2013年上半年离散数学(数学教育)复习概要.doc

1、2013 年 5 月12013 年上半年离散数学（数学教育）复习概要第一讲至第三讲更具体的要求：1集合及其相关的基本概念和性质，尤其是幂集的定义要理解清楚，会求一个集合的幂集；2关系的定义、关系的特点、会判断补关系、逆关系等；会判断一个集合上的二元关系是否有自反性、对称性、传递性、反自反性和反对称性这五个性质；3清楚关系的合成的定义，会计算两个关系的合成；4清楚自反闭包、对称闭包和传递闭包的定义与其求法；5清楚等价关系的定义，会判断并证明一个关系是否为等价关系；6清楚集合的划分的定义，并会利用一个等价关系对一个集合进行划分.第四讲至第七讲更具体的要求：1命题的定义及判定；五个逻辑联结词的定义及

2、其真值的判定；2会将日常语句符号化；3命题公式、解释的定义，真值表，会求一个公式在某解释下的真值；4会用真值表；会判断命题公式的类型；5熟悉基本的等价式与蕴涵式并能判定一些简单的等价式和蕴涵式；6会用多种方法证明等价式与蕴涵式；7知道析取范式、合取范式和主析取范式的定义，会求主析取范式.第八讲至第十一讲讲更具体的要求：1了解谓词、量词等基本概念；2会判断约束变量和自由变量；3熟悉谓词公式的定义；4会对给定的解释求公式的值；5熟悉基本的等价式；会应用推理规则证明等价式和蕴涵式；6了解图、树、二部图等及其基本概念和结论；2013 年 5 月27了解群的基本概念和结论，会判定一个代数系统究竟是不是群

3、，会求一个群的单位元或某元的逆元.第一讲：集合（课本第一章第一节）1元素与集合、集合与集合之间的关系.2幂集的定义：设 A 是集合，A 中所有子集为元素构成的集合称为 A 的幂集，记为 . 例如 A=a,b,c，则 A 的幂集A，2,abcacbc显然 有 个元素.A38例 1：设 A 是以空集 作为惟一元素的集合，P(A)表示 A 的幂集，集合，则有（ ）()BPA B C D E ,B,B答案：A,B,C,D. 由题知 ，则 ， .(),PA(),PA例 2： 设 B= ，则其幂集为_. ,例 3： 设 B=a, ，则其幂集为_. ,a第二、三讲 关系（课本第一章第二节）一、基本概念1设

4、A,B 是集合，则 .(,)|,ABxyAB2二元关系：称集合 的一个子集 R 为集合 A 与 B 上的一个二元关系，简称为关系. 2013 年 5 月33对于 ，如果 ，则称 x，y 有关系 R，记为 xRy;,xAyB(,)xyR若 ，则称 x，y 没有关系 R，记为 .xy4若 A=B，则称 R 为 A 上的二元关系.5例如 A=a,b,c, 则 R=(a,a),(a,b), S=(a,b),(b,c),(c,b)是 A 上的二元关系.6自然数集上的“ ”关系是指集合 ；(,)|,xyNxy自然数集上的“ ”关系是指集合 .|7关系的特点：（1） 的任一个子集都是 A 上的关系；A（2）

5、若|A|=n，则 A 上的关系有 个；2n（3）A 上的 3 个特殊关系：空关系 、全域关系 、相等关系AE；(,)|Ix（4） ；(R 的补关系)R（5）序偶(a,b)=(c,d)的充要条件是 a=c,b=d.8补关系：例如自然数集“ ”的补关系是“ ” ；“”的补关系是“ ”.9逆关系：设 R 是集合 A 上的一个关系，令 ，1(,)|,RyxAyxR称关系 为关系 R 的逆关系.110 例如 A=a,b,c, R=(a,a),(a,b)，则 ；自然数集“ ”1(,)ab 的逆关系是“ ” ；“ ”的补关系是“ ”.二、特殊关系1集合 A 上的关系 R 称为自反的（反身的） ，如果对于 每

