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高等数学B教案第十二章.doc

1、高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷级数1第十二章 无穷级数教学目的: 1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。3、掌握几何级数和 p-级数的收敛性。4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。5、掌握交错级数的莱布尼茨定理,会估计交错级数的截断误差。6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。 7、理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念,了解函数项级数和函数的性质。8、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法,了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。 9、会利用幂级数的性质求和。 10、了解函数展开为

2、泰勒级数的充分必要条件。11、会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。教学重点 :1、级数收敛的定义及条件2、判定正项级数的收敛与发散 3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法;4、泰勒级数教学难点:1、级数收敛的定义及条件2、判定正项级数的收敛与发散 3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法;4、泰勒级数;高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷级数212 1 常数项级数的概念和性质一、教学目的与要求:1理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。2理解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。二、重点(难点):级数收敛的定义及条件三、教学方式:讲授式教学结合多媒体讲授内

3、容:一、常数项级数的概念常数项无穷级数 一般地,给定一个数列 u1 u2 u3 un 则由这数列构成的表达式u1 u2 u3 un 叫做(常数项)无穷级数 简称(常数项 )级数 记为 即1nu 321nnuu其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项 级数的部分和 作级数 的前 n 项和1nunnis 321称为级数 的部分和 1nu级数敛散性定义 如果级数 的部分和数列 有极限 s 1nun即 snlim则称无穷级数 收敛 这时极限 s 叫做这级数的和 1nu高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷级数3并写成 321nnuus如果 没有极限 则称无穷级数 发散 ns1n余项 当级数 收敛时

4、其部分和 s n 是级数 的和 s 的近似值 它们之间的差值1nu1nurnssnun1un2 叫做级数 的余项 例 1 讨论等比级数(几何级数 )20 nnaqaq的敛散性 其中 a0 q 叫做级数的公比 解: 如果 q1 则部分和 qaqas nnnn 11 2当|q| 1 时 因为 所以此时级数 收敛 其和为 snlimn0qa1当|q|1 时 因为 所以此时级数 发散 nli naq0如果|q| 1 则当 q1 时 sn na 因此级数 发散 n0当 q1 时 级数 成为na0aaaa 时|q| 1 时 因为 sn 随着 n 为奇数或偶数而等于 a 或零 高等数学 B 教案 李惠 第十

5、二章 无穷级数4所以 sn 的极限不存在 从而这时级数 也发散 naq0综上所述 如果|q| 1 则级数 收敛 其和为 如果|q| 1 则级数 发散 n0a1naq0仅当|q| 1 时 几何级数 a0)收敛 其和为 nq0例 2 证明级数135 (2n-1) 是发散的 证 此级数的前 n 项部分和为 135 (21)()nsn显然 因此所给级数是发散的 lim例 3 判别无穷级数)1( 412n的收敛性 解 由于 1)(nun因此)( 4321sn11 )( n从而 )1(limlinsn所以这级数收敛 它的和是 1 提示 )(un二、收敛级数的基本性质高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷

6、级数5性质 1 如果级数 收敛于和 s 则它的各项同乘以一个常数 k 所得的级数 也收敛 且其1nu 1nku和为 ks 证明: 设 与 的部分和分别为 sn 与 n 则1nunk ) (limli2u ksuknnn lim) (lim21这表明级数 收敛 且和为 ks 1nku表明:级数的每一项同乘以一个不为零常数后,它的收敛性不会改变。性质 2 如果级数 、 分别收敛于和 s、 则级数 也收敛 且其和为 s 1nunv )(1nvu证明: 如果 、 、 的部分和分别为 sn、 n、 n 则1nn)(1nu )(limli 2n vvu) ( 121 nn snn)(li表明:两个收敛级数

7、可以逐项相加与逐项相减。性质 3 在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性 比如 级数 是收敛的 )1( 4312n加一项后级数 也是收敛的 1985 ()n减一项后级数 也是收敛的 )1( 413n性质 4 如果级数 收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛 且其和不变 1nu注意 如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定去括号后原来的级数也收敛 例如 级数高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷级数6(11)+(11) + 收敛于零 但级数 1111 却是发散的 推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 级数收敛的必要条件 性质 5 如果 收敛 则它的一般项 u

