1、防错纠错 5 不等式一、填空题1不等式 的解集是 21x【解析】 可化为 ，等价转化为 ，所以解集 210x 10()x为-1，1).【易错、易失分点点拨】本题在化简时，极易忽略 ，得到错解-1，1.10x点拨：化简分式时要注意分母不为零.2.不等式 的解集为 R，则实数 a 的取值范围是_.210ax【解析】当 时，满足题意，当 时，必有 ，解得 ，综上实数 a 的004a取值范围是.04a【易错、易失分点点拨】本题极易遗漏 a=0 的情况.点拨：在处理二次不等式问题时，要注意二次项系数为 0 的情况.3当 时，不等式 恒成立，则实数 m 的取值范围是_.(1,2)x240xm【解析】法一：
2、令 ，则只要满足 ，解得 .()f(1)20f 5法二：变量分离 恒成立， 的取值范围是 ，所以 .4x4()x(,4)m【易错、易失分点点拨】本题用法一做时，很容易漏掉等号，如果把 变为 ，(1,2x1,2x结果又会不同，这样的题目很多；用法二做时，容易把最大最小值搞反，从而得到错解，还容易漏掉等号.4m点拨：用函数思想处理二次不等式时，要注意区间端点的影响4. 已知 满足约束条件 ，若 的最大值为 4，则 a 的值为,xy02xyzaxy_.【解析】不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中02xy的阴影部分所示，若 的最大值为 4，则最优解可能为 zaxy1,xy或 ，经检验， 是
3、最优解，此时 ； 不是最优解.2,0xy2,0xy2a1,xy【易错、易失分点点拨】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数 的值，考查学a生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力.5.设实系数一元二次方程 有两个相异实根，其中一根在区间 内，另20xab(0,1)一根在区间 内，则 的取值范围是 .(1,)41【解析】令 ，由根的分布知识可得 ，得到2()fxab(0)12ff201ba画出不等式组所表示的区域， 表示区域内的点(a，b ）与 连线的斜率，则 的41(,4)4取值范围是 .13(,)2【易错、易失分点点拨】本题其实本质还
4、是线性规划问题，学生可能认识不到这一点，也不能准确列出线性约束条件，如果把字母(a，b) 换成(x，y)，学生可能会认识到问题的本质.点拨：要突破字母对解题的影响6. 的值域是_.21xy【解析】令 ，则 ，则 ，所以该函数的值域是t1xt12tty.),31,(【易错、易失分点点拨】本题不小心就会得出错解 ，除非 才行，一定要当心.),30t点拨：应用基本不等式解题时，一定要注意正数这个基本条件.7. 设 ，则 的取值范围为 .20,1baa2b【解析】由 得： ，且 ，原式=2,0221a20b，求出最大值为0, .)(21)(2122bb 43【易错、易失分点点拨】有消元意识，但没注意到
5、利用两元之间的约束关系互相确定范围.8. 已知正数 满足 ，则 的最小值是_.,xy14yx【解析】 ，当且仅当 ，即 ，即 时4()48yxyx 4yx2yx12,3y等号成立.本题还可以消去 y 来做.【易错、易失分点点拨】本题学生可能会有如下变形： ，然后无法4()yxyx进行下去，这样的变形可能是受一类老题“已知正数 满足 ，则 的最小,14值是_.”的影响.说明学生没有掌握这类题的本质，只知道简单模仿.二、解答题9. 已知不等式 .2(1)0xa（1）若对 恒成立，求 a 的取值范围；,3（2）若对 恒成立，求实数 x 的取值范围.1,a【解析】（1）问题可转化为 恒成立，则 即可，
6、所以 ；1a512a32a（2）问题可转化为关于 a 的不等式 ，设 ，只要20x1()xg即可，解得 或 .(1)0,3)g33【易错、易失分点点拨】本题两问要注意对比，学生容易发生混淆.当然第（2）问也可以用变量分离来做，变换主元也是学生应该掌握的思想.10设不等式 的解集为 M，如果 ，求实数 a 的取值范围.20xa 1,4【解析】令 ()2fx当 ，即 时， ，满足题意；240a1a当 时， 或 .当 时， ，不满足题意；当 时 ，0212aM满足题意；当 时， 或 ，如果 ，则有 ，解得 ；02a11,4M4(1)0af 1827a综上： 817【易错、易失分点点拨】本题学生有可能
7、想不到用函数思想解决二次不等式问题.可能一上来就会用求根公式求出解集 M，根本就没有考虑到方程 无根的情况，也20xa=就是 的情况 .然后去解无理不等式，无理不等式很容易解错，而且无理不等式现在也M不作要求.点拨：要有用二次函数解决二次不等式问题的思想.本题还有若干变式，可以把不等式变为，也可以把 变为 等.2()20xa 1,4M,M11.已知两正数 x，y 满足 求 的最小值 .,y()zxy【解析】 ，因为 ，所以 ，当且仅11()zxxyy 14 174xy当 时等号成立；而 ，当且仅当 时等号成立.综上：当且仅当4xy2x时， z 有最小值 .1254【易错、易失分点点拨】本题学生
8、有可能得到错解 4： 或者12,xy ，12,xyxy 但是两个等号不能同时成立，事实上因为 ，决定了 ，而正确做法中两个等1xy14xy号确实可以同时取得.点拨：应用基本不等式解决问题时一定要关注等号成立条件.12. 若 x，y 满足 ，求0232yxyx(1)x+y 的最小值；(2) xy 的最小值.(3) x3+y3 的最小值；【解析】（1） ，x+y4 ，当且仅当12)(3)(42yxyx2)(yx3x=y=2 时取等号.3（2） ；由一元二次函数的单调性知，xy 的最小值为 12.3)(4)(42yxyx(3) x3+y3= 0，且 x+y 与 xy 同时取得最)12(2 yx小值，所以当且仅当 x=y=2 时有最小值 48 .33【易错、易失分点点拨】第一问运用基本不等式进行消元，达到和积之间转化的目的.第二问在第一问的基础上运用整体思想，转化为函数问题值域问题.
