1、课程设计任务书学生姓名： 潘少俊 专业班级：电子科学与技术 0701 班 指导教师：梁小宇 工作单位：信息工程学院 题 目: 连续时间信号的傅利叶变换及 MATLAB 实现 初始条件：MATLAB 软件，微机要求完成的主要任务: 利用 MATLAB 强大的图形处理功能，符号运算功能和数值计算功能，实现连续时间非周期信号频域分析的仿真波形；1、用 MATLAB 实现典型非周期信号的频域分析；2、用 MATLAB 实现信号的幅度调制；3、用 MATLAB 实现信号傅立叶变换性质的仿真波形；4、写出课程设计报告。时间安排：学习 MATLAB 语言的概况 第 1 天学习 MATLAB 语言的基本知识
2、第 2、3 天学习 MATLAB 语言的应用环境，调试命令，绘图能力 第 4、5 天课程设计 第 6-9 天答辩 第 10 天指导教师签名： 年 月 日系主任（或责任教师）签名： 年 月 日Matlab 应用实践课程设计- II目 录摘要IIABSTRACTII绪论II1傅里叶变换原理概述 11.1 傅里叶变换及逆变换的 MATLAB 实现 12 用 MATLAB实现典型非周期信号的频域分析22.1 指数信号时域波形图、频域图 22.2 直流信号时域波形图、频域图22.3 符号函数信号时域波形图、频域图32.4 单位阶跃信号时域波形图、频谱图32.5 单位冲激信号时域波形图、频域图42.6 门
3、函数信号时域波形图、频域图43 用 MATLAB实现信号的幅度调制63.1 实例 1 63.2 实例 2 84 实现傅里叶变换性质的波形仿真 104.1 尺度变换特性 104.2 时移特性 114.3 频移特性 134.4 时域卷积定理 14 4.5 对称性质 164.6 微分性质17心得体会20参考文献20附录21Matlab 应用实践课程设计- III摘要傅立叶变换是一种传统的信号处理方法,同时也是一种非常重要的信号处理方法.作为数字信号处理中的核心内容,在教学中引入 MATLB 软件,既为教师讲解提供了方便,又可以激发学生的学习兴趣,增强学习效果,提高对傅立叶变换的理解和应用能力.关键词
4、: MATLAB, 傅立叶变换, 数字信号处理ABSTRACTFourier transform is a traditional signal processing methods, but also a very important signal processing methods. As digital signal processing in the core content of the introduction of MATLB software in teaching, both for teachers on the provision of a convenient, ca
5、n also motivate students interest in learning, enhance learning, increase the understanding and application of Fourier transform capability.Keywords: MATLAB, Fourier transform, digital signal processingMatlab 应用实践课程设计- IV绪论在科学技术飞速发展的今天，计算机正扮演着愈来愈重要的角色。在进行科学研究与工程应用的过程中，科技人员往往会遇到大量繁重的数学运算和数值分析，传统的高级语言
6、 Basic、Fortran 及 C 语言等虽然能在一定程度上减轻计算量，但它们均用人员具有较强的编程能力和对算法有深入的研究。MATLAB 正是在这一应用要求背景下产生的数学类科技应用软件。MATLAB 是 matrix 和 laboratory 前三个字母的缩写，意思是“矩阵实验室”，是 Math Works 公司推出的数学类科技应用软件。MATLAB 具有以下基本功能：（1）数值计算功能；（2）符号计算功能；（3）图形处理及可视化功能；（3）可视化建模及动态仿真功能。本文介绍了如何利用 MATLAB 强大的图形处理功能、符号运算功能以及数值计算功能，实现连续时间系统频域分析。本次课程设计