8、n 趋于零 即 1nu 0limnu证 : 设级数 的部分和为 sn 且 则1n snli 0lilim)(lilim10 sunn注意 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件 例如 调和级数1 321nn尽管它的一般项 ,但它是发散的 lim0n因为 假若级数 收敛且其和为 s sn 是它的部分和 1n显然有 及 于是 snli2li 0)(lim2n但另一方面 1 1 12 nsn故 矛盾 这矛盾说明级数 必定发散 0)(limn 1n高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷级数712 2 常数项级数的审敛法一、教学目的与要求:1掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。2掌握

9、交错级数的莱布尼茨定理,会估计交错级数的截断误差。3了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系二、重点(难点):判定正项级数的收敛与发散三、教学方式:讲授式教学结合多媒体讲授内容:一、正项级数及其审敛法定义:各项都是正数或零的级数称为正项级数,称为正项级数。正项级数是一类非常重要的级数,关于正项级数有列重要结论: 定理 1 正项级数 收敛的充分必要条件它的部分和数列s n有界 1nu证 设级数u1 u2 un 是一个正项级数。其部分和为 sn 显然 sn 是一个单调增加数列,若部分和数列 sn 有界 则根据单调有界数列必有极限的准则,可知级数 un 收敛;反之 若级数 u

10、n 收敛,则部分和数列 sn 有极限,根据有极限的数列是有界数列的性质可知s n有界 定理 2 (比较审敛法) 设 和 都是正项级数 且 unvn (n1 2 ) 若级数 收敛 则1nv 1nv级数 收敛 反之 若级数 发散 则级数 发散 1nu1nu1n证 设级数 收敛于和 则级数 的部分和1nv1nsnu1u2 unv1 v2 vn (n1, 2, ) 即部分和数列s n有界 由定理 1 知级数 收敛 1u反之 设级数 发散 则级数 必发散 1nu1nv高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷级数8因为若级数 收敛 由上已证明的结论 将有级数 也收敛 与假设矛盾1nv 1nu推论 设 和

11、都是正项级数 如果级数 收敛 且存在自然数 N 使当 nN 时有1nu1nvunkvn(k0)成立 则级数 收敛 如果级数 发散 且当 nN 时有 unkvn(k0)成立 则级1nu1n数 发散 1n例 1 讨论 p级数1 43121 ppn n的收敛性 其中常数 p0 解 设 p1 这时 而调和级数 发散 由比较审敛法知 n1n当 p1 时级数 发散 pn1设 p1 此时有(n2, 3, ) 1)(11 pnpnpndx对于级数 其部分和)(2n 11111 )()( 3 ppppp nns因为 )(limli n所以级数 收敛 从而根据比较审敛法的推论 1 可知 级数 当 p1 时1)(2

12、pn n1收敛 综上所述 p级数 当 p1 时收敛 当n1p1 时发散 高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷级数9提示 级数 的部分和为1)(2pnn 11111 )()( 3 pppp nns因为 )(limli pn所以级数 收敛 1)(2pnp级数的收敛性 p级数 当 p1 时收敛 当 p1 时发散 n1例 2 证明级数 是发散的 1)(n证 因为 1)()(2n而级数 是发散的 31n根据比较审敛法可知所给级数也是发散的 定理 3 (比较审敛法的极限形式 )设 和 都是正项级数 1nunv(1)如果 (0l) 且级数 收敛 则级数 收敛 vnlim1nv1nu(2)如果 且级数 发

13、散 则级数 发散 nnvului0li或 1n1n证明 由极限的定义可知 对 存在自然数 N 当 nN 时 有不等式l21 即 lvuln21nnlvu3再根据比较审敛法的推论 1 即得所要证的结论 高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷级数10例 3 判别级数 的收敛性 1tan解 因为 而级数 发散 t limn1n根据比较审敛法的极限形式 级数 发散 1tan例 4 判别级数 的收敛性 1(2)n解 因为 而级数 收敛 21 lim4n 21n根据比较审敛法的极限形式 级数 收敛 1()n定理 4 (比值审敛法 达朗贝尔判别法 )若正项级数 的后项与前项之比值的极限等于 1nu nu1

