1、1一、灰关联方法1.1、灰关联分析方法概述灰 色 系 统 是 既 含 有 已 知 信 息 ， 又 含 有 未 知 信 息 或 非 确 知 信 息 的 系 统 。 灰关联分析是依据灰数列间几何相似的序化分析与关联测度，来量化不同层次中多个序列相对某一级别的关联性，其实质为灰色系统中多个序列之间接近度的序列分析，这种接近度称为数据间的关联度。关联度愈高，说明该样本序列隶属的关系愈贴近，这是综合评价的信息和依据。在数学理论上，它反映了离散数列空间的接近度，所以是一种几何分析法。灰关联度分析的基本思想是根据离散数据之间几何相似程度来判断关联性大小，并进行排序。在此，我们通过两个实例给出灰关联分析方法的
2、过程1.2、灰关联分析的步骤应用灰关联分析，一般包括下列的计算和分析步骤：（1） 确定参考序列和比较序列；（2） 作原始数据变换；（3） 求绝对差序列；（4） 计算关联系数；（5） 计算关联度；（6） 排关联序；（7） 列关联矩阵进行优势分析。1.2.1 数据变换技术为了保证建模的质量与系统分析的正确结果，对收集来的原始数据必须进行数据变换处理，使其消除量纲和具有可比性。定义1 设有序列 (1),2,()xxn称映射 :fy()(,12,fxkn为序列 到序列 的数据变换。xy（1） 初值化变换： ()(,()01fyx（2） 均值化变换： 1()(,()nkkf x（3） 百分比变换： ()
3、()()makfxy（4） 倍数变换： ()(),in()0inkkf x2（5） 归一化变换： 00()(,xkfyx（6） 极差最大化变换：()min()(akf yk（7） 区间值化变换：()i()() ()xnkkf x1.2.2 变换的性质上述变换满足（1） 当 ；()0,12,()0xkny（2） 保序性：若 ;(),()ixjijxijyij（3） 保差异性：对任意的 ，有,tl()()xityitljlj1.2.3 多指标序列的数据变换设有多指标序列 111(),2,()xxn22 (1),(,()mmxxn称映射 :iify()(,12,iifxkn为序列 到序列 的数据变换
4、。ixiy多因素指标的数据变换主要依赖于指标的属性类型，常用的属性类型有效益型（指标值越大越好型） 、成本型（指标值越小越好型） 、固定型（指标值越接近某固定值越好型） 、区间型（指标值越接近某固定区间越好） 、偏离型（指标值越偏离某固定值越好） 、偏离区间型（指标值越偏离某固定区间越好）等。关联分析中常用的数据变换有效益型：()min()()axiiiikyxk3成本型：max()()in()iiikyk固定型： ， 为固定值()()()axiiiii xkak()k区间 型：,bkm()(),()max(),()axiniii ii iiykkbkx偏离 型：()ck()ax()in()i
5、iiiccy偏离区间 型：,b()m()(),()max(),()axinii i iiiikky bkxkb1.2.4 关联度定义2：设 为灰关联因子集， 为参考序列， 为比较序列，01,mx 0i分别为 与 的第 个点的数，0(),ixkik000(1),2,()xxn 1222(),()xx (1),(,()mmn给定 为实数， 为 点权重，满足 ， 。若实数0(),(irxkk01kk001(,)(),(nikirxrx满足1） 规范性： 0(,)irx0,i i400(,)1i irxx2） 偶对称性：,xyX(,)(,),yrXy3） 整体性：,ji(,)(,)jijixx4） 接
6、近性：越小， 越大0()ixk0(),(irk则称 为 对 的灰关联度。0(,)irx0i定义 3：定义 minax00(),()irxkk为灰关联系数。其中 为绝对差， 为两极最00i iin0i()iik小差， 为两极最大差， 为分辨系数max()iik(,1)定义 4：设 为指标 的权重，满足 ， ，定义k0k1nk001(,)(),(nikirxrx为 对 的灰关联度， 是序列几何距离的一种度量。0xi 0,i1.3 实例1.3.1 实例一：用灰关联分析的方法分析影响呼和浩特市大气污染的各主要因素的污染水平。表 1 1999-2003年城市大气污染监测数据因素 1999 2000 20
