1、一、概率论与数理统计（经管类）考试题型分析：题型大致包括以下五种题型，各题型及所占分值如下：题号 题型 题量及分值第一题 单项选择题 （共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）第二题 填空题 （共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分）第三题 计算题 （共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分）第四题 综合题 （共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分）第五题 应用题 （共 1 小题，每小题 10 分，共 10 分）由各题型分值分布我们可以看出，单项选择题、填空题占试卷的 50%，考查的是基本的知识点，难度不大，考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四
2、章基本理论与基本方法的考查，要求考生不仅要牢记重要的公式，而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查，要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习，就会很容易的掌握解题思路。 总之，只要抓住考查的重点，记住解题的方法步骤，勤加练习，就能够百分百达到过关的要求。二、 概率论与数理统计（经管类）考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。第一章 随机事件与概率1随机事件的关系与计算 P3-5 （一级重点）填空
3、、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念2古典概型中概率的计算 P9 （二级重点）选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 （一级重点）选择、填空, （考得多）等，要能)()()( ABPBAP)()ABP灵活运用。4. 条件概率的定义 P14 （一级重点）选择、填空记住条件概率的定义和公式： )(BP5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 （二级重点）计算记住全概率公式和贝叶斯公式，并能够运用它们。一般说来，如果若干因素（也就是事件）对某个事件的发生产生了影响，求这个事件发生的概率时要用到全概率公式；如果这个事件发生
4、了，要去追究原因，即求另一个事件发生的概率时，要用到贝叶斯公式，这个公式也叫逆概公式。6. 事件的独立性（概念与性质） P18-20（一级重点）选择、填空定义：若 ，则称 A 与 B 相互独立。结论：若 A 与 B 相互独立，则)()(PABA 与 ， 与 B， 与 都相互独立。7. n 重贝努利试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率公式 P21（一级重点）选择、填空在 重贝努利试验中，设每次试验中事件 的概率为 （ ） ，则事件 A 恰好Ap10发生 次的概率 。k npCkPknknn ,210,)1()( 第二章 随机变量及其概率分布8离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29，P3
5、1（一级重点）选择、填空、计算、综合。记住分布律中，所有概率加起来为 1，求概率时，先找到符合条件的随机点，让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值，和每个值对应的概率。9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33（一级重点）选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主，记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。10. 随机变量的分布函数 P35-P37（一级重点）选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数，记住利用分布函数计算概率的公式： ；)(bFXP 其中 ；),(aab 。111. 连续型随机变量及其概率密度 P39