7、介绍了用 MATLAB 实现典型非周期信号的频谱分析，用 MATLAB 实现信号的幅度调制以及用 MATLAB 实现信号傅里叶变换性质的仿真波形。Matlab 应用实践课程设计- 11 傅里叶变换原理概述信号 f (t) 的傅里叶变换定义为:值得注意的是， f (t)的傅里叶 变换存在的充分条件是 f (t)在无限区 间内绝对值可积，即 f (t)满足下式:|()|ftd但上式并非 f (t)存在的必要条件。当引入 f (t)的广义函数概念后，使一些不满足绝对可积的 f (t)也能进行傅里叶变换。傅里叶逆变换的定义是：()()jtftFjed1.1 傅里叶变换及逆变换的 MATLAB实现MAT
8、LAB 的Symbolic Math Toolbox 提供了能直接求解傅里叶变换及逆变换的函数Fourier()及Fourier()。1.1 Fourier 变换1. (1) F=Fourier(f)(2) F=Fourier(five)(3) F=Fourier(f,u,v)说明：(1) F=fourier(f)是符号函数 f 的 Fourier 变换，缺省返回是关于 的函数。如果 f=f() ,则 fourier 函数返回关于 t 的函数。(2)F=fourier(f,v)返回函数 F 是关于符号对象 v 的函数，而不是缺省的 ()()jtFjftedMatlab 应用实践课程设计- 2(
9、3)F=fourier(f,u,v)对关于 u 的函数 f 进行变换，返回函数 F 是关于 v 的函数。1.2 Fourier 逆变换(1) f=ifourier(F)(2) f=ifourier(F,u)(3) f=ifourier(F,v,u)2 用 MATLAB实现典型非周期信号的频域分析2.1指数信号时域波形图、频域图的时域波形图和频谱图如图 1、图 2 所示()()tfte图 1 指数信号波形图图 2.2 直流信号时域波形图、频域图直流信号 f（t）=A1 根据指标要求，画出频率采样序列的图形2 根据 的对称特点，可以使问题得以简化kH图 2 指数信号频谱图Matlab 应用实践课程
10、设计- 32.3 符号函数信号时域波形图、频域图2.4 单位阶跃信号时域波形图、频域图图 3 直流信号波形图 图 4 直流信号频谱图图 5 符号函数信号波形图 图 6 符号函数信号波形图Matlab 应用实践课程设计- 42.5 单位冲激信号时域波形图、频域图2.6 门函数信号时域波形图、频域图 图 7 单位阶跃信号波形图 图 8 单位阶跃信号频谱图图 9 单位冲激信号波形图图 10 单位冲激信号频谱图Matlab 应用实践课程设计- 5图 11 门函数信号波形及频谱图Matlab 应用实践课程设计- 63用 MATLAB实现信号的幅度调制设信号 f (t) 的频谱为 F( jw) ,现将 f
11、 (t) 乘以载波信号 cos (w0t) ，得到高频的已调信号y(t ) ，即：y(t ) = f (t) cos (w0t)f (t) 称为调制信号。实现信号调制的原理图如图（幅度调制原理图）从频域上看，已调制信号y(t ) 的频谱为原调制信号f (t) 的频谱搬移到0 w 处，幅度降为原F( jw) 的1/2，即上式即为调制定理，也是傅里叶变换性质中“频移特性”的一种特别情形。注意：这里采用的调制方法为抑制载波方式，即y(t ) 的频谱中不含有cos( ) 0w t 的频率分量。MATLAB 提供了专门的函数modulate（）用于实现信号的调制。调用格式为：y=modulate(x,F
12、c,Fs,method)y,t=modulate(x,Fc,Fs)其中，x 为被调信号，Fc 为载波频率，Fs 为信号x 的采样频率，method 为所采用的调制方式，若采用幅度调制、双边带调制、抑制载波调制，则method为am或amdsd-sc。其执行算法为y=x*cos(2*pi*Fc*t)其中y 为已调制信号，t 为函数计算时间间隔向量。下面举例说明如何调用函数modulate （）来实现信号的调制。例1：设信号f(t)=sin(100t),载波y(t)为频率为400Hz 的余弦信号。试用MATLAB 实现调幅信号y(t ) ，并观察 f (t) 的频谱和y(t ) 的频谱，以及两者在
