1、1姓名：培训材料（8）行程问题（一）【培训提示】在人们的日常生活中离不开“行” 。 “行”中有三个重要的量：路程（行的远近） 、速度（行的快慢） 、时间（行了多久） 。涉及路程、速度、时间的一类典型应用题叫做行程问题。其数量关系是：路程速度时间 时间路程速度 速度路程时间本专题主要研究相遇问题。两个运动物体（人）分别以一定的速度，同时（或不同时）从两地沿同一路线相向而行，经过一段时间后在途中相遇，像这样反映速度、时间、路程三个数量间关系的行程问题叫做“相遇问题” 。解决这类问题要理解三个概念。速度和：两个运动物体（人）在单位时间（时、分、秒）所行驶的速度和，即：速度和甲速乙速。相遇时间：两个运
2、动物体（人）同时出发到相遇所用的时间。相遇路程：两个运动物体（人）同时出发到相遇所走的路程。基本的数量关系是：相遇路程速度和相遇时间相遇时间相遇路程速度和速度和相遇路程相遇时间解答相遇问题，应注意物体运动的方向、出发时间、相遇时间、是否相遇等。关键是找出两个物体的速度和，然后根据两地路程求出相遇时间，或根据相遇时间求出两地路程。稍复杂的，可借助线段图帮助理解题意，找出解题途径。【培训示例】例 1：甲、乙两人从相距 54 千米的两地，同时相向而行，甲每小时行 4 千米，乙每小时行 5 千米，几小时后两人相遇？【分析与解】这是一道最典型，最基本的相遇问题的应用题。出发时甲、乙两人相距 54 千米，
3、以后两人的距离每小时都缩短 459（千米） ，即两人的速度和。所以54 千米里有几个 9 千米就是经过几小时相遇。解：459（千米时）表示两人的速度和5496（小时）2答：6 小时后两人相遇。练习 1：甲、乙两车从相距 270 千米的两地，同时相向而行，甲车每小时行 50 千米，乙车每小时行 40 千米，几小时后两车相遇？练习 2：甲、乙两人同时从相距 20 千米的两地反向而行，甲每小时行 13 千米，乙每小时行 7 千米，几小时后两人相距 100 千米？练习 3：甲、乙两人同时从相距 60 千米的两地出发，相向而行。甲步行，要 12 小时走完全程；乙骑自行车，每小时的速度是甲的 3 倍。几小
4、时后两人在途中相遇？练习 4：两城市相距 94 千米，甲、乙两人骑自行车分别从两城市同时出发，相向而行。甲每小时行 10 千米，乙每小时行 11 千米，乙在途中因修车耽误 1 小时，然后继续行进，与甲相遇。问从出发到相遇经过几小时？例 2：甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是 24 千米。甲每小时走 4 千米，乙每小时走 2 千米，甲带着一只狗，狗每小时走 5 千米，这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它又掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇。问：这只狗一共走了多少千米？【分析与解】对于这道题，有人认为：要求狗与甲、乙相遇的路程，就要把狗与3乙相遇走的路程，与甲相遇走的路程，
5、再与乙相遇走的路程都求出来，然后再相加，算出结果。但是，仔细想想，狗在甲、乙两人之间要跑多少个来回，每次来回所用的时间是多少，这些量我们都无法求出。再认真审题，不难发现，不论狗在甲、乙两人间走了多少个来回，狗走的路程所用的总时间等于甲、乙两人相遇所用的时间，这是不变的关系。所以，只要求出狗走的时间，也就是只要求出甲、乙两人相遇所用的时间，就可求出狗所走的路程，这样原问题就转化为甲、乙两人相遇时间的问题。在这个问题中，甲、乙两人开始相距与两人的速度都是已知的，所以，根据相遇问题的基本关系，甲、乙两人相遇的时间就可以求出了。解：426（千米时）表示甲、乙两人的速度和2464（小时）表示甲、乙两人相
6、遇所用的时间由于甲、乙两人相遇所用的时间等于狗来回走所用的时间总和4520（千米）表示狗往返数次一共走的路程答：这只狗一共走了 20 千米。练习 1：甲、乙两队学生从相距 18 千米的两地同时出发，相向而行。一个同学骑自行车以每小时 14 千米的速度在两队间不停地往返联络。甲队每小时行 5 千米，乙队每小时行 4 千米，两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？练习 2：甲、乙两人分别从东西两地同时出发相向而行，甲每小时行 5 千米，乙每小时行 4 千米，甲带一只狗同时出发，狗以每小时 8 千米的速度，向乙奔去，遇到乙后，马上回头向甲奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，如此往返，直到甲乙两人相距 3千
7、米时狗才停止奔跑，这时狗共跑了 16 千米。问：东西两地相距多少千米？4【名人故事】苏步青的故事苏步青 1902 年 9 月出生在浙江省平阳县的一个山村里。虽然家境清贫，可他父母省吃俭用，拼死拼活也要供他上学。他在读初中时，对数学并不感兴趣，觉得数学太简单，一学就懂。可是，后来的一堂数学课影响了他一生的道路。那是苏步青上初三时，他就读浙江省六十中来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老师。第一堂课杨老师没有讲数学，而是讲故事。他说：“当今世界，弱肉强食，世界列强依仗船坚炮利，都想蚕食瓜分中国。中华亡国灭种的危险迫在眉睫，振兴科学，发展实业，救亡图存，在此一举。 天下兴亡，匹夫有责 ，在座的每一
8、位同学都有责任。 ”他旁征博引，讲述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用。这堂课的最后一句话是：“为了救亡图存，必须振兴科学。数学是科学的开路先锋，为了发展科学，必须学好数学。 ”苏步青一生不知听过多少堂课，但这一堂课使他终身难忘。杨老师的课深深地打动了他，给他的思想注入了新的兴奋剂。读书，不仅为了摆脱个人困境，而是要拯救中国广大的苦难民众；读书，不仅是为了个人找出路，而是为中华民族求新生。当天晚上，苏步青辗转反侧，彻夜难眠。在杨老师的影响下，苏步青的兴趣从文学转向了数学，并从此立下了“读书不忘救国，救国不忘读书”的座右铭。一迷上数学，不管是酷暑隆冬，霜晨雪夜，苏步青只知道读书、思考、解题、演
9、算，4 年中演算了上万道数学习题。现在温州一中（即当时省立十中）还珍藏着苏步青一本几何练习薄，用毛笔书写，工工整整。中学毕业时，苏步青门门功课都在 90 分以上。 17 岁时，苏步青赴日留学，并以第一名的成绩考取东京高等工业学校，在那里他如饥似渴地学习着。为国争光的信念驱使苏步青较早地进入了数学的研究领域，在完成学业的同时，写了 30 多篇论文，在微分几何方面取得令人瞩目的成果，并于 1931 年获得理学博士学位。获得博士之前，苏步青已在日本帝国大学数学系当讲师，正当日本一个大学准备聘他去任待遇优厚的副教授时，苏步青却决定回国，回到抚育他成长的祖任教。回到浙大任教授的苏步青，生活十分艰苦。面对困境，苏步青的回答是“吃苦算得了什么，我甘心情愿，因为我选择了一条正确的道路，这是一条爱国的光明之路啊！” 这就是老一辈数学家那颗爱国的赤子之心。