7、01 2002 2003大气污染值 0.732 0.646 0.636 0.598 0.627NO x0.038 0.031 0.042 0.036 0.043TSP 0.507 0.451 0.448 0.411 0.1222SO0.048 0.034 0.030 0.030 0.031工业总产值 183.25 207.28 240.98 290.80 370.00基建投资 24.03 44.98 62.79 83.44 127.22机动车数量 85508 74313 85966 100554 109804煤炭用量 175.87 175.72 183.69 277.11 521.265沙尘天
8、数 10 13 13 1 1计算步骤：（1）将城市区域大气污染值作为参考序列 ，其他各因素作为比较因素序0(),5xk列 ，对各因素初值化处理，得各标准化序列(),81,5ixkk iy 表2 标准化数据因素 1999 2000 2001 2002 2003大气污染值 1 0.883 0.869 0.817 0.857NO x1 0.816 1.105 0.947 1.132TSP 1 0.890 0.884 0.811 0.2412SO1 0.708 0.625 0.625 0.646工业总产值 1 1.131 1.315 1.587 2.019基建投资 1 1.872 2.613 3.47
9、2 5.294机动车数量 1 0.869 1.005 1.176 1.284煤炭用量 1 0.999 1.044 1.576 2.964沙尘天数 1 1.300 1.300 0.100 0.100（2）由上表求绝对差 。得序列00()()i ikyk01(,.6723,.7502,.7015,.6)35419)4(84205(,.980,.306,.3,.9047)76727)8(175minax,4.（3）计算关联系数如下：取 ，0.5()0.5437jki01(,.9704,.89)021,.9,.908)32134(83426505(,.65,.)06,.,.1)79708698(170
10、6（4）计算关联度取 ，比较因素和参考因素的关联度为 123450.250101().9kr02021().954kr 503031().95kr504041().86k 5001().68k 506061().27k507071().2kr 508081().3kr从结果可以看出，直接因素（前3个）关联度的排序为 ，说明在城市大气环境02103r的影响因素中，TSP是主要因素；在间接因素（后5个）中，关联度的排序为，机动车数量是主要的间接影响因素。06807405rr1.3.2 实例二：基于灰度关联的多传感器融合目标识别方法目标识别的基本任务就是利用样本的特征和目标库中已知目标的特征的比较，
11、将待识别样本划分为相应的目标类型。目标识别技术是军用指挥自动化系统的关键技术之一，一直是该领域的研究重点和热点。3.2.1 单传感器灰色识别原理设目标库 中有 个目标，每个目标有 个属性。记 ，Xmnix(1),2()iiixn表示第 个目标， 表示第 个目标的第 个属性。(1,2)ix i()ixk1,2) k在灰色关联分析理论中，目标库中的每一个目标 称为比较序列。传感器收到的待识别的ix目标记为 ，称为参考序列， 。经过数据处理后计算0x0x00(),()n，用于反映了待识别目标的第 个属性与第 个目标类的第 个属性的匹配(),(irk kik程度。然后计算 对 的灰关联度 ，反映了待识
12、别目标与第 个目标的相似程度。0xi 0(,)irxi基于灰关联分析的识别原理为计算待识别目标与目标库中各目标的灰关联度，按照灰色系统分辨原理，对关联度进行排序，若 ，则判断认为目标的类型00max(,)i iirr为 所对应的目标类型。0i3.2.1 多传感器融合灰色识别原理设有 个传感器在同一时间内对同一个目标进行监测，第 个传感器收到的待识别目Nj标信息记为 ，多传感器灰色识别融合原理可叙述如下：0jx00(1),(2,()jjjxn7对 1,2jN1）计算第 个传感器收到的待识别目标的第 个指标与目标库中 ；k0(),(jirxk2）计算 ，得向量 （ ）0(,)jirx,)m jr0
13、(,)jix1m3）设第 个传感器的权重为 ， 求矩阵 （ ） 的加权 1 范数j),(0ijiRjirN ，则断定多传感器融合识别的结果为目标属于第 类。0iR1Njjimir1ax 0i1.3.3 应用根据不同目标类型在空中飞行时地面防空系统雷达所能探测的指标和雷达系统校飞中所采用的指标,我们选取空中飞行器的速度 、高度 、机动能力 （加速度）、雷达波vH形大小 、雷达回波强弱 这5项指标，建立目标类型的参数模板。设有两个传感器在同1P2P一时刻对同一目标进行观察，观测值如表3所示。表3 目标类型的参数模板及待识别的目标参数 v 1P2战略轰炸机B52 1x250 10000 1 0.8
