1、1本学期高等数学的考试范围是：第五章定积分的应用，第六章至第十一章.内容为：空间解析几何与向量代数，多元函数的微积分，曲线积分，微积分的应用 级数理论及常微分方程的解法我们用了 90 课时，讲了尽可能多的知识，保证了后继课程学习中对数学知识的需要，及将来考研同学对高数的知识点范围对教学工作仍坚持一丝不苟、认真负责的态度，讲好每节课，对大题量的作业做到每周全收、认真批阅一次，耐心解答同学提出的问题对同学的学习坚持从严要求，强调做好听课、记笔记、独立完成作业三个教学环节逐步培养同学掌握学习数学课的方法：多动脑勤动手，数学书不是光靠看，还要动手演算才能理解深刻，记忆牢固考试题型为：一.选择题（每小题
2、 3 分，共 15 分）二.填空题（每小题 3 分，共 15 分）三.计算题（8 小题，共 40 分）四.应用题（2 小题，共 16 分）五.证明题（2 小题，共 14 分）下面分章复习所学知识第五章 定积分的应用定积分在几何上的应用：求平面图形的面积（1） 直角坐标情形：由平面曲线 (),()()yfxgfx所围图形的面积为,()xab().aAfxgd（2）极坐标情形：由曲线 及射线 所围成()r,()的曲边扇形的面积为21().Ard例 （填空题）由曲线 及直线 围成的平面图形的面积 .xy10,2yxy2第六章 向量代数与空间解析几何（一）向量代数1.空间两点 与 的距离公式1(,)A
3、xyz2(,)Bxyz2211d2.非零向量 的方向余弦公式23,a31222 223131cos,cos,cosaa3.向量的运算设 ，则123123,ab123123,ijkaab两非零向量垂直、平行的充要条件12331200/abaabb4.向量 在非零向量 上的投影123,123,3221Prcos,bb abajab （二）平面与直线1.平面方程（1）一般式： 0;AxByCzD（2）点法式： 00()()();z（3）截距式： 1;zabc（4）三点式：1212123330.xyz2.直线方程3（1）对称式（点向式、标准式）： 000;xyzmnp（2）一般式： 1122;AxBy
4、CzD（3）参数式：0,;tyntzpt（4）两点式： 111222.xyz3.平面 与直线 平行、垂直的充要条件及夹角()()l（1） ;1212120()/ABC(2) ；121212/lmnp（3） ；11111()/ 0lABCmnp（4） 与 的夹角：1()212122cosABC(5) 与 的夹角：1l21212cosmnp（6） 与 的夹角：1()l112221sinAnBpCm4.距离设点 ，平面00(,)Mxyz():0xyzD4直线 111:xyzlmnp（1）点到平面的距离公式： 0022;ABCDd(2) 点到直线的距离公式： ，01Ml其中 ， 是直线上任一01010
5、,Mxyz1,lmnp点（三）曲面与空间曲线记住一些常见的曲面的方程（1）旋转曲面园锥面： ，旋转抛物面： ，旋转椭球面：2zxy2zxy22.xyac（2）柱面圆柱面： 椭圆柱面： ，22,xyR21xyab抛物柱面： ，双曲柱面：20p2.（3）二次曲面球面： 222()()();xaybzcR椭球面： ；221,0a椭球抛物面： 同号） ；,(xyzpqg双曲抛物面： 同号） ；2,(单叶双曲面： ；221,(0)xyzabcab双叶双曲面： 22,()5本章的考点：仅是一些简单的填空题或选择题例 1.设三角形 ，已知 为 的中点，则ABC2,ijBCijkDBC上 的中线长BCD10/
