1、全国高中数学联赛模拟试题（一）（命题人：吴伟朝）第一试一、 选择题：（每小题 6 分，共 36 分）1、方程 6(5a2b 2)5c 2 满足 c20 的正整数解 (a,b,c)的个数是（A）1 （B）3 （C）4 （D ）52、函数 （x R，x 1）的递增区间是2y（A）x2 （B）x0 或 x2（C） x0 （D）x 或 x13、过定点 P(2,1)作直线 l 分别交 x 轴正向和 y 轴正向于 A、B，使AOB（O 为原点）的面积最小，则 l 的方程为（A）xy30 （B）x3y50（C） 2xy 50 （D）x2y 404、若方程 cos2x sin2xa1 在 上有两个不同的实数解
2、 x，则参3,数 a 的取值范围是（A）0a1 （B）3a1（C） a1 （D）0a15、数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,的第 1000 项是（A）42 （B）45 （C）48 （D ）516、在 1,2,3,4,5 的排列 a1,a2,a3,a4,a5 中，满足条件a1a 2，a 2a 3，a 3a 4，a 4a 5 的排列的个数是（A）8 （B）10 （C）14 （D ）16二、 填空题：（每小题 9 分，共 54 分）1、x表示不大于 x 的最大整数，则方程 x2x19x 99 的实数解 x1是 2、设 a11，a n+12a nn 2，则通项公式
3、an 3、数 799 被 2550 除所得的余数是 4、在ABC 中，A ，sinB ，则 cosC 3155、设 k、 是实数，使得关于 x 的方程 x2(2k1)xk 210 的两个根为sin和 cos，则 的取值范围是 6、数 （nN）的个位数字是 24三、 （20 分）已知 x、y、z 都是非负实数，且 xyz1求证：x(12x )(13x) y(12y)(13y )z(12z)(13z )0，并确定等号成立的条件四、 （20 分）（1） 求出所有的实数 a，使得关于 x 的方程 x2 (a2002)xa0 的两根皆为整数（2） 试求出所有的实数 a，使得关于 x 的方程 x3(a 2
4、2a2)x2a 22a 0 有三个整数根五、 （20 分）试求正数 r 的最大值，使得点集 T( x,y)|x、yR ，且 x2(y7)2r 2一定被包含于另一个点集 S( x,y)|x、yR ，且对任何 R，都有 cos2xcos y 0 之中第二试一、（50 分）设 a、b、c R，bac ，ac，z 是复数，且 z2(ac)z b0求证： 的充分必要条件是(ac) 24b012二、（50 分）如图，在ABC 中，ABC 和ACB 均是锐角，D 是 BC 边上的内点，且 AD 平分BAC，过点 D分别向两条直线 AB、AC 作垂线 DP、DQ，其垂足是 P、Q，两条直线 CP 与 BQ 相
5、交与点 K求证：（1） AKBC；（2） ，其中 表示ABC 的面积BCSAQPKA2ABCS三、（50 分）给定一个正整数 n，设 n 个实数 a1,a2,an满足下列 n 个方程：iijj1 )3(4确定和式 的值（写成关于 n 的最简式子）niiaS12ACB DQKP参考答案第一试一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6答案 C C D A B D二、填空题：1、 或 ； 2、72 n-1n 22n3；38573、343； 4、 ；6155、 |2n 或 2n ，nZ ；6、1（n 为偶数）；7（n 为奇数）三、证略，等号成立的条件是 或 或 或3zyx02yx021zx021zy四、
6、（1）a 的可能取值有0，1336，1936，1960，2664，4000，2040；（2）a 的可能取值有3，11，1，9五、r max 24第二试一、证略（提示：直接解出 ，通过变形即得充分性成2i4bcaz立，然后利用反证法证明必要性）二、证略（提示：用同一法，作出 BC 边上的高 AR，利用塞瓦定理证明AR、BQ、CP 三线共点，从而 AKBC；记 AR 与 PQ 交于点 T，则A BCDMNA1D1B1C1图 1ARATAQAP，对于 AKAP ，可证APKAKP）BCSA2三、 12nS全国高中数学联赛模拟试题（二）（命题人：江厚利 审题人：李潜）第一试一、选择题（每小题 6 分，
7、共 36 分）1、已知集合 ， 若123,axyA151,2yaxyB，则 a 的所有取值是B（A）1，1 （B）1， 2（C） 1，2 （D）1，4， 52、如图 1，已知正方体 ABCDA 1B1C1D1，点 M、N 分别在 AB1、BC 1 上，且 AMBN那么， AA 1MN；A 1C1MN；MN平面 A1B1C1D1；MN 与 A1C1 异面以上 4 个结论中，不正确的结论的个数为（A）1 （B）2 （C）3 （D ）43、用 Sn与 an分别表示区间 内不含数字 9 的 n 位小数的和与个数则1,0的值为nlim（A） （B） （C） （D ）434547494、首位数字是 1，且