6、（一级重点）选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算，如 ；0)(xf ；1df反之，满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。 ；badxfaFbXaPb,)()( 设 为 的连续点，则 存在，且 。x)(f )(xfF12.均匀分布、指数分布 P42（二级重点）选择、填空、计算题记住它们的概率密度，能够根据所给的密度函数识别它们。13. 正态分布和一般正态分布的标准化 P44-P46（一级重点）选择、填空记住性质和公式：标准正态分布函数 的性质： ； 。)(x)(1)(x21)0(概率的计算（重点）： )()( abXaPbabXaPba )()()( F 1X14. 随机变
7、量函数的概率分布 P50-P54（三级重点）选择、填空在连续型随机变量函数的概率分布中，要记住用直接变换法求“非单调性”随机变量函数的概率密度的方法。第三章 多维随机变量及其概率分布15. 二维离散型随机变量联合分布律和边缘分布律 P62-P64（一级重点）选择、填空、计算题对于联合分布律，记住所有概率和为 1.求概率时，找到满足条件的随机点，再把对应的概率相加即可。要记住边缘分布律的求法。通过分布律会判断 X,Y 是否相互独立。16. 二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度 P66-P69（一级重点）选择、填空、计算、综合要记住概率密度的性质，会由分布函数求概率密度，记住公式 ；),()
8、,(2yxfF已知概率密度 会求 在平面区域 内取值的概率，记住公式：),(yxf),(YXD。要熟练掌握连续型随机变量 的边缘概率密度函DdxyYXP),( ),(YX数的求法，并能判断 X,Y 是否相互独立（考查的重点） 。17二维随机变量的独立性 P73（一级重点）选择、填空、计算题考生要记住二维离散型的随机变量和二维连续型的随机变量独立性的判断。其一： 与 相互独立的充要条件为：对一切 有 =XYji, ,jiyYxXPixXP；jyYP其二：设 为二维连续型随机变量，其概率密度为 ，),( ),(yxf关于 与 的边缘概率密度分别为 和 ，),(YX)(xfXyfY则 与 相互独立的
9、充要条件为： = 。,y其三：一个结论若二维随机变量 服从二维正态分布 ，),(YX ),(),(212NYX与 相互独立的充要条件是 。XY018. 二维均匀分布、二维正态分布 P68-P71（三级重点）计算题、综合题记住这两种分布的概率密度函数，还有以下结论若二维随机变量 服从二维正态分布 ，则随机),( ),(),(212NYX变量 与 分别服从正态分布 。XY),(221N19. 两个随机变量函数的分布 P80-P91（三级重点）填空题记住结论并能灵活运用设 相互独立，且 ，得 仍服从正态, ),(),(221YXYXZ分布，且有 。,(2121NZ推广： 个独立正态随机变量的线性组合
10、仍服从正态分布，即n。),(11221 niniinaNXaXa 第四章 随机变量的数字特征20. 随机变量数学期望的概念、性质与计算 P86-P94（一级重点）选择、填空、计算题首先要十分熟练的掌握数学期望的概念与性质，数学期望的性质在选择填空题中经常考到，然后要熟悉离散型和连续型随机变量及随机变量函数的数学期望的计算公式。考生一定要结合历年考试真题认真练习，做到心中有数。21. 随机变量的方差的概念、性质及计算 P96-P103（一级重点）选择、填空、计算熟悉方差的性质和计算公式，一般用“内方减外方”来计算方差，即。22)()XEXD在方差的性质中，要注意：常数的方差为零，所以 D(X+C
11、)=D(X)；当 X,Y 相互独立时，才有 ，此时特别的 。)()()(22YDbabY )()(YDXY22. 常见分布的数字特征 P104（一级重点）选择、填空、计算题提醒各位考生，书上 104 页的那张表所包含的内容经常考到，是考试需要重点记忆的表格之一。不仅要记清各种分布的数学期望与方差，还要记清各自的概率分布与密度函数。表格熟记在心，能够灵活运用期望与方差的性质，基本上就能轻松拿下 10-20 分。23. 协方差和相关系数 P105-P107（一级重点）选择、填空、计算题要熟悉协方差的性质与计算公式性质： ； ，其中 为任意常),(),(XYCovv),(),(YXabCovYvba