6、例 2. 1.两向量 与 互相垂直的充要条件是 .ab0ab2.向量 平行，则 1 .13(2),()ijijk3.求同时垂直于向量 的单位向量是 .3,1,20c解 ，2312,0ijkcab单位化 .022,1,61()c例 .（选择题）过点 且平行于平面 的平面是（ 3,3553210xyzC）.5210;Axyz. ;B3C53210.Dxyz例 4.（选择题）在空间直角坐标系下，方程 的图形是（ D）过原点的一条直线； 斜率为 的一条直线；.A.B35垂直于 轴的一平面； 过 轴的一平面 .CzDz例 5.（选择题）方程 在空间表示的图形是（ ）231xy平行于 坐标面的平面； 平行
7、于 轴的平面；.XOY.过 轴的平面； 直线oz例 6.（选择题）方程 在空间表示的是（ ）2xyB抛物线； 抛物柱面；.A.母线平行于 轴的柱面； 旋转抛物面 .CD例 7. (选择题) 下列平面方程中（ ）过 轴：Cy； ；.1xyz.0xz； 01.6例 8. 曲线 在 平面上的投影方程为：21zxyXOY210xyz第七章 多元函数微分法及其应用（一）基本概念1.二元函数：定义域和对应规律为 的两要素，其定义域为平面(,)zfxy上的点集例 9 (填空题) 二元函数 的定义域是ln1xyz0,(,)1xyD或二元函数 的定义域为2ln()xyz2(,)1,Dxyxy2.极限：函数 的极
8、限为 ，是指点 以任何方式沿某路径趋,fA,于点时， ，记为0(,)xy(,)fxy0lim(,)xyf例 10. 证明：极限 不存在20li()xy证明 如果动点 沿 趋于点 时，则(,)P(0,)2400limlim1;()x xyy如果动点 沿 趋于点 时，则,2(,0)242002lili()x xyy因沿不同路径，极限值不一，故原极限不存在.3.连续：函数 在点 连续，必须同时满足三个条件，缺一(,)zf0(,)y不可：（1）在 内有定义；（ 2） 存在；（3）0(,)Uxy0lim(,)xyf7.00lim(,)(,)xyffxy否则间断例 11.（选择题）设 ，下面结论正确的是（
9、 ）21xyzD在 平面上连续；.AXOY在 平面上不连续；B在 平面上只有 为间断点；.C(,0)1在 平面上，只有在区域 内，函数连续 .D2xy例 12 (选择题 ) 函数 在点 处（ 2,()0,(,)0fxyxy(,0)C）连续； 有极限但不连续；.A.B极限不存在； 无定义.CD（二）偏导数1.定义与计算偏导数 是整体记号，不具有商的意义，求 时，把 中的,zxy zx(,)fxy固定 （看作常数） ，利用一元函数的求导公式和法则求y出记住：偏导函数 与一点的偏导数 记号不同，及它们之zx00(,)xxyzf间的关系例 13.（填空题）设 ，则 2(,)fy(3,4)xf252.高
10、阶偏导数（以二阶为主）：2(,)();xzfyx2(,)();yzfy2(,)();xy zfy2(,)().yx zfx（注意：二阶混合偏导数在定义域 内连续时，相等）D（三）全微分81.定义与计算：若函数 在点 的全改变量（全增量）可表(,)zfxy0(,)y为，其中 不依赖于 ，仅与 有关，()zAxBy,AB,x0(,)xy，则全增量的线性主要部分为为函数的全微分，记22()作.zdzAxBydxy例 14.（选择题）函数 由方程 所确定，则 （ (,)ln()0zxydz）.;dxyA.;dBxy.;CzxD例 15. 函数 在点 处的全微分为： .2ln()uyz(1,0)例 16
11、. 求 的全微分及二阶偏导数.2xyze解 22,xyxyze22;xyxydzed2 222(1),4xy xyze22,(1).xyze2.二元函数在一点连续、可导（两个偏导数存在）与可微的关系偏导数连续 可微 ，反之不一定成立.可 导极 限 存 在例 17.（选择题）二元函数 在点 处（ ）2zxy(0,)C不连续，两个偏导数不存在；.A不连续，两个偏导数存在；B连续，两个偏导数不存在；C连续，两个偏导数存在.D例 18.（填空题） 连续是 可微的 条件.(,),xyff(,)zfxy充 分9例 19. 证明题：证明函数 在 点处两个偏22,0(,)0xyf(,)导数存在，但不连续.（用