6、个 ，都有xA.xR2对于自反性，有 3 个命题是等价的：（1）R 是自反的；（2） ; I（3） 是自反的.12013 年 5 月43集合 A 上的关系 R 称为对称的，如果 xRy，则有 yRx，其中 .,xyA4对于对称性，有 2 个命题是等价的：（1）R 是对称的；（2） .1R5集合 A 上的关系 R 称为传递的，如果 xRy， yRz，则有 xRz， 其中.,xyz6集合 A 上的关系 R 称为反对称的，如果 xRy， yRx，则必有 x=y, 其中.,7对于反对称性，有 2 个命题是等价的：（1）R 是反对称的；（2）.（注意这里若 ，也有 ，即若 ，1ARI11ARI1R也称

7、R 是反对称的）.8集合 A 上的关系 R 称为反自反的，如果对于每个 ， 均不成立.xx9对于反自反性，有 2 个命题是等价的：（1）R 是反自反的；（2）.AI10 任意集合 A 上的相等关系 是自反的，对称的，反对称(,)|AIx的，传递的.11 设集合 A=a,b,c，R=(b, b), (a, c), (b, c), (c, b).（1） 因为 ，则 R 不是自反的；(,)a（2） 因为 ，则 R 不是反自反的；b（3） 因为 ，故 R 不是对称的；(,),()c（4） 因为 ，而 ，故 R 不是传递的；a(,)ab（5） 又 ，但 ，故 R 不是反对称的.(,),()bcRc12

8、自然数集 N 上的“ ”关系是自反的，反对称的，传递的 .13 自然数集 N 上的“ ”关系是传递的.例 1：设 ， 上的关系 ，,234A(1,)3,(2),(31),4(,)R则 是否具有（使用“T”表示具有，使用“F”表示不具有）：RA 自反性 ( ) B 对称性 ( ) C 反对称性（ ） D 传递性（ ）2013 年 5 月5解答：TTFF. 例 2：设 ， 是 上的关系，则 具有性质：自反的，对1,23A(1,2)3RAR称的，传递的，反自反的，反对称的这五条中的哪几条：_例 3：设 A=a, b, c, d, A 上的关系 R=(a, a), (b, a), (d, b), (a

9、, c), (c, d),S= (b, a), (c, b), (a,b), (c, d)。试判定 R，S 分别有什么性质？（即具有自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性这五个性质中的哪些性质）解：R 具有反对称性；S 具有反自反性三、关系的乘积（合成）1设 R, S 是集合 A 上的两个关系，令，(,)|,RxyAzxRzSy且 存 在 使 得则称 为关系 R 与 S 的乘积或合成.2会计算集合上的两个关系的合成.例 1：设 A=a, b, c, d, A 上的关系 R=(a, a), (b, a), (d, b), (a, c), (c, d), 求 .2R解： 2 22 2(,)(,

10、);(,)(,);,;,;()().aRabaRbadbdcdcc故 (a,a),(b,a),(d,a),(c,b),(a,c),(b,c),(a,d).2R例 2：设 A=a, b, c, d, A 上的关系 R=(a, a), (b, a), (d, b), (a, c), (c, d),S= (b, a), (c, b), (a,b), (c, d)。2013 年 5 月6求 .RS解： (a,b), (b,b), (d,a),(a,b),(a,d)。四、闭包1设 A 是非空集合，R 是 A 上的二元关系，R 的自反闭包（对称闭包、传递闭包） 满足如下条件：（1） 是自反的（对称的，传递

11、的） ；（2） ；（3）对 A 上任意包含 R 的自反的（对称的，传递的）关系 ，都有 . RR 的自反闭包、对称闭包和传递闭包分别记为 ，他们分别是包含(),()rstR 的最小（是指元素个数最小）的自反关系、对称关系和传递关系.2定理 1.2.5：设 R 是集合 A 上的关系，则（1） ；()ArI（2） ；1s（3） .1()itR3例如 A=a, b, c, 设 R=(a, c), (b, c), (b, b), 则R 的自反闭包()(,),()(,),()(,),(),();ArIabcbacabcabc R 的对称闭包 1()(,),()(,),()(,),(),().S4自然数集