8、恰有两个数字相同的四位数共有（A）216 个 （B）252 个 （C）324 个 （D ）432 个5、对一切实数 x，所有的二次函数 （ab）的值均为非cxf2负实数则 的最大值是cba（A） （B） （C）3 （D ）231216、双曲线 的一个焦点为 F1，顶点为 A1、A 2，P 是双曲线上任意2byax一点则分别以线段 PF1、A 1A2 为直径的两圆一定（A）相交 （B）相切（C）相离 （D）以上情况均有可能二、填空题（每小题 9 分，共 54 分）1、已知复数 ， 若ABC 的 3 个内角i21z12izzA、B、C 依次成等差数列，且 ，则 的2icosCAu2zu取值范围是
9、2、点 P(a,b)在第一象限内，过点 P 作一直线 l，分别交 x、y 轴的正半轴于A、B 两点那么，PA 2PB 2 取最小值时，直线 l 的斜率为 3、若ABC 是钝角三角形，则 arccos(sinA)arccos(sinB)arccos(sin C)的取值范围是 4、在正四面体 ABCD 中，点 M、P 分别是 AD、CD 的中点，点 N、Q 分别是BCD、ABC 的中心则直线 MN 于 PQ 的夹角的余弦值为 5、在 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和是 12n6、集合 A、B、C（不必两两相异）的并集 ABC1,2,3,n 则满足条件的三元有序集合组(A,B,C)的个数
10、是 三、（20 分）设 p0，当 p 变化时，C p：y 22px 为一族抛物线，直线 l 过原点且交Cp于原点和点 Ap又 M 为 x 轴上异于原点的任意点，直线 MAp交 Cp于点Ap和 Bp求证：所有的点 Bp在同一条直线上四、（20 分）对于公差为 d(d0) 的等差数列a n，求证：数列中不同两项之和仍是这一数列中的一项的充要条件是存在整数 m1 ，使 a1md OBCAD NM图 2五、（20 分）求最大的正数 ，使得对任意实数 a、b，均有 22ba32第二试一、（50 分）如图 2，O 切ABC 的边 AB 于点 D，切边 AC 于点 C，M 是边 BC上一点，AM 交 CD
11、于点 N求证：M 是 BC 中点的充要条件是 ONBC 二、（50 分）求出能表示为 （a、b、cZ +）的所有n2正整数 n三、（50 分）在一个 （n2）的方格表的每个方格内填入 1 或1，12n如果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所填数的乘积，则称这种填法是“成功”的求“成功”填法的总数参考答案第一试一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6答案 D B D D A B二、填空题：1、 ； 2、 ；25, ab3、 ； 4、 ；,185、 ； 6、7 n21n三、证略四、证略五、 427max第二试一、证略；二、1,2,3,4,5,6,8,9三、1 种（每空填 1）全国高中数学
12、联赛模拟试题（三）（命题人：吴伟朝）第一试一、选择题：（每小题 6 分，共 36 分）1、若集合 Sn|n 是整数，且 22n2 整除 2003n2004，则 S 为（A）空集 （B）单元集 （C）二元集 （D ）无穷集2、若多项式 x2x 1 能除尽另一个多项式 x3x 2ax b（a、b 皆为常数）则 ab 等于（A）0 （B）1 （C）1 （D ）23、设 a 是整数，关于 x 的方程 x2(a3)xa 20 的两个实根为 x1、x 2，且 tan(arctan x1arctan x 2)也是整数则这样的 a 的个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D ）44、设一个四面体的体积为 V1
13、，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其体积为 V2则 为1（A） （B） 32（C）常数，但不等于 和2（D）不确定，其值与四面体的具体形状有关5、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数所有这样的递降正整数的个数为（A）1001 （B）1010 （C）1011 （D ）10136、在正方体的 8 个顶点中，能构成一个直角三角形的 3 个顶点的直角三点组的个数是（A）36 （B）37 （C）48 （D ）49二、填空题：（每小题 9 分，共 54 分）1、若直线 xcosy sincos 2sin 2（0 ）与圆 x2y