12、定义求偏导数，取两条路径如极限不一则不连续）3.方向导数与梯度（不做考试要求）（1）方向导数函数在特定方向（指定方向）上的变化率：，其中 为射线 与 轴正向cosscosfffxyzl ,l,xyz夹角（2）梯度不同点的方向导数不同，它在哪个方向上最大呢？函数 在点 处的梯度为：(,)ufxyz(,)xyz, .ffgradfijk例 20.（填空题）函数 在点 处沿方向 的2uxyz(1,2)1,2l方向导数是 .（四）多元复合函数的导数1.锁链法则先画出链式图，写出公式，然后计算.，则有锁链公式：(,)(,)(,)zfuvxyvzzvyuy2.几种推广情形（1）若 ，而 ，则有锁链(,)z
13、fvw(,)(,)(,)xvywxy公式：uzxzvyyw（2）若 而 ，则有锁链公式：(,)fux(,)ux10zfuxxfyy注意：这里 与 不同， 是把复合后的函数，将 看作常数，对zxfzxy求偏导；而x是把复合前的函数，将 看作常数对 求偏导f,uyx（3）设 ，而 ，则复合函数只有一(,)ufxyzt(),()xttzt个自变量， 求导 ，称为全导数.tdtzuxyudztttt何时用锁链法则：函数关系不具体；中间变量多于一个.例 21.（选择题）设 ，则2(,)()fxyxyxy（ ）.()fxyC.2;A.2;BxyCxy.D例 22. 求 2sin()1,yze2,.zxy例
14、 23.设 ，求arct()zu,.uz解 由锁链法则 121();()zzxyx12();()zzuy21()ln.()zzxyz11例 24.设二元函数 ，其中 是二阶可微函数，求(,)xzyff ,.xyz解 设 ，则1,2xyuv12;xzf12;yxzffy122213 2()()yxfffy21122243.xxffffy例 25.设 ，求(5,)ufyz2.ux解 ； 12xf2121.fyzfyzf（五）隐函数微分法：（只讨论一个方程的情形）1. 方程两边对自变量求导（复合函数的锁链法则） ，解出所求的偏导数（是 的函数）.,x2.公式法： ， zFx.yzF3.微分法：利用一
15、阶全微分形式的不变性，对方程两边求全微分，即可求出所需的偏导数或导数例 26.（填空题）由方程 确定 ，则 .21xyz(,)zxyz124xyz例 27.设 求ln,xzy,.解 由隐函数微分法 设 (,)lnlnxzFyzyy因为 2211,xyzFzz所以 2xzxz221.()yzFzxy12例 28. 设 是由方程 所确定的隐函数，求(,)zxy224xyez.dz例 29.设 ，证明：2sin33z1xzy证明设 ，则(,)si(2)2Fxyxyzxy, 2co31xs()yyzxFc(3zFx , 13xxzF23yxzF故 2.yxzxy（六）微分法在几何上的应用（不做考试要求
16、）1.空间曲线的切线与法平面设空间曲线 的参数方程 ，则 在点(),(),xtytzt处的0(,)xyz切线方程为： 000()()xyzttt法平面方程为： 000()ytz2.空间曲线的切平面与法线隐函数的曲面方程： ，(,)Fxyz显函数的曲面方程： ， f（七）多元函数的极值及其求法1.极值的必要条件：见教材 定理 1（极值发生在可疑点，即驻点或偏.264P导数不存在的点上.2.极值的充分条件：设 为为函数 的驻点，0(,)xy(,)zfxy,则下结论000222,xxxyyyzzABC（1） 有极小值， 有极大值；2,BCA13（2） ，无极值；20BAC（3） ,不定，另作讨论.例