12、 N 上的小于关系“ ”的自反闭包是 “ ”；5自然数集 N 上的不等关系“ ”的自反闭包是全域关系 ；NE6自然数集 N 上的空关系“ ”的自反闭包是相等关系 .I7整数集 Z 上的小于关系“ ”的对称闭包是“ ”；2013 年 5 月78整数集 Z 上的不大于关系“ ”的对称闭包是全域关系 .zEZ五、等价关系1等价关系：设 R 是非空集合 A 上的一个关系，若 R 具有自反性、对称性和传递性，则称 R 是一个等价关系.2例子：设 A=a, b, c，R=(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)是 A 上的等价关系.3等价类：设 A 是一个非空集合， 是

13、 A 上的一个等价关系.A 的一个非空集合 M 叫做一个等价类，如果（1） 若 ，则 ；,abab（2） 若 ，则 .M（即 a,b 属于同一个等价类当且仅当 ）4商集：设 R 是非空集合 A 上的一个等价关系，以 R 的所有不同的等价类为元素作成的集合称为 A 关于 R 的商集，简称 A 的商集，记作 ./A5划分：当 A 的子集簇 C 满足如下条件时，称 C 为 A 的划分：（1） 若 ，则 ；B（2） ；（3）对任意的 ，且 ，则 .,CBB6定理：设 R 是非空集合 A 上的一个等价关系，则 A 的商集构成 A 的一个划分；反之，若 C 是集合 A 的一个划分，令，(,)|,xyxyC

14、属 于 的 同 一 个 等 价 类 则 是 A 的一个等价关系.CR7会判定等价关系.8 会对一个非空集合 A 的等价关系 R 给出 A 的一个划分.例子：设 ， 上的等价关系 ，求对应于 的 的,abcd(,)IacRA划分.2013 年 5 月8解： ，(,)(,),(),(),.ARIacabcdacbd所以，对应于 的 的划分为 .,第四讲：命题与命题公式（第二章第一、二节）一、命题1命题：命题是指一句有真假意义的话，即是一句能辨真假的话. 常用大写字母 P,Q,R 等来表示.2句子分为疑问句、祈使句、感叹句与陈述句等，只有陈述句才可能是命题.3注 1：一个陈述句，它所表述的内容，可能

15、是真的，也可能是假的，但不能是含糊不清的，只有这样的语句才能是一个命题.4注 2：一个句子本身是否能辨真假与我们是否知道它的真假是两回事. 也就是说，只要句子本身是有真假的，它就是命题.5命题的真值：如果一个命题是真的，我们就说它的真值为 1；如果此命题是假的，就说它的真值是 0.也就是说，我们用 1 表示一个抽象的真命题，而用0 表示一个抽象的假命题.二、逻辑联结词1命题符号（原子）的定义：用大写的英文字母 P,Q.等代表一个抽象的命题，称为命题符号，或原子.2复合命题的定义：若干个原子通过逻辑联结词而构成的新命题称为复合命题.3五个逻辑联结词：否定（ ） ，析取（或者） （ ） ，合取（并

16、且） （ ） ，蕴涵（ ） ，等价（ ）.4否定（ ）：设 P 是一个命题，命题 “P 是不对的 ”称为 P 的否定，记为P, 读作非 P. 规定：非 P 是真的当且仅当 P 是假的 . 例如：P：广州是一个城市； 2013 年 5 月9P：广州不是一个城市.显然：P 是一个真命题，而 P 是假命题.5析取（或者） （ ）：设 P, Q 是两个命题， ，命题 “P 或者 Q”称为 P, Q 的析取，记作 ，读作 P 或 Q. 规定： 是真的当且仅当 P, Q 中至少一个是真的.6合取（并且） （ ）：设 P, Q 是两个命题， ，命题 “P 并且 Q”称为 P, Q 的合取，记作 ，读作 P