13、频域上的关系。解：在下面的MATLAB 的实现的程序中，为了观察 f (t) 及y(t ) 的频谱，在这里介绍一个MATLAB 的“信号处理工具箱函数”中的估计信号的功率谱密度函数 psd(),其格式是：Matlab 应用实践课程设计- 7Px，f=psd(x，Nfft，Fs，window，noverlap，dflag)其中，x 是被调制信号（即本例中的f (t) ） ，Nfft 指定快速付氏变换FFT 的长度，Fs为对信号x 的采样频率。后面三个参数的意义涉及到信号处理的更深的知识，在此暂不介绍。用MATLAB 完成本例的程序如下：Fs=1000; %被调信号x的采样频率Fc=400; %载
14、波信号的载波频率N=1000; %FFT的长度n=0:N-2;t=n/Fs;x=sin(2*pi*50*t); %被调信号subplot(221)plot(t,x);xlabel(t(s);ylabel(x);title(被调信号);axis(0 0.1 -1 1)Nfft=1024;window=hamming(512);noverlap=256;dflag=none;Pxx,f=psd(x,Nfft,Fs,window,noverlap,dflag); subplot(222)plot(f,Pxx)xlabel(f(Hz);ylabel(功率谱 (X);title(被调信号的功率谱)gri
15、dy=modulate(x,Fc,Fs,am); %已调信号subplot(223)plot(t,y)xlabel(t(s);ylabel(y);axis(0 0.1 -1 1)title(已调信号)Pxx,f=psd(y,1024,Fs,window,noverlap,dflag);subplot(224)plot(f,Pxx)xlabel(f(Hz);ylabel(功率谱 (Y);title(已调信号的功率谱);grid上述程序的运行结果如图9.4 所示，其中左边上下两图为f ( t) 及y(t ) 信号，即时域波形，右边上下两图分别为对应f (t) 及y (t ) 的功率谱。由图可见，
16、f (t) 的功率频谱处在频域的频率f=400HZ 为中心的两侧、偏移值为50HZMatlab 应用实践课程设计- 8的双边带。显然，上述结果与信号与系统分析的理论结果完全一致。（被调信号、已调信号及其谱线）需要指出的是，一个信号的频谱与功率谱在数值上及定义上是有差别的，但两者的联系也是很密切的，其关系为：其中T 为信号的周期。本例中的主要目的是观察被调用信号f (t) 及已调用信号y(t ) 的谱线在频域上的位置变化及关系，验证调制定理，而在数值上的差别予以忽略。另外，一般“信号与系统”教材介绍的信号调制多为幅度、双边带且抑制载波调制方式，所以例9.5 也仅涉及这种方式。但是，函数modul
17、ate（）中的method 可设置多种调制方式以适合于具体的调制要求，有兴趣的读者可查阅相关资料，这里丛略。此外，也可以直接生成调制信号，并用MATLAB 编程求( ) 1 f t 的频谱。用下例说明。例2 设 ,试用MATLAB 画出f (t ) 、( ) 1 f t 的时域波形及其频谱，并观察傅里叶变换的频移特性。Matlab 应用实践课程设计- 9解：实现该过程的MATLAB 命令程序如下：R=0.005;t=-1.2:R:1.2;f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1);f1=f.*cos(10*pi*t); %已调信号subplot(221)plot(t,f)x
18、label(t);ylabel(f(t);subplot(222);plot(t,f1);xlabel(t);ylabel(f1(t)=f(t)*cos(10*pi*t);W1=40;N=1000;k=-N:N;W=k*W1/N;F=f*exp(-j*t*W)*R; 求F(jw)F=real(F);F1=f1*exp(-j*t*W)*R; 求F1(jw)F1=real(F1);subplot(223);plot(W,F);xlabel(w);ylabel(F(jw);subplot(224);plot(W,F1);xlabel(w);ylabel(F1(jw);程序运行结果如图所示。由图5可见