14、lim则 当 1 时级数收敛 当 1(或 )时级数发散 nu1lim当 1 时级数可能收敛也可能发散 例 5 证明级数 )1( 32 2n是收敛的 解 因为 0lim 1)(li limunnn根据比值审敛法可知所给级数收敛 例 6 判别级数 的收敛性 ! 032n解 因为 10li !1)(li li nun高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷级数11根据比值审敛法可知所给级数发散 例 7 判别级数 的收敛性 12()n解 1lim li()2)nnun这时 1 比值审敛法失效 必须用其它方法来判别级数的收敛性 因为 而级数 收敛 因此由比较审敛法可知所给级数收敛 2(2)n 21n定理

15、 5 (根值审敛法 柯西判别法 )设 是正项级数 如果它的一般项 un 的 n 次根的极限等于 1nu lim则当 1 时级数收敛 当 1(或 )时级数发散 nulim当 1 时级数可能收敛也可能发散 例 8 证明级数 是收敛的 1 32n并估计以级数的部分和 sn 近似代替和 s 所产生的误差 解 因为 0lim li li un所以根据根值审敛法可知所给级数收敛 以这级数的部分和 sn 近似代替和 s 所产生的误差为)3(1)2()1(| nnr n n)1(例 9 判定级数 的收敛性 12)(nn解 因为 21)(limli nu高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷级数12所以 根据

16、根值审敛法知所给级数收敛 定理 6 (极限审敛法) 设 为正项级数 1nu(1)如果 则级数 发散 )lim(0li nnul或 1nu(2)如果 p1 而 则级数 收敛 ip例 10 判定级数 的收敛性 12)ln(解 因为 故)l(2 1lim)ln(iim22nun根据极限审敛法 知所给级数收敛 例 11 判定级数 的收敛性)cos1(n解 因为 222323 1)(lim)(limli nnu根据极限审敛法 知所给级数收敛 二、交错级数及其审敛法交错级数 交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的 交错级数的一般形式为 或 其中 1)(nnu1()nu0n例如 是交错级数 但 不是交错

17、级数 )1(n cos)(1n定理 7(莱布尼茨定理) 如果交错级数 满足条件 1)(nnu(1)unun1 (n1 2 3 ) (2) 0limn则级数收敛 且其和 su1 其余项 rn 的绝对值|r n|un1 高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷级数13证明 设前 2n 项部分和为 s2n由 s2n(u1u2)(u3u4) (u2n 1u2n) 及s2nu1(u2u3)(u4u5) (u2n2u2n1)u2n 看出数列s 2n单调增加且有界(s 2nu1) 所以收敛 设 s2ns(n) 则也有 s2n1s2nu2n1s(n) 所以 sns(n) 从而级数是收敛的 且 snu1 因为

18、|rn|un1un2 也是收敛的交错级数 所以|r n|un1 例 12 证明级数 收敛 并估计和及余项 )(1n证 这是一个交错级数 因为此级数满足(1) (n1, 2, ) (2) 1nuu 01limlinun由莱布尼茨定理 级数是收敛的 且其和 su11 余项 1|nur三、绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛 若级数 收敛 则称级数 绝对收敛 1|n1n若级数 收敛 而级数 发散 则称级 条件收敛 1nu1|nu1nu例如 级数 是绝对收敛的 而级数 是条件收敛的 12)(n1)(n定理 8 如果级数 绝对收敛 则级数 必定收敛1nu1nu证明略 注意 如果级数 发散 我们不能断定

19、级数 也发散 1|nu1nu但是 如果我们用比值法或根值法判定级数 发散 1|n则我们可以断定级数 必定发散 1nu高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷级数14这是因为 此时|u n|不趋向于零 从而 un 也不趋向于零 因此级数 也是发散的 1nu例 13 判别级数 的收敛性 41sina解 因为| 而级数 是收敛的 4i|41n所以级数 也收敛 从而级数 绝对收敛 41si|na 41sina例 14 判别级数 的收敛性 12)()nn解 由 有 2(|u 12)(lim1|li enun可知 因此级数 发散 0limn12)(n 12 3 幂级数一、教学目的与要求:1理解函数项级数的

20、收敛性、收敛域及和函数的概念,了解函数项级数和函数的性质。2掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法,了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷级数153会利用幂级数的性质求和。 二、重点(难点):幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法三、教学方式:讲授式教学结合多媒体讲授内容:一、函数项级数的概念函数项级数 给定一个定义在区间 I 上的函数列:u1(x) , u2(x) ,u 3(x), u n(x) 由这函数列构成的表达式u1(x)u2(x)u3(x) un(x) 称为定义在区间 I 上的(函数项)级数 记为 1)(nx对于区间 I 内的一定点