17、且 Q. 规定： 是真的当且仅当 P 和 Q 都是真的.7蕴涵（ ）：设 P, Q 是两个命题， ，命题“若 P，则 Q”称为 P 蕴涵 Q，记作 . 规定： 是假的当且仅当 P 是真的而 Q 是假的.PP8等价（ ）：设 P, Q 是两个命题， ，命题“P 当且仅当 Q”称为 P 等价 Q，记作 . 规定： 是真的当且仅当 P，Q 或者都是真的，或者 P, QPP都是假的.三、命题公式1命题公式的定义：命题逻辑中的公式，是如下定义的一个符号串：（1） 原子是公式；（2） 0，1 是公式；（3） 若 G,H 是公式，则 是公式；(),),(),(),()GHGH（4） 所有公式都是有限次使用（

18、1） ， （2） ， （3）而得到的字符串.2五种逻辑联结词的运算次序： ，即否定（ ）最优，析取（或者）,（ ）次之，合取（并且） （ ）再次之，然后蕴涵（ ） ，最后是等价（2013 年 5 月10）.3解释的定义：设 G 是命题公式， 是出现在 G 中的所有原子. 指定12,nA的一组真值，则这组真值称为 G 的一个解释 . 12,nA4公式 G 在其所有可能解释下所取真值的表，称为 G 的真值表. 5请写出 的真值表.,HGH例如： 的真值表为：G H0 0 10 1 11 0 01 1 16公式 G 称为恒真的，如果它在所有的解释下都是真的；公式 G 称为恒假的，如果它在所有的解释下

19、都是假的；公式 G 称为可满足的，如果它不是恒假的；（即至少在某种解释下是真的）7构造命题公式 的真值表，并判断其类型（恒真的，恒假的，()PQ可满足的）P Q ()P()PQ0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 1 1 12013 年 5 月11例子：构造下列公式的真值表，并判断它们的类型（恒真，恒假，可满足）：. RQP)(解： 构造真值表如下：P Q PR ()PQRG0 0 1 0 0 0 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 00 1 1 0 0 0 1 1 10 1 1 0 0 1 1 1 11 0 0 1 1 0 0 1 01 0 0 1 1 1 1

20、0 01 1 0 0 1 0 0 1 01 1 0 0 1 1 1 1 1所以上述公式是可满足的.第五、六讲 命题公式的等价关系和蕴涵关系 （第二章第三节）一、命题公式的等价关系1公式的等价：公式 G,H 是等价的，记为 G=H，如果 G,H 在其任意解释 I 下，其真值相同.2注 1：公式 G,H 等价的充要条件是公式 是恒真的.GH3基本的等价式如下：（1） ；()()()GH（2） ；（3） ； （等幂律）,（4） ； （交换律）G2013 年 5 月12（5） ； （结合律）()(),()()GHSSGHS（6） ； （吸收律）,（7） ； （分配()()(),()()()GH律）（8

21、） ； （同一律）0,1G（9） ； （零一律）（10） . （De Morgan 律）(),()HGH4证明下列等价式： .()()()构造公式 与 的真值表，可见 与GGH在任意解释 I 下，其值相同（真值表中第三列和第八列()()H对应相等）.故它们等价，即 .()()()GHG H ()0 0 1 0 1 1 1 10 1 0 0 1 0 0 01 0 0 0 0 1 0 01 1 1 1 0 0 0 15证明等价式： .()()PQ证明：由同一律及分配律知 1()()().PQPQ6证明等价式有两种方法：一是如第 4 点所述证明在任意解释 I 下，两个公式的值相同；二是如第 5 点所

22、述应用已有的基本等价式证明.例子：证明等价式 .RPQRP)()()(证法一：令 G 表示 ，构造真值表如下：P Q R ()G2013 年 5 月130 0 0 0 0 0 0 00 0 1 1 1 0 0 10 1 0 0 0 0 0 00 1 1 0 0 1 0 11 0 0 0 0 0 0 01 0 1 1 0 0 1 11 1 0 0 0 0 0 01 1 1 0 0 1 1 1可看到第三列与第八列值相同. 即两者等价.证法二：()()()()()1.PQRPRR二、命题公式的蕴涵关系1定义：设 G,H 是两个公式，称 G 蕴涵 H（或称 H 是 G 的逻辑结果） ，当且仅当对 G

