
3、b0恒有，00()()fxfx则称 为区间 上的凸函数()fx,ab定义 4 设 在区间 I 上有定义, 在区间 I 称为是凸函数当且仅当：()fx()fx,有 则称该1,2.n1212. ().().n nxffxff函数为凸函数。 二、判定定理用定义直接来判断一个函数是不是凸函数，往往是很困难的但用该判定定理来判断一个光滑函数是否为凸函数，则是相当简便的下面我们介绍该判定定理。判定定理：设 为区间 上的二阶可导函数，则在 上 为凸函数的充要fI If条件是 ， ()0xI证明：对于区间 内的任意 （不妨设 ）以及 ，令,ab12,12x0,1，则有 ，由泰勒公式，得12x1 1,x x及
4、，11fffx22fxff其中 ，于是12x122121ffxfxxff再进一步由 ，所以 即 21ff x。1 2fxfxx所以我们能用判定定理判断函数的凹凸性。定理：（ 不等式）若 为 上的凸函数，则 ,Jens()fa,b,ixab，有 .0(1,2.),i n1,i11()()nniiifxfx证明 应用数学归纳法.当 时，由定义 1 命题显然成立.设 时命题成=2n=k立,则 与 都有1,.,kxab10,2,.i i11()()kkiiifxf现设 及 （i=1,2,k+1）, .121,.,kxab0i1ki令 i=1,2,k,则 .由数学归纳法假设可推得1,iik1ki111(
5、)()kiki kxfxf11()()kikxf11()()()kiikfxf= 111()()()ikikikffx= 1()iif即对任何正整数 ,上述不等式成立.n(2)推论：设 在区间 I 上有定义, 在区间 I 为是凸函数，则 ,有 。()fx()fx1,2.nxI1212.().().n nxxffxff三、凸函数在不等式证明中的应用由上述的 Jensen 不等式，在实际中我们可以应用 Jensen 不等式，常常先用导数来肯定函数的凹凸性，再反过来引出它必定满足凸性不等式在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凹凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙Je
6、nsen 不等式是凸函数的一个重要性质，利用其证明一些重要不等式可以更简捷，但是对于实际给出的题目，我们往往要先构造出凹凸函数，才能应用 Jensen 不等式证明我们所要证明的不等式。举个我们熟悉的例子：在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值，而证明用到数学归纳法其实这些不等式可在凸函数框架下统一证明例 1 设 ，证明：0,12,.ian121212 . nnnaa证明 设 ，有 ，从而，函数()l,(0,)fxx0)(2 xf在 是严格凸函数， 取 ()lnfx0,121(,),1iii nxaqnq有1212llln(.).n na
7、a或nnnnn aa .l)l.l(.l 2111221 即 1212 nnna取 12(0,),1i i nixqqa同样方法，有 1212nnaa于是， ， 有 nN121212 . nnnaa例 2 证明 有 12,.,nxRp 11212()ppnnxxx上式称为算术平均不大于 次平均，特别的，当 ，得到算术平(1)p2p均值不大于平方平均值。 证明 考察函数 由于有 所以()pfx 2()1)0,pfxx为凸函数，从而 ()1)pfx12121,.,.(0,)nnniR有 12 2(. .pppn nxxx在上式中，令 即得 .12.n 1112()ppnxx根据上述的我们常用的不等
8、式的证明过程我们发现要运用凹凸函数证明不等式，首先要构造出凹凸函数，这是运用 Jensen 不等式的首要前提。下面我们再举出一些凹凸函数在不等式证明当中的应用。例 3 在 中，求证 ABC3sinsin2ABC证明 考虑函数 ，因为 ，所以i0yxsi0yxx在 内是上凸函数，由上凸函数的性质有sinyx0,，sinsini33ABCAB由于 故 ABCii2例 4 设 ，证明：(0,)2x1cos21cos(in)()xx证明 先将原不等式化为 22sins因为 为 上的凸函数，故当 时，有()xf(,)0,ab()(2abff令 则22sin,cosaxb1222sinco()()()ab
9、xfff而 22sincos()()()2xxfab所以 22sincos()()xx这道题目很难用初等知识证明，但通过构造凸函数 巧妙地令()xf，便可很方便的证得.22sin,cosaxb例 5 设 和 是两组正数， .证明 12,na12,nq 1niq. 11nqnaq证明 要证原不等式即要证明 . 11ln.ln(.)nnqaqa令 ,则由于 ，所以 为凹函数，由 不等()lfx(0)2()0fxfJes式即得所证。112(.)()().()n nfqaqfafqfa结束语通过研究凸函数的几种定义，凹凸函数的一个判定定理以及 Jesen 不等式通过例题展示了凹凸函数在不等式证明中的应用凹凸函数广泛的应用在不等式的证明中，运用它解题显得巧妙，简练，通过对上述问题的证明，我们认识到利用凹凸函数证明不等式，关键是寻找合适的函数，若不能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等式的目的参考文献：1侯风波高等数学M科学出版社，2005，62华东师范大学数学系数学分析M高等教育出版社，1991，33花树忠凸函数的三种典型定义及其间的等价关系J邯郸职业技术学院学报2002(1)： 52-544李荣春利用凸函数证明不等式J宁德师专学报1998，10(1)