14、0.8歼击机F16 2280 10000 2.5 0.5 0.5武装直升机 3x100 6400 2.0 0.2 0.2隐形战斗机F117A 4220 10000 1.0 0.1 0.1传感器1的观测数据 01x238 10000 1 0.8 0.7传感器2的观测数据 2240 10000 1.02 0.8 0.72将各传感器的观测数据作为参考序列，各机型参数作为比较序列，对各参数值进行初值化处理，得到无量纲序列表2。由上表计算绝对差，取分辨系数 0.5，各指标的权重相同， 由式（1）计算灰关联系数，由式（2）计算灰关联度得 （0.9690，0.9269，0.8663，0.9523），1r（0
15、.9740，0.9303，0.8663，0.9493），灰关联度矩阵为r21rR943.086.930.4.05226由单传感器识别原理，可判定传感器1和传感器2观测到的目标为战略轰炸机，但由于传感8器1的灰关联度中，最大值和次大值之间仅差0.01左右，所以由传感器1判定为战略轰炸机的可信度并不高，现设传感器2的观测精度高，取其权重为 ，传感器1的权重为 ，由3231多传表4 参数的无量纲值vH1P2战略轰炸机B52 1x1 40 0.004 0.0032 0.0032歼击机F16 21 35.71 0.0089 0.0018 0.0018武装直升机 3x1 64 0.02 0.002 0.0
16、02隐形战斗机F117A 41 45.45 0.0045 0.00045 0.00045传感器1的观测数据 01x1 42.017 0.0042 0.0034 0.0029传感器2的观测数据 21 41.67 0.00425 0.0033 0.003感器融合识别原理，计算矩阵 的列加权和得 （0.972，0.9292，0.8663，0.9503），Rc故 的加权1范数为 0.972，即多传感器融合识别的结果为战略轰炸机。R1二、灰色模型2.1 灰色模型概述从 灰 色 系 统 中 抽 象 出 来 的 模 型 。 灰 色 系 统 是 既 含 有 已 知 信 息 ， 又 含 有 未 知 信 息 或非
17、 确 知 信 息 的 系 统 ， 这 样 的 系 统 普 遍 存 在 。 研 究 灰 色 系 统 的 重 要 内 容 之 一 是 如 何 从 一个 不 甚 明 确 的 、 整 体 信 息 不 足 的 系 统 中 抽 象 并 建 立 起 一 个 模 型 ， 该 模 型 能 使 灰 色 系 统 的因 素 由 不 明 确 到 明 确 ， 由 知 之 甚 少 发 展 到 知 之 较 多 提 供 研 究 基 础 。 灰 色 系 统 理 论 是控 制 论 的 观 点 和 方 法 延 伸 到 社 会 、 经 济 领 域 的 产 物 ， 也 是 自 动 控 制 科 学 与 运 筹 学 数学 方 法 相 结 合
18、 的 结 果 。如 果 一 个 系 统 具 有 层 次 、 结 构 关 系 的 模 糊 性 ， 动 态 变 化 的 随 机 性 ， 指 标 数 据 的 不 完备 或 不 确 定 性 ， 则 称 这 些 特 为 灰 色 性 。 具 有 灰 色 性 的 系 统 称 为 灰 色 系 统 。 在 灰 色 系统 理 论 中 ， 利 用 较 少 的 或 不 确 切 的 表 示 灰 色 系 统 行 为 特 征 的 原 始 数 据 序 列 作 生 成 变 换 后建 立 的 ， 用 以 描 述 灰 色 系 统 内 部 事 物 连 续 变 化 过 程 的 模 型 ， 称 为 灰 色 模 型 ， 简 称 GM模 型
19、2.2 GM（1,1）模型2.2.1GM（1,1）建立灰色系统理论的实质是将无规律的原始数据进行累加生成，得到规律性较强的生成数列后再重新建模。由生成模型得到的数据再通过累加生成的逆运算累减生成得到还原模型，再还原模型作为预测模型。灰色模型是预测工作的基础模型。记 为原始序列， 为)(),2(,1(00)0 nxx )(),2(,1(1)1 nxx9由 经过一次累加生成的序列，其中 ， ，)0(x kixx1)0()1( n,21表示 的均值生成序列，)(),2(,1(1)1 nzz)1(， )()()( kxkxkn,32命题 1： 序列 的 GM（1,1）模型定义为)0(bkazx)()(