23、，H 的任意解释 I，如果 I 满足 G，则 I 也满足 H，记作 .2注 1： 的充要条件是公式 是恒真的.3注 2：对任意的公式 P,Q，P=Q 的充要条件是 且 .PQ4基本蕴涵式：（1） ；,PQ（2） ；P（3） ；（因为(),()Q()()PQ2013 年 5 月14（4） ；（因为 .(),()PQPQ()()PQPQ5给定两个公式 G,H，要证 ，我们有如下几种方法：GH（1） 真值表法；（2） 证公式 是恒真的；（3） 利用一些基本等价式和蕴涵式进行证明；（4） 任取解释 I，如果 I 满足 G，往证 I 也满足 H；（5） 反证法，设结论假，往证前提假.6证明下列蕴涵式：

24、.()()PQ证法一：公式 的真值表如下：P Q PQ()()PQ0 0 0 1 10 1 0 1 11 0 0 0 11 1 1 1 1可见 是恒真的，所以 .()()PQ()()PQ证法二： ()()()()()1.PQP故 是恒真的，所以 .()()PQ()()Q证法三：利用基本蕴涵式（1）与（3）有： .()P证法四：设结论为假，即 是假的，于是 P 是真的而 Q 是假的，从而PQ是假的. 因此，结论成立.P例子：证明蕴涵式 )()()( RR2013 年 5 月15P Q R ()GPQRPR()()HPQRGH0 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 10

25、1 0 0 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 1 1 0 1 1 11 1 0 0 0 1 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1 1第七讲 范式（第二章第四节）一、析取范式和合取范式1原子或原子的否定称为文字，例如 P， 等.2有限个文字的析取式称为一个子句；有限个文字的合取式称为一个短语.3定义：有限个短语的析取式称为析取范式；有限个子句的合取式称为合取范式.4例子：P， ， ， 是析取范式；而 P， ，QP()()QPQ， 是合取范式.()()R5定理 1 及如何求一个公式的析取范式和合取范式.二、主析取范式1设 是 n

26、个不同的原子，一个短语如果恰好包含所有这 n 个原子或12,P2013 年 5 月16其否定，且其排列顺序与 的顺序一致，则称此短语为关于12,nP的一个极小项.12,nP2共有 个不同的极小项.3例子：有 3 个不同的原子 P,Q,R，则 是极小项.,PQR4书本定义 2.4.5：主析取范式的定义5定理 2.4.2：对于命题公式 G，都存在等价于它的主析取范式 .6主析取范式的求法及应用例子：求下列公式的主析取范式： )()(PQP知识回顾：若 G 在一组解释下为真，则对应主析取范式中的一个 极小项，具体的作法如下：a) 在此解释中原子的真值是 1 时，极小项取它自身；b) 在此解释中原子的

27、真值是 0 时，极小项取它的否定.解：应用真值表法求其主析取范式.的真值表如下：()()()GPQPQPP Q ()QP0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 01 1 1 1 1由上表可知 G 的主析取范式为： . 是可满足的.()()()PQPQ第八讲 谓词和谓词公式（第三章第一、二节）一、谓词1个体：可以独立存在的物体称为个体（它可以是抽象的，也可以是具体的）.2定义 3.1.2（P57 ）：设 D 是非空个体名称的集合，定义在 上取值于1, 0nD2013 年 5 月17的 n 元函数，称为 n 元命题函数或 n 元谓词.其中 表示集合 D 的 n 次笛卡n儿乘积.3谓词逻

28、辑包括命题逻辑.二、量词1全称量词：语句“对任意 x”称为全称量词，记作“ ”.x2存在量词：语句“存在一个 x”称为存在量词，记作“ ”.3设 是一元谓词，任取 ，则 是一个命题. 于是 是这样()Gx0D0()Gx()Gx一个命题“对任意 ，都有 ”.4对 的真值作如下规定：()x取 1 值 对任意 ， 都取 1 值；()GxxD()Gx取 0 值 有一个 ， 使 取 0 值.05设 是一元谓词， 是这样一个命题“存在一个 ，使得()x()xxD成立“. 对 的真值作如下规定：0GG取 1 值 有一个 ， 使 取 1 值；()x0xD0()Gx取 0 值 对任意 ， 都取 0 值.例子：设