21、x0 若常数项级数 收敛 则称0点 x0 是级数 的收敛点 若常数项级数 发散 则称1)(nu1)(nxu点 x0 是级数 的发散点。x函数项级数 的所有收敛点的全体称为它的收敛域1)(nu所有发散点的全体称为它的发散域 在收敛域上 函数项级数 的和是 x 的函数 s(x) 1)(ns(x)称为函数项级数 的和函数 并写成 xu1nuu n(x)是 的简便记法 以下不再重述 1)(n在收敛域上 函数项级数u n(x)的和是 x 的函数 s(x) s(x)称为函数项级数u n(x)的和函数 并写成 s(x)u n(x) 这函数的定义就是级数的收敛域。函数项级数u n(x)的前 n 项的部分和记作

22、 sn(x) 即sn(x) u1(x)u2(x)u3(x) un(x) 在收敛域上有 或 sn(x)s(x)(n) limsn函数项级数 的和函数 s(x)与部分和 sn(x)的差 rn (x)s(x)sn(x)1)(x高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷级数16叫做函数项级数 的余项 1)(nxu函数项级数u n(x)的余项记为 rn (x) 它是和函数 s(x)与部分和 sn(x)的差 rn (x)s(x)sn(x) 在收敛域上有 0limr二、幂级数及其收敛性幂级数 函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数 这种形式的级数称为幂级数 它的形式是a0a1xa2x2

23、anxn 其中常数 a0 a1 a2 an 叫做幂级数的系数 例如一下级数 1xx2x3 xn !注 幂级数的一般形式是a0a1(xx0)a2(xx0)2 an(xx0)n 经变换 txx0 就得 a0a1ta2t2 antn 幂级数1xx2x3 xn 可以看成是公比为 x 的几何级数 当| x|1 时它是收敛的 当|x|1 时 它是发散的 因此它的收敛域为(1 1) 在收敛域内有 32nx由此例可得:定理 1 (阿贝尔定理) 如果级数 当 xx0 (x00)时收敛 则适合不等式0na|x|x0|的一切 x 使这幂级数绝对收敛 反之 如果级数 当 xx0 时发散 na则适合不等式|x |x0|

24、的一切 x 使这幂级数发散 证 先设 x0 是幂级数 的收敛点 即级数 收敛 根据级数收敛的必要条件 na0n有 于是存在一个常数 M 使limna| anx0n |M(n0, 1, 2, ) 高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷级数17这样级数 的的一般项的绝对值0nxa nnxM| 00因为当|x| |x0|时 等比级数 收敛 所以级数 收敛 n|0|nxa也就是级数 绝对收敛 0na定理的第二部分可用反证法证明 倘若幂级数当 xx0 时发散而有一点 x1 适合|x 1|x0|使级数收敛 则根据本定理的第一部分 级数当 xx0 时应收敛 这与所设矛盾 定理得证 推论 如果级数 不是仅在

25、点 x0 一点收敛 也不是在整个数轴上都收敛 则必有一个完全0nxa确定的正数 R 存在 使得当|x| R 时 幂级数绝对收敛 当|x| R 时 幂级数发散 当 xR 与 xR 时 幂级数可能收敛也可能发散 收敛半径与收敛区间 正数 通常叫做幂级数 的收敛半径 开区间(R R)叫做幂级数0nxa的收敛区间 再由幂级数在 xR 处的收敛性就可以决定它的收敛域 幂级数 的0nxa 0nxa收敛域是( R, R)(或R , R)、(R, R 、R, R之一 规定 若幂级数 只在 x0 收敛 则规定收敛半径 R0 若幂级数 对一切 x 都收敛 0na 0na则规定收敛半径 R 这时收敛域为(, ) 关

26、于幂级数的收敛半径求法,有下列定理:定理 2 如果 其中 an、a n1 是幂级数 的相邻两项的系数 |lim1na0nxa则这幂级数的收敛半径 01 R简要证明 | |lim|li11xaxannn高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷级数18(1)如果 0 则只当 |x|1 时幂级数收敛 故 1R(2)如果 0 则幂级数总是收敛的 故 R (3)如果 则只当 x0 时幂级数收敛 故 R0 例 1 求幂级数 的收敛半径与收敛域 1)(nn解 因为 1lim |li nan所以收敛半径为 1R当 x1 时 幂级数成为 是收敛的 1)(n当 x1 时 幂级数成为 是发散的 因此 收敛域为( 1

