1、第 1 页 共 4 页用判别式法求函数值域的方法例 1 求函数 y= 的值域123x解：2x 2+2x+1=2(x+ )2+ 0函数的定义域为 R，将原函数等价变形为（2y-1）x 2+(2y+2)x+y+3=0,我认为在此后应加上：关于 x 的方程（2y-1）x 2+(2y+2)x+y+3=0 有实数解例 2 求函数 y= 的值域6342x解：由 x2+x-60 得 x2,x-3函数的定义域为x|xR，x2,x-3由原函数变形得：（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上：关于 x 的方程（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0 有实数根且至少有一根不为 2 且不为
2、-3例 1 及例 2 也需要作此修正，本人认为，这些文字说明对于整个题目的解题过程起着统帅作用，同时也暴露出作者的思维过程，不能略去。思考之二：对于形如 y= 中分子分母都有公因式的处理方法fexdcba2中处理方法是要验证=0 时对应的 y 值，该文中是这样的说明的：由于函数变形为方程时不是等价转化，故在考虑判别式的同时，还需对=0 进行检验，若对应的自变量在函数的定义域内，则 y 值在值域内，否则舍去。但在文 2 中例 2 中第 2 小题并没有对=0 进行检验，得出正确结果，这就使读者很困惑，究竟什么情况要检验，什么情况不进行检验呢？我认为有关形如 y= 中分子分母都有公因式的处理方法第一
3、种可以fexdcba2按例 2 中约去公因式的方法，这已经不是判别式法的范围之内，不在讨论之列，第二种处理方法仍然用判别式法，只不过在例 1 的解法基础上稍加改动即可，例 3 求函数求函数 y= 的值域6342x解：由 x2+x-60 得 x2,x-3函数的定义域为x|xR，x2,x-3由原函数变形得：（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上：关于 x 的方程（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0 有实数根且至少有一根不为 2 且不为-3（1）当 y=1 时，代入方程求得 x= -3,而 x-3，因此 y1（2）当 y1 时关于 x 的方程（y-1）x 2+(y-
4、4)x-6y-3=0 为一元二次方程，可以验证 x=-3 为该方程的根，x=2 不是该方程的根，因此只有两个根都为 -3 时不满第 2 页 共 4 页足题意，其余都符合题意，因此只需0，即可得出即可得出 y 52由上可知：原函数的值域为y|y1, y 52上述作题步骤也适用于分子分母没有公因式的情况，例 4 求函数 y= 的值域321x解：由已知得 x-1 且 x3,将原函数化为（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0由题意得关于 x 的方程（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0 有解且至少有一解不为 3 和-1（1）当 y=1 时，x= -4，y 可以取 1（2）当 y1 时，
5、关于 x 的方程（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0 为一元二次方程，显然可以验证 x=3 和 x= -1 不是该方程的解因此只需0 即可，以下过程略思考之三：该方法的适用范围不仅适用于分式形式，对于二次函数同样适用，如：求函数 y=x2-3x+5 的值域解：由已知得关于 x 的方程 x2-3x+5-y=0 有实数解 ,因此0 即（-3） 2-4（5-y）0y 41所求函数的值域为y| y 41练习： 求函数 的值域。32xy错解 原式变形为 （*）0)1()()1( y ， ，解得 。Rx42yy 213y故所求函数的值域是 ,103分析 把 代入方程（*）显然无解，因此 不在函数
6、的值域内。事2y y实上， 时，方程（*）的二次项系数为 0，显然用“ ”来判定其根的存1 在情况是不正确的，因此要注意判别式存在的前提条件，即需对二次方程的二次项系数加以讨论。正解 原式变形为 （*）)13()2()1( yxxy（1）当 时，方程（*）无解；2y（2）当 时， ， ，解得Rx0)13(2)( yy第 3 页 共 4 页。2103y由（1） 、 （2）得，此函数的值域为 )21,03例 5 求函数 的值域。1xy错解 移项平方得： ，22yxy由 解得 ，则原函数的值域是 .014)2(y43,43分析 由于 平方得 ，这种变形不是等x0122yxyx价变形，实际上扩大了 的
7、取值范围，如果从原函数定义域 ，那么x，显然 是错误的。1xy ,43y正解 令 ，则 t 0，得 ， ，t12tx43212tty又 0， ，t43122ty故原函数的值域为 ,例 6 求函数 的值域542xy错解 令 ，则 ， ，由 及t 12ty02yt 0412y得值域为 。0y21,0(y分析 解法中忽视了新变元 满足条件 。tt正解 设 ， ， ，ytf)(0),2。故函数得值域为 。210)()(,0yffy或 5y520，（当用分子分母有公因式时，不能转化为二次方程再用判别式法，而应先约去公因式第 4 页 共 4 页例 7 求函数 的值域12xy错解 -2)(，即 -22xyx0212yxy当 ，即 时，由得 （舍去） ， ；0111当 即 时， 得 , 。y4yx 032yRy综上可述，原函数的值域为 | 且 。y1R分析 事实上，当 ，即 = 时，解得 ，而当 时原函232x31xx数没有意义，故 。错误的原因在于，当 时， 的值y 22yy为零，所以 是方程的根，但它不属于原函数的定义域，所以方程 与方1x程不同解，故函数 不能转化为二次方程，用二次方程的理论行12x不通。正解 原函数可化为 = = ，即y)(x)1(2)x1xy,)1(x， 且01y23故原函数的值域为 | 且 。 y