14、 2 有公共点，41则 的取值范围是 2、在平面直角坐标系 xOy 中，一个圆经过(0,2)、(3,1)，且与 x 轴相切则此圆的半径等于 3、若常数 a 使得关于 x 的方程lg(x220x)lg(8x 6a3)0有惟一解则 a 的取值范围是 4、f(x) xcosxcos(2x )(xR)的最小值是 825、若 k 是一个正整数，且 2k整除 20346240614060 C33C i则 k 的最大值为 6、设 ABCD 为凸四边形，AB7，BC4，CD 5，DA6，其面积 S 的取值范围是(a,b 则 ab 三、（20 分）设椭圆的左右焦点分别为 F1、F 2，左准线为 l，点 P 在椭
15、圆上作PQl， Q 为垂足试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点 P，使得PQF1F2 为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率 e 的等式或不等式来表示）四、（20 分）设 a01，a 12，a n+12a n-1n，n1,2,3,试求出 an的表达式（答案用有限个关于 n 的式子相加的形式表示，且项数与 n 无关）五、（20 分）试求出所有的有序整数对(a,b)，使得关于 x 的方程 x4(2ba 2)x22axb 210 的各个根均是整数第二试一、（50 分）点 P 在ABC 内，且BAP CAP，连结 BP 并延长交 AC 于点Q设BAC60，且 PQCB1求证：P 是ABC 的内心二
16、、（50 分）设正数 a、b 满足 且使得关于 x 的不等式2b1xba总有实数解试求 f(a,b)a 23abb 2 的取值范围三、（50 分）试求出正整数 k 的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的 k 个整数 a1,a2,ak（允许相等），必定存在相应的 k 的整数 x1,x2,xk（也允许相等），且|x i| 2(i1,2,k)，|x 1| x2| xk|0 ，使得 2003 整除x1a1x 2a2x kak参考答案第一试一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6答案 C C B A D C二、填空题：1、 ； 2、 ；65,32,65613、 ； 4、1；1,5、2004； 6、
17、20三、 1,2e四、a 2n2 n+22n3；a 2n+132 n+12n4五、(a ,b)(2l1,l 2l1)( lZ )第二试一、证略（提示：将条件变形为 ，然后应用正弦定理，进行三PQCBA1角变换，得BPC120，利用同一法即证）；二、( ，1) 三、k min7全国高中数学联赛模拟试题（四）（命题人：刘康宁）A BCDD1 C1B1A1第一试一、 选择题（每小题 6 分，共 36 分）：1、函数 是奇函数的充要条件是axf2（A）1a0 或 0a1 （B）a1 或 a1（C） a0 （D）a02、已知三点 A(2,1)、B(3,2)、C(1,3)和动直线 l：ykx当点A、B 、
18、C 到直线 l 的距离的平方和最小时，下列结论中，正确的是（A）点 A 在直线 l 上 （B）点 B 在直线 l 上（C）点 C 在直线 l 上 （C）点 A、 B、C 均不在直线 l 上3、如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1，过顶点 A1在空间作直线 l，使 l 与直线 AC 和 BC1 所成的角都等于 60这样的直线 l 可以做（A）4 条 （B）3 条（C） 2 条 （D）1 条4、整数的 两位质因数的最大值是10n（A）61 （B）67（C） 83 （D）975、若正整数 a 使得函数 的最大值也是整数，则这个axxfy213最大值等于（A）3 （B）4 （C）7 （D ）8
19、6、在正整数数列中，由 1 开始依次按如下规则将某些数染成红色先染1，再染 2 个偶数 2、4；再染 4 后面最邻近的 3 个连续奇数 5、7、9；再染 9 后面最邻近的 4 个连续偶数 10、12、14、16；再染此后最邻近的5 个连续奇数 17、19、21、23、25按此规则一直染下去，得到一红色子数列 1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，则在这个红色子数列中，由 1 开始的第 2003 个数是（A）3844 （B）3943 （C）3945 （D ）4006二、 填空题（每小题 9 分，共 54 分）：1、在复平面上，RtABC 的顶点 A、B、C 分别对应于复数z1、2z 1