27、, 1 例 2 求幂级数0!nx的收敛域 1 3!1nx解 因为 0)!1(lim !1)(li |lim 1nann所以收敛半径为 R 从而收敛域为(, ) 例 3 求幂级数 的收敛半径 0!nx解 因为 !)1(lim |li 1nan所以收敛半径为 R0 即级数仅在 x0 处收敛 例 4 求幂级数 的收敛半径 02!)(nnx解 级数缺少奇次幂的项 定理 2 不能应用 可根据比值审敛法来求收敛半径 幂级数的一般项记为 nnxu)!(高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷级数19因为 21|4|)(|limxun当 4|x|21 即 时级数收敛 当 4|x|21 即 时级数发散 所以收敛

28、半径为 | | 21R提示 22)(1 )()!(!() xnxnxun 例 5 求幂级数 的收敛域 1n解 令 tx1 上述级数变为 12nt因为 )( |lim an所以收敛半径 R2 当 t2 时 级数成为 此级数发散 当 t2 时 级数成为 此级数收敛 1n 1)(n因此级数 的收敛域为2t 2 因为2x12 即1x3 所以原级数的收敛域为1, 3) 三、幂级数的运算设幂级数a nxn 及b nxn 分别在区间(R, R)及( R, R)内收敛 则在( R, R)与( R, R)中较小的区间内有加法 a nxnb nxn (a nbn)xn 减法 a nxnb nxn (a nbn)x

29、n 乘法 a0b0(a0b1a1b0)x(a0b2a1b1a2b0)x2 (a0bna1bn1 anb0)xn )(0除法: 00nnnaxcb这里假定 。为了决定系数 ,可以0nc将 与 相乘,然后比较0nbx0nc高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷级数20与 的同次幂项系数得出。0nax关于幂级数,有以下的重要性质性质 1 幂级数 的和函数 s(x)在其收敛域 I 上连续 0nx如果幂级数在 xR (或 xR)也收敛 则和函数 s(x)在 (R, R(或 R, R)连续 性质 2 幂级数 的和函数 s(x)在其收敛域 I 上可积 并且有逐项积分公式0na(xI ) 0100()( n

30、nxx addds逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 性质 3 幂级数 的和函数 s(x)在其收敛区间(R R)内可导 并且有逐项求导公式0nxa(|x|R) 1)()nas逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 例 6 求幂级数 的和函数 01nx解 求得幂级数的收敛域为1 1) 设和函数为 s(x) 即 x1 1) 显然 s(0)1 0n在 的两边求导得01n xxxsnn1)()0对上式从 0 到 x 积分 得 )l(1)(ds高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷级数21于是 当 x 0 时 有 从而 )1ln()(xxs0 1 1|)ln()(xs因为 nn

31、 ds00)( )1l(xxdx 所以 当 x0 时 有 l)(s从而 0 1 1|ln)(xs提示 应用公式 即 )()(0Fdx xdF0)()( 132nx例 7 求级数 的和 01)(n解 考虑幂级数 此级数在1, 1) 上收敛 设其和nx函数为 s(x) 则 01)(n在例 6 中已得到 xs(x)ln(1x) 于是s(1) ln2 即 21ln)(s21ln)(0高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷级数2212 4 函数展开成幂级数一、教学目的与要求:1了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。2会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。二、重点(难点):

32、初等函数展成泰勒级数三、教学方式:讲授式教学结合多媒体讲授内容:一、泰勒级数问题 给定函数 f(x) 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数” 就是说 是否能找到这样一个幂级数 它在某区间内收敛 且其和恰好就是给定的函数 f(x) 如果能找到这样的幂级数 我们就说 函数 f(x)在该区间内能展开成幂级数 或简单地说函数 f(x)能展开成幂级数 而该级数在收敛区间内就表达了函数 f(x) 以前学过泰勒多项式 如果 f(x)在点 x0 的某邻域内具有各阶导数 则在该邻域内 f(x)近似等于)(!2)( 200 ffxf )(xRxnn其中 ( 介于 x 与 x0 之间) 10)1(!nfxR泰勒