19、， f1( t) 的频谱F1( jw) 即是将f ( t) 的频谱F( jw) 搬移到10处，且幅度为F( jw) 的幅度的一半。Matlab 应用实践课程设计- 10图 原信号f ( t) 、调制信号f1( t) 的波形及其频谱F ( jw) 、F1( jw)4用 MATLAB实现信号傅立叶变换性质的仿真波形4.1 傅里叶变换的尺度变换特性若f (t) F( jw) ，则傅里叶变换的尺度变换特性为：下面举例说明傅里叶变换的尺度特性。例1: 设 ，即门宽为=2 的门信号，用MATLAB 求的频谱Y ( jw) ，并与f (t) 的频谱F( jw) 进行比较。解：本题中，y(t ) 信号相当于原
20、信号 f (t) 在时域上压缩一倍，即 y(t ) = f (2t) ，a = 2 ，按式，Y ( jw) 的频域宽度应是 F( jw) 的两倍，而幅度下降为 F( jw) 的一半。f (t)的频谱 F( jw) 已在例 9.4 中给出。在该例的 MATLAB 程序中，将信号改为：f = Heaviside（2*t+1）- Heaviside（2*t-1）,其他语句不变。这样形成的程序即为本例的 MATLAB 程序。程序运行的结果如图 3.1 所示。为便于观察比较，请读者将 3.1 与对比起来看，显然，Y ( jw) 将 F( jw) 展宽了一倍，而幅度降为 F( jw) 的幅度的一半。4.1
21、 傅立叶变换的尺度变换的例Matlab 应用实践课程设计- 114.2 傅里叶变换的时移特性若f (t) F( jw) ，则傅里叶变换的时移特性为：下面举例说明傅里叶变换的时移特性。例2： 设 ,试用MATLAB 绘出f (t) 及其频谱（幅度谱及相位谱）。解：程序为下列命令文件。r=0.02;t=-5:r:5;N=200;W=2*pi*1;k=-N:N;w=k*W/N;f1=1/2*exp(-2*t).*Heaviside(t); F=r*f1*exp(-j*t*w); F1=abs(F); P1=angle(F); subplot(311);plot(t,f1);grid;xlabel(t
22、);ylabel(f(t);title(f(t);subplot(312);plot(w,F1);xlabel(w);grid;ylabel(F(jw);subplot(313);Plot(w,P1*180/pi);grid;xlabel(w);ylabel(P(度);程序运行结果如图4.2所示。Matlab 应用实践课程设计- 12图4.2 f(t)及其幅频特性与相频特性例3：设 ，求用MATLAB 绘出信号f (t) 及其频谱，观察信号时移对信号频谱的影响。解：MATLAB 实现的程序为下列命令文件。r=0.02;t=-2:r:2;N=200;W=2*pi*1;k=-N:N;w=k*W/N
23、;f1=1/2*exp(-2*(t-0.3).*Heaviside(t-0.3); F=r*f1*exp(-j*t*w); F1=abs(F);P1=angle(F); subplot(311);plot(t,f1);grid;xlabel(t);ylabel(f(t);title(f(t);subplot(312);plot(w,F1);grid;xlabel(w);ylabel(幅度);subplot(313);plot(w,P1*180/pi);grid;xlabel(w);ylabel(相位(度);程序运行结果如图4.3所示。由图可见，与例4.3的图4.4相比，可知当时域波形右移后幅度
24、谱不变，相位增加- 0.3w 。Matlab 应用实践课程设计- 13图4.3 f (t) 及其幅频特性与相频特性4.3 傅里叶变换的频移特性若f (t) F( jw) ，则傅里叶变换的频移特性为：例4:设f (t) = e (t +1) - e (t - 1) ，试用MATLAB 绘出的频谱F 1( jw) 及F 2 ( jw) ， 并与f (t) 的频谱F( jw) 进行比较。解：用MATLAB 实现的程序如下:R=0.02;t=-2:R:2;f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1);f1=f.*exp(-j*20*t);f2=f.*exp(j*20*t);W1=2*
25、pi*5;N=500;k=-N:N;W=k*W1/N;F1=f1*exp(-j*t*W)*R; %求f1(t)的傅里叶变换F1(j)F2=f2*exp(-j*t*W)*R; %求f2(t)的傅里叶变换F2(j)F1=real(F1);F2=real(F2);subplot(121);plot(W,F1);Matlab 应用实践课程设计- 14xlabel(w);ylabel(F1(jw);title(F(w)左移到w=20处的频谱F1(jw);subplot(122);plot(W,F2);xlabel(w);ylabel(F2(jw);title(F(w)右移到w=20处的频谱F2(jw);