12、,数； ；若 ， 是相互独立的随机变量，2121XCo则 ； 。),(Yv0)(,(Dv计算： ，)YEX。),(2()( CovXD另外，要掌握相关系数的计算公式，还要知道相关系数的含义：两个随机变量的相关系数是两个随机变量间线性联系密切程度的度量， 越接近XY1， 与 之间的线性关系越密切。当 时， 与 存在完全的线性关系，即XY1XY； 时， 与 之间无线性关系，此时称 X,Y 不相关。随机变量 与ba0X不相关的充分必要条件是 。),(Cov0注意：若随即变量 与 相互独立，则 ，因此 与 不相关，Y),(YXov0XY反之，随机变量 与 不相关，但 与 不一定相互独立。 X若二维随机
13、变量 服从二维正态分布 ， 与 的),( ),(212N相关系数 ，从而 与 不相关的充要条件是 与 相互独立，因此XYYXY与 不相关和 与 相互独立都等价于 。0以上两点在选择题中经常出现。第五章 大数定律及中心极限定理24. 切比雪夫不等式 P116（二级重点）选择、填空记住切比雪夫不等式的两种形式。它是用来估算概率的。25. 大数定律 P116-P119（二级重点）选择、填空考生要记住相应的公式和含义。26. 独立同分布序列的中心极限定理 P120（二级重点）选择、填空牢记： 是独立同分布随机变量序列， 渐进服从正态分布 ,21nXnXni1。当 充分大时，独立同分布的随机变量的平均值
14、 的分布近似于正态),0(N ii1分布 。),(2n27. 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 P122（三级重点）填空题主要结论：在贝努利试验中，若事件 发生的概率为 ，又设 为 次独立重复试ApnZ验中事件 发生的频数，则当 充分大时， 近似服从正态分布 。AnnZ),(pqN第六章 统计量与抽样分布28. 样本均值、样本方差 P133-P134（一级重点）选择、填空要清楚样本均值、样本方差、样本标准差的计算公式。另外，要牢记结论设是来自某个总体 的样本， 为样本均值：nx,21 Xx若总体分布为 ，则 的精确分布为 ；),(2N),(2nN若总体 分布未知（或不是正态分布） ，且 ，则当样本
15、容2(,XDE量 较大时， 的渐近分布为 ，这里的渐近分布是指 较大时的近似nnix1 ),(2nn分布。29. 三大抽样分布 P137-P141（一级重点）选择、填空记住三大分布的定义，熟悉它们的结构，无需记忆概率密度函数。牢记重要结论：； 等。)1()(ntsxt)1()(22ns偏重考查卡方分布的定义式。第七章 参数估计30. 单个正态总体均值和方差的置信区间 P156-P162（一级重点）填空、应用题书上 162 页的表的前 3 行内容常考，记住各种情况下的置信区间。做题时，只要将已知条件往相应的置信区间中代入求值即可。31. 参数的矩法估计 P145（二级重点）填空题、计算题用样本均
16、值 去估计总体的均值 ，则从 解出的 即为 ，称为 的x)(XE)(XEx矩法估计量。用样本二阶中心矩 估计总体方差 ，即 。 （用的少） 。2ns)(D2)(ns32参数的极大似然估计 P147（二级重点）填空、计算考生要记住极大似然估计的方法与步骤：写出似然函数并化简 （或 ） niixfL1);()(niixP1);(两边取对数； 令 ，求出的 值即为 的极大似然估计 0)(lnd33. 估计量的无偏性 P153（一级重点）选择题设 是 的一个估计，若 ，则称 为 的无偏估计， ),(21nnx)(E否则称为有偏估计。 是 的无偏估计，但 不是 的无偏估计。本知识点经常和数s2s学期望的
17、性质联合来考查。 34. 估计量的有效性和相合性 P152-P153（一级重点）选择、填空相合性：若 是 得一个估计量，若 ，),(21nnx)(limnE， 0)(limnD则称 是 的相合估计。有效性： 设 ， 是 的两个无偏估计，),21nx12若 ，则称 比 有效。其中有效性经常考。()12第八章 假设检验35. 假设检验的两类错误 P169（一级重点）填空熟记概念：一类错误是：在 成立的情况下，样本值落入了拒绝域 中，因而 被拒绝，称HH这种错误为第一类错误，又称为拒真错误。一般记犯第一次错误的概率为 ， 也叫置信水平。另一类错误是：在 不成立的情况下，样本值未落入 ，因而 被接受，