33、级数 如果 f(x)在点 x0 的某邻域内具有各阶导数 f(x) f(x) f (n)(x) 则当 n时 f(x )在点 x0 的泰勒多项式nnfffp )(! )(!2) 0)(200 成为幂级数)(!3)(!)()( 30000 xfxfxfx )(!0)(nnxf这一幂级数称为函数 f(x)的泰勒级数 显然 当 xx0 时 f( x)的泰勒级数收敛于 f(x0) 但是 除了 xx0 外 f(x)的泰勒级数是否收敛 ? 如果收敛 它是否一定收敛于 f(x)? 对此,有以下定理:定理 设函数 f(x)在点 x0 的某一邻域 U(x0)内具有各阶导数 则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充

34、分必要条件是 f(x)的泰勒公式中的余项 Rn(x)当 n0 时的极限为零 即 ) limn证明 先证必要性 设 f(x)在 U(x0)内能展开为泰勒级数 即高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷级数23 )(!)(!2)()( 0)(2000 nnxfxfxfxf又设 sn1(x)是 f(x)的泰勒级数的前 n1 项的和 则在 U(x0)内 sn1(x) f(x)(n) 而 f(x)的 n 阶泰勒公式可写成 f(x)sn1(x)Rn(x) 于是 R n(x)f(x)sn1(x)0(n) 再证充分性 设 Rn(x)0(n)对一切 xU(x0)成立 因为 f(x)的 n 阶泰勒公式可写成 f(

35、x)sn1(x)R n(x) 于是 sn1(x)f(x)R n(x)f(x) 即 f(x)的泰勒级数在 U(x0)内收敛 并且收敛于 f(x) 在泰勒级数中取 x00 得 !0 !2)()(nfff此级数称为 f(x)的麦克劳林级数 展开式的唯一性 如果 f(x)能展开成 x 的幂级数 那么这种展式是唯一的 它一定与 f(x)的麦克劳林级数一致 这是因为 如果 f(x)在点 x00 的某邻域(R R)内能展开成 x 的幂级数 即f(x)a0a1xa2x2 anxn 那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导 有f (x)a12a2x3a3x2 nanxn1 f (x)2!a232a3x n(n1)

36、anxn2 f (x)3!a3 n(n1)(n2)anxn3 f (n)(x)n!an(n1)n(n1) 2an1x 于是得a0f(0) a1f (0) !)02f!)0(fn注意 如果 f(x)能展开成 x 的幂级数 那么这个幂级数就是 f(x)的麦克劳林级数 但是 反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点 x00 的某邻域内收敛 它却不一定收敛于 f(x) 因此 如果 f(x)在点 x00处具有各阶导数 则 f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来 但这个级数是否在某个区间内收敛 以及是否收敛于 f(x)却需要进一步考察 二、函数展开成幂级数展开步骤 第一步 求出 f (x)的各阶导数 f (x)

37、f (x) f (n)(x) 第二步 求函数及其各阶导数在 x0 处的值 f(0) f (0) f (0) f (n)( 0) 高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷级数24第三步 写出幂级数 !)0( !2)0()0( nxfxff并求出收敛半径 R 第四步 考察在区间(R R )内时是否 Rn(x)0(n) 1)(!lim(li nnfx是否为零 如果 Rn(x)0(n) 则 f(x)在( R R)内有展开式(RxR) !0!200)( nxfff例 1 将函数 f(x)ex 展开成 x 的幂级数 解 所给函数的各阶导数为 f (n)(x)ex(n1 2 ) 因此 f (n)(0)1(n

38、1 2 ) 于是得级数 !1 !2它的收敛半径 R 对于任何有限的数 x、 ( 介于 0 与 x 之间) 有 !1|)!1| (| |nen而 所以 从而有展开式|lim n |)(|lixR ) ! !2nxex例 2 将函数 f(x)sin x 展开成 x 的幂级数 解 因为 (n1 2 ) )sin所以 f (n)(0)顺序循环地取 0 1 0 1 (n0 1 2 3 ) 于是得级数 )!() !53xxn它的收敛半径为 R 对于任何有限的数 x、 ( 介于 0 与 x 之间) 有0 (n ) )!1(| )!1(2sin| )(| xn因此得展开式 )( )!2() !53sin xnxx高等数学 B 教案 李惠 第十二章 无穷级数25 )

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