1、1用不动点法求递推数列的通项公式甘肃省武威市第一中学 党星元利用函数的不动点，可将某些递推关系 所确定的数列，化为等比数列或)(1nnaf容易求通项的数列，这种方法称为不动点法.利用不动点法可巧妙的解决数学高考中很多用常规方法不易解决的问题，而且在数学竞赛中很多数列问题都要借助不动点法来解决，因此，很有必要探讨不动点法求通项公式的方法.先看特征函数和不动点的定义.定义 1：若数列 满足 ，则称 为数列 的特征函数.na)(1nnaf)(xfna定义 2:方程 称为函数 的不动点方程，根称为函数 的不动点.xf)(x)(xf1.递推式为 (p 0,p 1,p,q 均为常数)型的数列qpbnn1定
2、理 1：若 是 的不动点， 满足递推关系,10()(axf p(xfna，则 ，即 是公比为 a 的等比数列.,ann )(nnpn证明：因为 p 是 的不动点 )(xf b由 得abn1apnn1pnn1)(a所以 是公比为 a 的等比数列.例 1.已知数列an中，a1=2， ，求an的通项。3121nn解：因为an的特征函数为： ,)(xf由 , 132)(xxf 3121nna)1(321nna数列an-1是公比为 的等比数列, an-1= an=1+ .11)(n1)(n归根结底，由 求通项公式的问题转化成了等比数列的问题.qpbnn13.递推式为 an+1= （c 0,a,b,c,d
3、 为常数）型的数列dan定理 2：设 ， 满足递推关系 ，xbf)( )0,(bcana),(1nafn2初值条件 )(1af(1)若 有两个相异的不动点 p,q，则 （这里 ）)(xf qapkqpnn1qcapk(2)若 只有唯一不动点 p，则 （这里 ）)(f ann1 d2证明：由 得 ，所以xf)(xdcbf)( 0)(2bxadc（1）因为 p,q 是不动点，所以 ，所以0)(2bqadcpqcapqdcabpqpnnn11 qdbacpn1)(qcabpqcpn1 qapn1令 ，则kknn1（2）因为 p 是方程 的唯一解，所以0)(2bxadcx 0)(2bpadc所以 ，
4、所以db2cpcapnn1 dapbn1)( dcapn12)(所以dn1)(pacpann1 pacdcn1)(3pacdpan1dacn21令 ，则 dk2knn1例 2数列 满足 ， ，求该数列的通项公式.na21nna)2(531a解：易知： ，令 ，则 ，解得，1x0x1x因此，函数 存在不动点 .这样我们就可以把 转化xf)（ 102na为 ，即：211nna1na)(1n 1nna令 ，则 ， ，bb25b所以， ，即： ，所以，27n 71an 725na这种方法在教学中也叫取倒数法，可见取倒数的想法来源于“不动点”.其实，这种类型的数列通项公式也可以通过“不动点”引入辅助数列
5、求得.qpbnn1例 3已知数列 满足 ，求数列 的通项 .na12,1na)2(nan解：数列 特征方程为 ，化简得 ，解得 ，nx02x1,21x由 可以推出12,1naa)2(121annn 13na数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，n313n， 13nna)(3.递推式为 (b,d 为常数)型的数列dbnn21例 4.已知数列 na中,*211,Nnan,求数列 na的通项.4解:作函数为 xf2)(,解方程 xf)(得 )(f的两个不动点为 22221 )( nnnnn aaa再经过反复迭代,得 112 221221 )()()()(2 nnaaannn由此解得1122)()( nn我们也可以不反复迭代，可通过两边取对数，转化为等比数列的问题再求解.利用函数“不动点”法，求解复杂的递推数列的通项问题，是近几年高考数列题目的难点.熟悉不动点法，可使这类问题的解决变得容易.不动点法不但可以求出上述几种类型递推数列的通项公式，还可以解决数列的很多问题.