29、 ， ，则下列公式中， （ ,Dab(,),()1,(),()PabPb）的真值为 1.A B (,)xy,xyC D ,P(,)6定义 3.1.4：在一个由谓词、量词、逻辑联结词和括号组成的有意义的符号串（实际是指下一节将严格定义的公式）中，变量的出现说是约束的，当且仅当它出现在使用这个变量的量词范围之内；变量的出现说是自由的，当且仅当这个出现不是约束的.2013 年 5 月187例子： ，从左到右算起，变量 x 的第一、二次出(,)(,)(xPyQxzR现是约束的，第三次出现是自由的；变量 y, z 的出现是自由的.8定义 3.1.5：变量说是约束的，如果至少一个它的出现是约束的；变量说是

30、自由的，如果至少一个它的出现是自由. 例如上例中，x 既是约束变量也是自由变量，y, z 是自由变量 .9会判断一个变量的出现是约束的还是自由的.三、谓词公式1在形式化中，我们将使用如下 4 种符号：（1） 常量符号：用小写英文字母 a, b, c, .表示. 当个体名称集合 D 给出时，它可以是 D 中的某个元素；（2） 变量符号：用小写英文字母 x, y, z, .表示. 当个体名称集合 D 给出时， D 中任何元素可代入变量符号；（3） 符号函数：用小写英文字母 f, g，.表示. 当个体名称集合 D 给出时，n 元函数符号 可以是 到 D 的任意一个映射；12(,)nfx n（4） 谓

31、词函数：用大写英文字母 P, Q, R,.表示. 当个体名称集合 D 给出时， n 元谓词符号 可以是 上的任意一个谓词.12(,)nPx n2定义 3.2.1：谓词逻辑种的项，被递归定义为：（1） 常量符号是项；（2） 变量符号是项；（3） 若 是 n 元函数符号， 是项，则12(,)fx 12,ntt是项；ntt（4） 所有项都是有限次使用（1） ， （2） ， （3）生成的符号串.3定义 3.2.2：若 是 n 元谓词符号， 是项，则12(,)Px 12,ntt2013 年 5 月19是原子.12(,)nPtt4定义 3.2.3：谓词逻辑中的公式，被递归的定义为：（1） 原子是公式；（2

32、） 若 G, H 是公式，则 是公式；(),),(),(),()GHGH（3） 若 G 是公式，x 是 G 中的自由变量，则 是公式；,x（4） 所有公式都是有限次使用（1） ， （2） ， （3）生成的符号串.5定义 3.2.4：谓词逻辑中公式 G 的一个解释 I，是由非空区域 D 和对 G 中常量符号、函数符号、谓词符号以下列规则进行的一组指定组成：（1） 对每个常量符号，指定 D 中一个元素；（2） 对每个 n 元函数符号，指定一个函数，即指定 到 D 的一个映射；n（3） 对每个 n 元谓词符号，指定一个谓词，即指定 到0, 1的一个映射.6公式 G 在解释 I 下的真值记作 .()I

33、TG7定义 3.2.5：公式 G 称为是可满足的，如果存在解释 I，使 G 在 I 下取 1 值，简称 I 满足 G. 若 I 不满足 G，则称 I 弄假 G.8定义 3.2.6：公式 G 称为恒真的，如果 G 的所有解释 I 都满足 G.；公式 G 称为恒假的（或不可满足的） ，如果不存在解释 I 满足 G9例子：对公式 ，给出如下的解释 I：()(,)xPQxaD=2, 3； ； 2a32,(,3),2(,3)0101Q于是，公式 在 I 下的值为：()(,)Gxx.(),3(,2)()IITPQP2013 年 5 月20第九讲 谓词公式的等价关系与蕴涵关系（第三章第三节）1定义 3.3.