26、图4.4 傅里叶变换的频移特性的例子由图4.4可见，对比的结果可知 F(jw) 及) F2 ( jw) 是将F( jw) 分别搬移到w = -20及w = 20 处的频谱。4.4 傅里叶变换的时域卷积定理变换的时域卷积定理如下：若信号f1( t) , f2( t) 的傅里叶变换分别为, F 1( jw) F2( jw) ，则：f1( t) f2( t) F1( jw) F2 (jw) 例5：设f ( t) e (t 1) e (t 1), y(t ) f (t) * f (t )试用MATLAB 给出f(t)、y(t)、F(j)、F(j)?F(j)及Y（j)的图形，验证式（9-13）的时域卷积
27、定理。解：MATLAB程序如下：R=0.05;t=-2:R:2;f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1); subplot(321)plot(t,f)xlabel(t);ylabel(f(t);Matlab 应用实践课程设计- 15y=R*conv(f,f); n=-4:R:4; subplot(322);plot(n,y);xlabel(t);ylabel(y(t)=f(t)*f(t);axis(-3 3 -1 3);W1=2*pi*5;N=200;k=-N:N;W=k*W1/N;F=f*exp(-j*t*W)*R; F=real(F);Y=y*exp(-j*n*W)*
28、R; Y=real(Y);F1=F.*F %求F(j)F(j)subplot(323);plot(W,F);xlabel(w);ylabel(F(jw);subplot(324);plot(W,F1);xlabel(w);ylabel(F(jw).F(jw);axis(-20 20 0 4);subplot(325);plot(W,Y);xlabel(w);ylabel(Y(jw);axis(-20 20 0 4);f (t), y(t ),F( jw) ，F(j)F(j)及Y（j ）的图形如图3.5所示。图4.5 时域卷积定理示例Matlab 应用实践课程设计- 16由图3.5可见，Y（j）
29、与F(j)F(j)的图形一致，而y(t)的波形正是我们熟知的t)*f(t)的波形，Y（j）也是熟知的y(t)的付氏变换，从而验证时域卷积定理。4.5 傅里叶变换的对称性傅里叶变换的对称性为:若： f (t) F( jw) ，则：F( jt) 2pf (-w) 下面举例说明付里叶变换的对称性。例6: 设f (t ) = Sa(t ), 已知信号f (t) 的傅里叶变换为： 用MATLAB 求f2( t) pg（ t） 的傅里叶变换F1 (jw) , 并验证对称性。解：MATLAB程序为：r=0.01;t=-15:r:15;f=sin(t)./t;f1=pi*(Heaviside(t+1)-Hea
30、viside(t-1);N=500;W=5*pi*1;k=-N:N;w=k*W/N;F=r*sinc(t/pi)*exp(-j*t*w);F1=r*f1*exp(-j*t*w);subplot(221);plot(t,f);xlabel(t);ylabel(f(t);subplot(222);plot(w,F);axis(-2 2 -1 4);xlabel(w);ylabel(F(w);subplot(223);plot(t,f1);axis(-2 2 -1 4);xlabel(t);ylabel(f1(t);subplot(224);plot(w,F1);axis(-20 20 -3 7);
31、xlabel(w);ylabel(F1(w);程序运行结果如图4.6所示。Matlab 应用实践课程设计- 17图4.6 傅里叶变换对称性实例由图可见，f ( t ) Sa(t ) 的傅里叶变换为的傅里叶变换为考虑到Sa(w) 是w 的偶函数，因此我们有： Fjt2pf (w) ，即验证了傅里叶变换的对称性。4.6 傅里叶变换的时域微分特性傅里叶变换的时域微分特性为：若f (t)Fjw ，则:下面举例说明傅里叶变换的一阶微分特性。例7: 已知f (t) 的波形如图9.13 所示，试用MATLAB 求f (t) 及df (t)/ dt的傅里叶变换，F(jw) 及F1jw，并验证时域微分特性。图4