17、 30.（选择题）下列说法中，正确的是（ ）可微函数 在 达到极值，则必有(,)fxy0,)00(,)(,);xyffx二元函数 在 达到极值，则必有.B(,)fxy0,)00(,)(,);xyffx可微函数 在 有.C(,)fxy0,)00(,)(,);xyffx二元函数 在 的偏导数不存在，则必不存在极值.D例 31 求函数 的极值.224(3)zxy解 ，得驻点80()xyz(0,)又 ，22333(0,)(0,)(0,)22xyxyBACzz8()640故函数在 处无极值.(,)3.用 乘子法求条件极值的应用题Lagrne解题步骤：（1）将实际问题化为二元或三元函数的条件极值问题；（2
18、）作辅助函数 原函数+ 乘条件函数；(,)Fxyz（3）将辅助函数对 分别求偏导数，得方程组；（4）解方程组，得唯一驻点（5）答：根据实际问题的意义，知此唯一驻点即极值点，也是最值点，并求出最值例 32 应用题：造一个容积为 的长方体盒子，如何设计，才能使所用V材料最少？解 设盒长为 ，宽为 则高为 ，故表面积为： ，xyx2()VSxy14于是，将问题化为求二元函数的最大值问题，解得唯一驻点 ，2(0)SVyx3(,)V根据实际问题的意义，此唯一驻点即为极大值点，也是最大值点，答：当盒子的长宽高都是 ，即正方体时，所用材料最少.3V例 33. 应用题：利用 乘子法求椭圆抛物面 到平面Lagr
19、ne2zxy的最短距离.23xyz第八章 重 积 分（一）重积分的概念1.定义：二重积分表示一种类型的和式极限；三重积分表示另一种类型的和式极限.2.几何与物理意义二重积分表示曲顶柱体的体积，平面薄板的质量；三重积分表示空间物体的质量（无几何意义） 3.性质与定积分类似性质 3：如果在定义域 上，函数 ， 为 的面积，则D(,)1fxyD1d（二）二重积分的计算1.直角坐标系下二重积分的计算步骤：面积元素 dxy先通过解方程组曲线交点的坐标，然后画出积分域的草图；如是 形积分域，将其化为先对 后对 的积分次序积出来xyx形积分域，将其化为先对 后对 的积分次序积出来.y注 利用“穿口法”的定限
20、口诀是：后积先定限，限内画条线；先交下限写，后交上限见.2.极坐标系下二重积分的计算何时采用极坐标：（）积分域是园形或环形；（）被积函数包含 .2xy记住极坐标变换： 面积元素： ， cosxrdriny15然后将积分化为先对 ，后对 的次序积出来；r积分限如下定：（）若极点 在域 内，则OD2()0(,)cos,in);rDfxydfrd（）若极点 在域 的边界上，则()0(,)cs,i);rDfxyfr（）若极点 在域 的外部，则O21()(,)cos,in).rDfxydfrd例 34.（选择题）设 是连续函数，交换二重积分,f的的积分次序后的结果为（ ）1203ydx C.;Ad120
21、.3;yBdxy210xCy .D例 35. 交换积分次序： .2 2121()0(,),x xofyfyd例 36.(选择题)设域 ，且 ，则 （ :0,D）B120.;Adxy 210.;xBdyC221.yDd例 37.计算二重积分 ，其中 是由直线 及2yxe ,1yx轴所围 y的平面区域解 画出积分区域草图，这是 型积分域，故选取先对 后对 的积yxy分次序，得 22100yyDxedexd221113000()6ytt te令16102().66ttede分 部 法例 38.求二重积分 ，其中 是顶点分别为cosDxydD和 的三角形区域 .(0,)(,)例 39.计算 ，其中 由