18、称这种 错误为第二类错误，又称为取伪错误。记犯第二类错误的概率为 。由此可知： ， 。两类错误的概率|不 真接 受 HP|真拒 绝 HP是关联的，当样本容量 固定时，一类错误的概率的减少将导致另一类错误的概率的n增加；要同时降低两类错误的概率，需要增大样本容量 。n36. 单个正态总体的均值和方差的假设检验 P170-P181（一级重点）选择、填空、应用题要牢记教材 181 页表中 u 检验和 t 检验的前三行，以及 分布对应的内容。这是教材2中的第三个重要表格。做题时要熟记解题步骤，记住相应的统计量和拒绝域，那么剩下的就是计算了。双边检验考查的较多。第 9 章 回归分析37. 用最小二乘法估
19、计回归模型中的未知参数 P187（一级重点）填空、计算题整个第九章线性回归，仅考这一个考点，记住以下几点其一：回归直线 是描述 与 之间关系的经验公式， 称为回归常数，xy1YX称 为回归系数。1其二：求 ， 的估计 ， 时，自然直观的想法是对一切观测值 与回归直线 11 iy的偏离达到最小，故使得 达到最小的 ，iixy1 211)(),(ni iixy ，即为 ， 。 11其三： 回归直线的确定引进记号 2121)(xnxLniniix yyiiiniixy 11)(则 ， 。 xyLx其四： 散点的几何重心 在回归直线上 ),(y第一部分 三角函数表三角函数表反三角函数表13arcsin
20、1,arcsin,arcsin,arcsin(1)2622ro0,ro,ro,ro()36arctn1,arctn(1),arctn044第二部分 极限极限数列极限：刘徽的“割圆术” ，设有一个半径为 1 的圆，在只知道直边形的面积计算方法之下，要计算其面积：方法：先做圆的内接正六边形，其面积记为 ，再做一内接正 12 边形，记其面积为1A再做一内接正 24 边形，记其面积为 ,如此逐次将变数加倍。 。 。2A3得到数列 ，则当 n 无穷大时，有12,.,.nAlimns函数极限： 00lim()xfx常用的极限公式0li()01xxeee1lim0liarctn2litnxxx常用的几个公式
21、 (1)2.2n111()()nkkn2!nxxe等比数列公式： 是等比数列 , nS1()naq当 q0, y0 时, ),1()()(yxvuxyed当 时, 0yx他 ,0F.从,)(),(从yxeFyx他例 3 设 X 的概率密度为求 .他,210,2,)(xxf )(XE解： ,1)18(341)2()()(23203101xxdxdfXE.31)1(2)()(1)(2020dxdxXEXE例 4 设（X,Y）服从在 D 上的均匀分布,其中 D 为 x 轴, y 轴及 x+y=1 所围成，求 D(X).解: 312)2()(1010 dxxdyXE ,62D(X) = .1896二、
22、 二重积分的计算按照二重积分的定义计算二重积分，只对少数特别简单的被积函数和积分区域是可行的，对一般的函数和区域，这种“和式的极限”是无法直接计算的下面我们介绍将二重积分转化为两次定积分来计算的方法，这是计算二重积分的一种行之有效的方法1X型区域上二重积分的计算设 D 是平面有界闭区域，若穿过 D 的内部且平行于 y 轴的直线与 D 的边界相交不多于两点（如图示 3） ，则称 D 为 X型区域由图可知，此时区域 D 可以用不等式表示为D： 12()(),xyaxb在区间a，b 上任取一点 x，过点 x 作与 x 轴垂直的直线，它与 D 相交于两点， 12(),x，a x b)(21,xdyfA
23、图 3出口曲线入口曲线21()(),bbxaaAxdfydx经过以上两步计算， 相当于在区域 上累加了一遍。,fyD因此 （1） Ddxf),( dxyfxba)(21,由此可见，二重积分可以化为两次定积分来计算第一次对变量 y 积分，将 x 当作常数，积分区间是区域 D 的下边界的点到对应的上边界的点第二次对 x 积分，它的积分限是常数这种先对一个变量积分，再对另一个变量积分的方法，称为累次(或二次) 积分法公式（1）是先对 y 后对 x 的累次积分公式，通常简记为 Ddyf),()(21,xbadyf2Y型区域上二重积分的计算设 D 是平面有界闭区域，若穿过 D 的内部且平行于 x 轴的直