20、10 nk,32则参数 的表达式为ba,1()TBY，()1()23zzn(0)(0)23xn若令 ， ， ， ，则参kC2)1(kxD2)( )(02)1(kxzEnk 22)1(nkzF数 的表达式为 ba, 2)(1CFna2)(CnDb2.2.2 新息改进 GM（1,1）模型设 ，其参数为 的 GM（1,1）模型为)1(),(,1()00)0xx ba,（）)(1)1(bkaz 132nk为系统最新信息，由于它与预测时间最为接近，因而对系统特征的研究更具价值，)(0nx记 ，由 建立的 GM（1,1）模型称为新息 GM（1,1）模型，该模)(0)()(1nx)0(1x型的边界条件为 。
21、若将含系统最新信息的条件作为边界条件，即)()()1(，得到如下模型)()(1xn定义 2.1： 称 （）)()(11)0(nxbkzank3,210为新息改进 GM（1,1）模型。命题 2： 新息改进 GM（1,1）模型的参数估计为（2）nk kznxDa2)1(1)0(1 nkkzxDb21)(1)0(1 其中 ， ， 。22)1(1nkzk2)1(1 211)(旧模型（）和新模型（）间的参数关系如下命题 3：12)1()(1 nkzD)()()( 11(12001 kznxank )()()( 1)0(01(1)1(21 kznxkzbDnk2.2.3 累积法新息改进 GM（1,1）模型
22、的参数空间累积法是一种基于累加生成技术的新的曲线拟合技术。本节将累积法引入新息改进GM（1,1）模型的参数估计中，给出新的参数估计公式。定义 2.2：对任意的自然数 ，数列 的 阶累积算子为rtxn,21rttllrntrx1)(1)(通常记 时的 阶累积算子 为 。1txrntr1)(ntr1)(关于 阶累积算子的计算有如下定理r定理 1： )()(0110)( kxCkxnrknkrrnnkr11)(下面给出新息改进 GM（1,1）模型中参数的累积法估计。首先对模型（）的第一个方程施加累积算子，假设累积法算子的最高阶数为 ，由于模型的参数有 2 个，故 一定不小rr于 2。 nknknk
23、bzax2)1()1(21)0(12 nknknk 2)(1)1(21)0(211 nkrrnkrnk bzax2)(1)1(21)0(2记 ， ， ，则上述方程组的nkrnkrnknkrzzX2)(2)1(2)(2)1()1()( nkrnkrxxY2)0(2)0()(11ba矩阵形式为 ，易知参数 的解析解为rrYaXa或 rX1 rTrTYX1)(实际应用过程中，一般 是存在的，可直接取 ，此时由 Cramer 法则，易解出参数r 2的表达式为定理 2：模型（）累积法的参数表达式为)()(120)()1(20)1()( nknk xxBa)()()()( 20)(21)(21)(20)1
24、(1 nknknknk zzxb其中 nknkzB2)1()(2)1()1(同理易知模型（）累积法的参数表达式为定理 3： )()( 120)()(120)()( nknk xxa )()()()(1 120)(12)(12)(20)( nknknknk zzxBb其中12)()(12)()( nknk2.2.4灰色模型的建模步骤（1）级比检验、建模可行性分析。对给定序列 ，能否建立高精度的GM（1,1）模型，一般可用 的级比 的大(0)x (0)x0()k小与所属区间来判断。12设 ， ，若)(),2(,1(00)0 nxx0(0)(0)1kxk，则可GM （1,1）建模。2(,nke（2）
25、数据变换处理。对级比检验不合格的序列，经过平移变换、对数变换、方根变换等进行变换。（3）建立GM（1,1）模型（4）模型检验。1）残差检验： 为由模型得到的估计值(0)xk， ，(0)()1%k21()()nkavg0(1)0%pavg一般要求 ，最好 ；一般要求 ，最好 。()20k08%092）后验差检验：设 为原始序列， 为模型序列，(0)x()x为残差序列， 的均值和方差分别为(0)()(),qkxkq(0)， 的均值和方差分别为(0)2(0)211,nnkkSx(0)q。后验差比值和小误差频率分别为 ， 2211(),(),nnkkqqn21SC0.6745PS（5）预报2.2.5实