22、 围成Dydx 2,yx解 将 改写为： ，则21，所以(,)1,0xyxy原式 1010()ydyd 54d2sin220 4(1sin).815yt tt 令例 40.计算 ，2DRxd其中 是由圆周 所围成的闭区域2y解 根据积分域和被积函数的特点，选用极坐标计算cos22220RDRxdrd33320 4(sin)().例 41.求二重积分 ，其中2()xyDed 22:0,.Dxyxa解 选用极坐标计算2 2 2 2()20 01()(1).4aaxyr r aDedeede例 42.应用题：求在 平面上由 与 所围成区域的面XOY2yx2x积.例 43. 是由曲线 以及 所围成的图
23、形，试求 的24()yx4D面积.（以上两题，利用二重积分的几何意义，取被积函数 ，计算(,)1fxy17二重积分即得所谓区域的面积）例 44.（填空题）设空间一光滑曲面 ： 是 在坐标面S(,)zfxyDS上的投影，则 的面积 XOYD1Dd例 45.利用极坐标计算二重积分 ，2ln()xyd其中 2:1,0.xyy解 由于极点在 的边界上，故原式 12 220ln()ln()Drdrrdr 1220l()分 部 法 1220()ln(2ln1).44rrd解 22446().3yDySdxydx（三）三重积分的计算（只做简单的计算）1.直角坐标系下的计算体积元素： dvxyz， （这是上下
24、张着的曲面， 型的投影域）12(,)(,):zyaxb x则2211()(,)(,) ,);byxzxyafyzdvdfzd2.柱坐标系（极坐标 轴）下的计算体积元素： rz，(这是上下张着的曲面，极点在投影域外12(,),):z部)则2211()(,)(,) cos,in);rzrfxyzdvdfrdz 183.球坐标系下的计算体积元素： 2sindvrd， ，则sincoxryz12(,)(,):rr2211()(,) 2(,) sinco,sin,cos)inrfxyzdvdfrrdr 例 46.在柱坐标中， （常数）表示的曲面是： .az过 轴 的 半 平 面例 47.(填空题)设一立
25、体由上半球面 及锥面24zxy所围成，则其在 平面上的投影为： .23zxyXOY21y例 48.（选择题） ，其中 是由锥面 ，平面2()xydv2zx所围成的闭区域，则它在柱坐标系下的三次积分是（ ）(0)za D20.;arAdz 220.;arBddz0Cd .rD例 49（选择题）设区域 ，且 是连续函22(,)(1)xyzz()ft数，则（ ）22()fxyzdvA；cos200.(inAfrdr；22s 2cos1)iBd r；cos00.(Cfr22cs2. )sin.Dddr例 50. 求曲面 与 所围成立体的体积体积.yxzyxz解 在柱坐标系下，将被积函数 ，则所围立体的
26、体积为：(,)1fz2201.6rVdvrdzd19第九章 曲线积分与曲面积分（曲面积分不做考试要求）（一）曲线积分1.第型曲线积分（对弧长的积分）2.第型曲线积分（对坐标的积分）3.两类积分之间的联系.4.计算方法（1）设曲线 由它的的参数方程： 给出L(),xty(特例) )，则,()axb22(,)(), ,);Lfxydsftttd（2）若弧 由 给出，起点 对应 ，终点 对应 则AB()tyAtB,t.,()(),()ABPdxQPttQttd5. （格林）公式：Gren()DLdxyPy应用： ，得 得面积 .,Pyx12Adx6.平面曲线积分与路径无关的条件（1） 0;dQA（2
27、）设 是单连通域， 在 内有一阶连续偏导数，则曲线积分G,PGLPdxy在 内与路径无关的充分必要条件是： 在 内恒成立.PQyxG例 51.（选择题）设 为由点 到点 的直线段，则AB(0,)(,0)B（ ）siniABydxC.2;.1;.;.1D20例 52.计算曲线积分 ，其中 是沿着园：2()()LxydyL从点 到点 的上半圆弧.22(1)()1x(,)(0,1)解 22,yxyPQ因为 22,(0,)()xy所以，在不含原点的任何闭曲线 上 ，即在不含原点的任一闭区LA域内积分与路径无关.故选择路径为线段 ，在 上有：:,102,BxyxAB，故1,0yd原式 022()()1A