24、线与 D 的边界相交不多于两点（如图示 4） ，则称 D 为 Y型区域由图可知，此时区域 D 可以用不等式表示为D： 12()(),yxycd图 4 利用与前面相同的方法，可得先对 x 后对 y 的累次积分公式： （2）Ddf),(21(),ycdfxy通常简记为 （3）Dyxf),()(21,ydcxf3一般区域上二重积分的计算如果区域 D 不属于上述两种类型，则二重积分不能直接利用公式(1) 、(3)来计算这时可以考虑将区域 D 划分成若干个小区域，使每个小区域或是 X型区域、或是 Y型区域在每个小区域上单独算出相应的二重积分，然后利用二重积分对区域的可加性即可得所求的二重积分值 计算二重
25、积分 其中 D 是直线 y1, x2, 及 yx 所围的闭区域。d,DIxy解法 1. 将 D 看作 X型区域, 则:12yx，过 作直线平行于 轴，交区域下边界,y为 ，上边界为 ，则yyx22111xxIdd23298解法 2. 将 D 看作 Y型区域, 则:1yxy，过 作直线平行于 轴，交区域左边界为1,2x，右边界为 ，则x22211yyIdxd23298例 2 计算二重积分 ，其中 D 为矩形域 D：1 xDxyde2，0 y 1解 采用先 y 后 x 的积分次序，则212100112().xxyxyDxyxedeedd注意： 例 2 中的二重积分若采用先 x 后 y 的积分次序，
26、则，函数 xexy 先对 x 积分时需要用分部积分法来计算，这将210xyDxyeded使计算工作量增加（请读者自己完成，作一比较） 由此可见，计算二重积分要根被积函数x21o2xy21xo2xy21oxyy=x-222O-1y2=xxyy=x-221O-1y2=xD2D14图 5图 6选择适当的积分次序例 3 计算积分 ，其中 D 是由抛物线 y2 = x 和直线 y = x 2 所围成的闭区域dxyD解 ：易求抛物线 y2 = x 和直线 y = x 2 的交点为（1，-1）和 （4，2）积分区域如图示 5 所示D 看作 Y型区域, 采用先 x 后 y 的积分次序，则将区域 D 表示为D：
27、y 2 x y+2，1 y 2故有21ddyD yxd212)(2152216234yy85注意 本例若 D 看作 X型区域，采用先 y 后 x 的积分次序，由于区域 D 的下边界曲线需要用分段函数表示：当 x0，1 时， ；当 x1，4时，)(1 ，将 D 划分为 D1、D 2 两个部分区域( 如图 6)，其中 2)(1xD1： ；0,xyD2： 4x由此可利用二重积分的区域可加性计算此积分：12DDDxydxydxy将 D1、D 2 的表示式代入上式化为两个累次积分后可计算出积分结果显然，这次序比较麻烦例 4 设 D 是由 y = x2, y =x 和 x = 1 所围成的闭区域，将二重积
28、分 I =化为累次积分（两种次序） Ddyxf),(解 区域 D 如图示 7 所示（1）将 D 看作 Y型区域, 先 x 后 y: D 应表为 D = D1D 2，其中yy=x11 x图 8D1： ； D2： 01,yxy 10,yxy故 21 ),(),(DDdfdxfI .),(,0 10yyxff（2）将 D 看作 X型区域, 先 y 后 x：D 应表为：x y x2，0 x 1故2),(xdyfI例 5 计算二重积分 ，其中 D 是由直线 y = x, y = 1 与 y 轴围成的闭区域dxyeD2解 积分区域 D 如图示 7我们选取先 x 后 y 的积分次序将 D 表示为：D：0 x
29、 y，0 y 1故有 1010022222 yyyyDy ededxde).(1注意：若先对 y 积分后对 x 积分， ，由于函数 对变量 y 的2 210xyyDedxed2ye原函数不能表为初等函数， ，第一步的积分将无法计算小结：1X型区域：设区域 D： 则12()(),xyaxbxyy=x11图 7bO-1y=x2Dxyy=x11图 7aO-1y=x2D1D2(,)Dfxyd21(),bxafydx21(),bxafyd2Y型区域：设区域 D： 1(y) x 2(y), c y d则有(,)Dfxy21(),dcyf 21(),ycfx3如果区域 D 不属于上述两种类型，可将区域 D 划分成若干个小区域，使每个小区域属于以上某一类在每个小区域上单独算出相应的二重积分再相加即可4计算二重积分的主要步骤如下： 画出积分区域 D，写出边界曲线的方程； 选择适当的积分次序选择原则为：()被积函数对哪个变量积分较容易，就先对这个变量积分 （）使边界曲线的表示比较简单，避免划分区域变为多个积分； 按照所选的积分次序， ，化二重积分为累次积分； 计算累次积分，得到积分值