34、1：公式 G, H 称为等价，记作 G=H，如果公式 是恒真的.GH2公式 G, H 等价的充要条件是：对 G, H 的任意解释 I，G, H 在 I 下的真值相同.3定义 3.3.2：设 G, H 是公式，称 G 蕴涵 H，或 H 是 G 的逻辑结果，如果公式 是恒真的，记作 .G4公式 G 蕴涵 H 的充要条件是：对任意解释 I，若 I 满足 G，则 I 必满足 H.5G=H 的充要条件是 且 .6两个基本等价式：（1） ；（2）()()xGx.()()x7证明等价式： .()()()xABxAxB证明： () ()()()().x第十讲 图 （第四章第一、二、六节）一、基本概念1图：称

35、G=(P.,L)为图，如果 P 是点的非空集合，L 是连接不同点对的边集合，并且任意一对不同点对之间最多有一条边. P(G)表示 G 的点集合，L(G) 表示G 的边集.2点相邻的定义3空图4完全图：若 G 中任两点之间恰有一条边，则称 G 为完全图. N 个顶点的完全图恰有 条边.1()2n5任意图 G，其边数|L(G)|满足 .10|()|()2Ln6度：设 G 是图， ，则 L(G)中以 v 为端点的边的条数称为点 v 的度，()vP2013 年 5 月21记为 .()Gdv7定理 4.1.1： 设 G=(P.,L)是有限图，设|L(G)| m，于是 .()2GvPdm8路、回路、简单路

36、的定义（P88 定义 4.1.4）9连通图：设 G=(P.,L)是图，若 G 中任意两点都有路相连，则称它是连通的.10 由几个（至少两个）点不交连通图构成一个新图，称这些点不交的连通图叫做新图的连通分支.11 二部图：若一个图 G 的点集 P 可以划分成两个不交子集 ，使得12,P中任意两点之间没有边， 中任意两点之间也没有边，则称 G 为二部图. 1P2这时，也记 G 为 .1(,)L12 定理 4.6.2：图 G 是二部图当且仅当 G 中所有回路（圈）的长都是偶数.13 若 G 是有 n 个顶点 m 条边的二部图，则 .24nm二、树及其等价命题1树：设 G=(P.,L)是图，如果 G

37、是连通的，且没有回路，则称 G 是树.2森林：无回路的图（可能不连通）也称为森林.3定理 4.2.1：如果 G 是图，则下列命题等价：（1） G 是树；（2） G 是连通的，且任意删去 G 中的一边，所得之图都不是连通的；（3） 对 G 中任意两点 u, v (u, v 是不同点)，恰有一条从 u 到 v 的简单路；如果 G 还是有限图，设 P(G)的元素为 n，则下列命题也与上述命题等价：（4） G 不含回路，并且 G 有(n-1)条边；（5） G 连通，并且 G 有(n-1)条边.例题：一棵树有 2 个 4 度顶点，3 个 3 度顶点，其余是树叶(即度为 1 的点)，则该树中共有（ ）片树

38、叶（即共有多少个点的度为 1）.A 8 B 9 C 10 D 11解：设有 x 个点的度为 1，则有 23x=x+5 个点. 从而树的边数为 x+4，故有2013 年 5 月222(x+4)=2 4+3 3+x 1， 解得 x=9. 选 B.第十一讲 群 （第六章第一、二节）1交换律：P195 定义 6.1.2； 2. 结合律：P195 定义 6.1.3； 3. 定义 6.1.44分配律：定义 6.1.5； 5. 定义 6.1.7 6半群：定义 6.2.1 7. 群：定义 6.2.2 及定理 6.2.2. 8Abel 群（交换群）：定义6.2.3 9会按定义判断一个代数系统是群或是 Abel 群；会求一个群的单位元和某元的逆元.二、考试题型选择题（6 小题，每小题 5 分，共 30 分） ；填空题（6 小题，每小题 4 分，共 24 分） ；判断题（3 小题，每小题 2 分，共 6 分） ；求解和证明，共 4 题，每题 10 分.