28、Bxydyxd 2 2200 01ln()arctnxxxln5arct.2例 53.计算曲线积分 ，其中 是园的渐开线：2(LydsL(cosin),0.ixatty解 222 2(i)(sin)(1)tatatsinco0xat(cosi)iyt t2dsxdat原式 223300(1)()td4323201.taa例 54.（填空题） 为园： ，计算弧长的曲线积分L24xy212LxydsA8例 55. 计算 为正向圆周：22(sin).LxydxyAL21.xy（应用 公式化为二重积分计算）Gre第十章 无 穷 级 数（一）数项级数敛散性的判别一.级数的概念1212,nnnnuuSu
29、若 ，则称级数收敛到和limnS级数收敛的必要条件： 收敛，则1nulim0.nu二.逆否命题：若 则级数 发散li0,n1n三.收敛判别法1.正项级数的两个判别法：比较判别法，比值判别法；2.任意项级数的两个定理；（1）绝对收敛定理与 有如下关系：1nu1n收敛 也收敛；1n1nu发散 收敛或发散；1nu1n收敛 收敛或发散；1n1nu发散 必定发散.1nu1n（2）比值判别法 23.交错级数的 （莱布尼兹）判别法；Leibz4.从定义、性质判别.四.两个重要的参照级数：221.等比（几何）级数121n naqaq 当 时，级数收敛；当 时，级数发散 .2. 级数p1123pppn n 当
30、时，级数收敛；当 时，级数发散；1特例： 时， 称为调和级数，发散.1p1n五.判别级数收敛的一般步骤：1.先看通项 是否趋于零？nu若 ，则级数 发散；若 ，则需进一步判断.lim0n1nulim0nu2.选用合适的判别法；3.实在不行，再用定义试试，即看极限 是否存在？linS例 56.（选择题）若级数 收敛，则级数（ ）收敛1nuD1.;nAu 21.;nB1.();nCc1nDcu例 57.若级数 收敛，则级数 收敛还是发散？ .1nu1(0)n例 58.判定级数 的收敛性12si3n解 这是正项级数法一.用比较判别法 因 ，而2sin()3nnu23是公比 的等比级数，收敛，由比较判
31、别法，知原级12()3nn213q数收敛.法二.用比值判别法 因 ，1112sin3limli2li.3nnnu无 穷 小 替 换由比值判别法，知原级数收敛.例 59 判断级数 的收敛性.1()ln()n解 因 1l()l(2)n nuu(,2)，故由 判别法，知原交错级数收敛 .1lim0()nleibz例 60（填空题 ）极限 的值为2!lin0解 以 为通项的正项级数，根据比值判别法知其收敛，又据2!nu收敛级数的必要条件，知其通项的极限为零.例 61 证明：若 ，则级数 发散.0,lim0nnua1nu证明 因为 ，由 ，根据正项级数比值lili1n 0n判别法的极限形式，由于 为调和
32、级数，发散，所以级数 也发散.1n1nu（二）求幂级数的收敛半径及收敛区间1. 用比值判别法 2 （一般与 有关） ，再讨论，求出收1()limnuxx敛半径.242. ， 则收敛半径为：1limna1R3.对端点单独讨论后，确定收敛区间.例 62.求幂级数 的收敛域. 21nnx解 这是缺少奇数次项的幂级数，由比值判别法 2， 1()limnux121)()(li xnnn 当 时，原级数收敛，收敛半径2,x 2R讨论端点的情况：当 时，原级数为 发散，故收敛域212n)2,(例 63.将函数 展为 的幂级数.21()5xfx例 64.求幂级数 的收敛域；当 时，是绝对收敛，2lnn1还是条