32、.7 f(t)的波形解：在MATLAB中，有专门的三角波形生成函数sawtooth()，其格式为：f = sawtooth(t, width)其中width(0width1的标量) 用于确定最大值的位置，即当 t从0到2 width变化时，f从-1上升到+1，然后当t从2 width至2时f(t)又线性地从+1下降到-1，周而复始。当width=0.5时，可产生一对称的标准三角波。利用此三角波与一门信号g2(t) 相乘，再Matlab 应用实践课程设计- 18进行必要的幅度调整（乘系数2/ ），并时移（左移 ）可得到f(t)：又设f 1 ( t) = df( t)/dt，其波形为：f1( t)
33、 可用阶跃函数Heaviside()生成：即验证：r=0.01;t=-5:r:5;f1=Heaviside(t+pi)-Heaviside(t-pi);f2=Heaviside(t+pi)-2*Heaviside(t)+Heaviside(t-pi);f=pi/2*(sawtooth(t+pi,0.5)+1).*f1;w1=2*pi*5;N=200;k=-N:N;w=k*w1/N;F=r*f*exp(-j*t*w);F2=r*f2*exp(-j*t*w)F3=F2./(j*w);subplot(411);plot(t,f2);set(gca,box,off)xlabel(t);ylabel(f
34、2(t);subplot(412);plot(t,f);set(gca,box,off)xlabel(t);ylabel(f(t);subplot(413);plot(w,F);set(gca,box,off)xlabel(w);ylabel(F(jw);Matlab 应用实践课程设计- 19subplot(414);plot(w,F3);set(gca,box,off)xlabel(w);ylabel(F3(jw);程序运行结果如图4.8所示。结果表明，F( jw) 与 一致图4.8 时域微分特性的例子从而验证了时域微分特性。Matlab 应用实践课程设计- 20心得体会在本次课程设计中，我
35、学会了很多，例如会强迫自己动手，整合思路，查找资料，为己所用。平时所学的理论知识只是基础，真正应用软件做设计的时候才能知道自己的局限性。一味停留在老师的教学中自己能做的实在是少之又少。老师只是在较高的层次上为自己的学习指明道路，为数字信号处理的整体概念指出思路。至于具体的某个程序要怎么编写，某个新后要怎么处理，不可能手把手的交给自己。所以就应该学会利用资料，首先就是互联网，然后是图书馆。由于本次课设的时间限制，最合理的资料应该是互联网，快速，方便。搜集到资料以后不能照抄，应该仔细阅读，读懂，然后根据自己的要求改变参数。总之，只有知道怎么自己学习，才能知道怎么自己动手。还有就是，在具体的方面，我
36、的收获是了解了 MATLAB 这个软件，熟悉了MATLAB 在数字信号处理过程中的应用，并能正确地运用它对语音信号进行采样、设计滤波器、分析频谱特性等。能将之前所学的理论知识和这次的设计及仿真结合起来，掌握了滤波器的设计和正确使用，加深了对数字信号处理的理解。比如之前对时域，频域，FFT 等概念只是有了抽象上的了解，并没有很深刻的掌握，通过这次的反复利用，加深了理解和印象。对于 FIR 并不知道各种滤波器到底怎么用，到底有什么不同，这次设计把这些滤波器全都利用了一遍，实在是获益匪浅。参考文献1、MATLAB 及在电子信息课程中的应用，陈怀琛主编，电子工业出版社，2003.07（第二版）2、信号与系统分析及 MATLAB 实现，梁虹编，电子工业出版社， 2002.02参考书3、MATLAB6.X 信号处理，邹鲲等编，清华大学出版，2002.05（第一版）4、精通 MATLAB6.5 版，张志涌编，北京航空航天大学出版社， 2003.03（第一版）5、MATLAB M 语言高级编程，陈永春编，清华大学出版社，2004.01（第一版）6、MATLAB 程序设计，阮沈勇、王永利等编，电子工业出版社， 2004.01（第一版）Matlab 应用实践课程设计- 21附录MATLAB 常用函数表Matlab 应用实践课程设计- 22