26、例1.GM（1.1）模型某城市道路交通噪声平均级数数据为（71.1，72.4，72.4，72.1，71.4，72.0，71.6）)0(x（1）求级比： ，0(0)(0)1kxk，所有 ，0(.982,1.,.42,.98,.7,1.59) 0().78,1.240k可作GM（1,1）建模（2）对原始数据 作一次累加)0(x， ，(1)(0)71.x()(1)(0)22143.5x， ，()()(0)335.9x()()(0)28x13， ，(1)(1)(0)54539.4xx(1)(1)(0)656431.xx()()()767构造数据矩阵 ,BY， (1)(1)(1)220.3zx(1)(1
27、)(1)2379.zx，()()()43459()()()452， (1)(1)(1)656.2zx(1)(1)(1)7646.2zx， ，07.91.325.467B2.417.20.6Y172.59()034TaBYb（3）建立模型 (0) (1).34792.6579xkzk白化方程为 (1) (1).2.dxt取 ，得时间响应函数(1)(0)7.4x-30928.85259 +30999.95259()k(1)akbe0.23479ke（4）求生成序列 及模型还原值()x()1x令 ，6，由上面的时间响应函数计算 ，取5,321k ()再由 ，取 ，7，()(0)(0)17.4xx(0
28、)xk)1)()1(kx6,5432得 (0)7.,24.,.9,.6)（5）模型检验见表 52.新息改进 GM（1.1）模型设系统特征数据序列 （2.874，3.278，3.337，3.39，3.679） ，新息为)0(x3.85， （2.874，3.278，3.337，3.39，3.679，3.85） ，则)6(0x 6)()()0(114（2.874，6.152，9.489，12.879，16.558，20.4080）)1(x（4.513，7.8205，11.184，14.7185，18.483）)(1z表 5 GM（1,1）模型检验表序号 原始值 模型值 残差 相对误差 精度1 71.
29、1 71.1 0 0 100%2 72.4 72.4 0 0 100%3 72.4 72.2 0.2 0.28% 99.72%4 72.1 72.1 0 0 100%5 71.4 71.9 -0.5 -0.7% 99.3%6 72.0 71.7 0.3 0.42% 99.58%7 71.6 71.6 0 0 100%平均精度后验差比值小误差频率9.8%pC=0.3302P=1.000该模型的精度较高，不需要修正，可进行预测和预报。nkkzX2)(62)1(6)1()( 2039.5762)0(1)(1kxY16.547211Xba9.3建立模型为 029.3)(0427.)(101kzkx白化
30、方程为 .)(.1)1(zdt取 ，得时间响应函数408.2)6()(11x91.2019 70.7939)1(k1)(1)1( abeabnnk )6(0427.ke15令 ，由上面的时间响应函数计算 ，再由 ，5,4321k )1(x)(01k)1()1(kx取 ，得6（2.8746，3.2138，3.354，3.5003，3.6548，3.8213）)0(1x表 6 列出 3 个模型得预测值及误差表 6 预测及误差GM(1,1) 新息改进 GM(1,1) 新模型 k)(01kx误差/)(0 误差/)(01kx 误差/)(01kx1 2.874 2.874 0 2.874 0 2.8746
31、 02 3.278 3.236 1.402 3.2119 2.013 3.2138 1.95853 3.337 3.3545 0.524 3.3526 0.467 3.354 0.5094 3.39 3.4817 2.705 3.4996 3.232 3.5003 3.2535 3.679 3.6136 1.778 3.653 0.707 3.6548 0.65786 3.85 3.8131 0.957 3.8213 0.7454原点误差平均误差1.7781.6020.9571.4750.74541.425由上表可知，累积法新息改进 GM（1,1）模型的原点误差和平均误差比新息改进GM（1,1）模型和 GM（1,1）模型都小，而且 3 个模型中累积法新息改进 GM（1,1）模型的误差最小，预测较近点的精度最高，模型精度也最高。