33、件收敛？并给出证明.（三）利用幂级数和函数的分析性质，求和函数.设幂级数 的收敛半径为 ，则在 内，和函数具有下0nax(0)R(,)R列性质：（1）和函数是连续的；（2） 逐项可导，且 ；()Sx 100()nnSxax（3） 逐项可积，且.10000()xxxnnnaStdatdtdx注意：求导和积分后的和函数收敛半径不变，但在收敛区间端点可能不同例 65.求幂级数 的和函数.41nx25解 设和函数 ，易得收敛区间为 ，利用逐项微分41()nxS(1,)和积分，414424()()()nn nxxx 这是 的等比级数，由因 ，故4q0S440001()()()xxxSddx 4 2200
34、11()xx 1arctnl.2x(x例 66. 求幂级数 的收敛区间，并求其和函数.21nx（四）傅立叶级数(不做考试要求)第十一章 微 分 方 程（一）一阶微分方程的求解1.可分离变量的方程： 的解法()dyfxg分离变量后，两边同时积分得通解；2.齐次方程： 的解法：()Fx令 ，则 ，分离变量并积分，得通解；yudu3.一阶线性非齐次方程： 的解法解法 常数变易法()ypxq通解公式为： ()()pxddyeec注：解方程一般直接用常数变易法，当然，也可代通解公式，但公式复杂，且计算和化简时较繁，易出错（二）二阶线性微分方程的通解结构1.齐次方程： 的通解：是两个线性无关特解()0yp
35、xq26的12(),yx线性组合，即 ；12()()ycxy2.非齐次方程： 的通解()pqxf非齐通（ ）齐通（ ） 非齐特（ ）yyy（三）二阶常系数线性齐次方程： 通解的特征根解法；0pq二阶常系数线性非齐次方程的两种特殊右端特解的解法.例 67.（单选题）下列微分方程中，通解为 的212(cosin)xyex方程是（ ）B.450;Ay.450;By.2C2xDe解 .的特征方程为：B2450， 4160i2,1故通解为： .212(cosin)xyex例 68.求微分方程 的特解.034,5xyy 例 69.（填空题）微分方程 的通解为 .l cxe这是可分离变量的方程 ndxy分离
36、变量 lny两边积分 ()ldxy得 1nlnc11l,.cxyxye例 70. 求微分方程 的通解。 234527解 特征方程为 ,特征根为 ,0452r 4,12r齐次方程的通解为: xxeCy421设特解为: 代如原方程可得 :0*b8,210b所以原方程的通解为 421xeyx例 71.求微分方程 的通解.8()解 这是二阶常系数线性非齐次方程，该方程的特征方程是 210有二重根 ，故对应的齐次方程的通解为 1,212()xyce特殊右端 的 不是特征根，故设特解为 8()xe2 201xb将 代入原方程，得2.),4xyy220148xx xebe比较两端同函数得系数，得 ，因此特解
37、为 ，01,b28xye故原方程通解为 22()().xxyce例 72.微分方程 的特解形式为：（ ）356x； ；.A3xye .B3xyAe； C()D().例 73.求微分方程 的通解.sin2yx解 这是二阶常系数线性非齐次方程，先求对应齐次方程的通解特征方程 的共轭复根是 ，210i故有通解 ；2cosinyx再求原方程的一个特解，设 ，cos2inyaxb将 ,()siyaxb,()4si2x代入原方程，有4co2incos2inix28即 ，3cos2insi2axbx比较两端同函数的系数，得 ，故有特解 10,3ab，1sinyx因此，原方程的通解为 12sincosin2.yxx例 74.用常数变易法求微分方程 的通解.t5e2012.6.5 第 5 次修改于惠州学院数学系.