20、、(z1) 2，A 为直角顶点，且|z |2设集合M m|zmR，mN +，Px|x ，mM则集合 P 所有元素之1和等于 2、函数 f(x)|sinx|sin 42x|cos x|的最大值与最小值之差等于 3、关于 x 的不等式07454222 axax的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和小于 4，则实数 a 的取值范围是 4、银行计划将某项资金的 40%给项目 M 投资一年，其余的 60%给项目N预计项目 M 有可能获得 19%到 24%的年利润，N 有可能获得 29%到 34%的年利润年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户为使银行的年利润不少于给 M、N 总投资的 1
21、0%而不大于总投资的 15%，则给储户的回扣率的最小值是 5、已知点(a,b) 在曲线 arcsinxarccosy 上运动，且椭圆 ax2by 21 在圆x2y 2 的外部（包括二者相切的情形）那么，arcsin b 的取值范3围是 6、同底的两个正三棱锥内接于同一个球已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为 R设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、 ，则 tan( )的值是 三、 （20 分）ABC 的三边长 a、b、c（abc ）同时满足下列三个条件（i）a、b、c 均为整数；（ii）a、b、c 依次成等比数列；（iii ）a 与 c 中至少有一个等于 100求出(a ,b,c)的
22、所有可能的解四、 （20 分）在三棱锥 D-ABC 中，AD a，BD b，ABCDc，且DABBACDAC 180，DBA ABC DBC180求异面直线 AD 与 BC 所成的角五、 （20 分）设正系数一元二次方程 ax2bx c0 有实根证明：（1） maxa,b,c (abc)；94（2） mina,b,c (a bc)1第二试一、（50 分）已知ABC 的外角EAC 平分线与ABC 的外接圆交于 D，以 CD 为直径的圆分别交 BC、CA 于点 P、Q求证：线段 PQ 平分ABC 的周长二、（50 分）已知 x01， x13，x n+1 6xnx n-1（nN +）求证：数列x n
23、中无完全平方数三、（50 分）有 2002 名运动员，号码依次为 1，2，3，2002从中选出若干名运动员参加仪仗队，但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积那么被选为仪仗队的运动员至少能有多少人？给出你的选取方案，并简述理由参考答案第一试一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6答案 C D B A C B二、填空题：1、 ； 2、 ；73、1,3； 4、10%；5、 ； 6、 3,4,6aR3三、可能解为(100,100,100)，(100,110,121) ，(100,120,144) ，(100,130,169) ，(100,140,196)，(100,150,2
24、25)，(100,160,256) ，(49,70,100) ，(64,80,100)，(81,90,100)， (100,100,100)四、 2arcosb五（1）证略（提示：令 abct，分 b 和 b 讨论）；t94t（2）证略（提示：分 a 和 a 讨论）；41第二试一、证略；二、证略（提示：易由特征根法得 xn ，设 ynnn2321，于是 ，原结论等价于方程n2321 nyx42y 21 无整数解，由数论只是可证）三、43全国高中数学联赛模拟试题（五）（命题人：罗增儒）第一试一、 选择题：（每小题 6 分，共 36 分）1、空间中 n（n3）个平面，其中任意三个平面无公垂面那么，
25、下面四个结论（1） 没有任何两个平面互相平行；（2） 没有任何三个平面相交于一条直线；（3） 平面间的任意两条交线都不平行；（4） 平面间的每一条交线均与 n2 个平面相交其中，正确的个数为（A）1 （B）2 （C）3 （D ）42、若函数 y=f(x)在 a,b上的一段图像可以近似地看作直线段，则当 c(a,b)时，f( c)的近似值可表示为（A） （B）2f2baf（C） （D）abfcfafcf3、设 abc ，a+ b+c=1，且 a2+b2+c2=1，则（A）a+ b1 （B）a+b=1 （C）a+b1（D）不能确定，与 a、b 的具体取值有关4、设椭圆 的离心率 ，已知点 到椭圆上
26、的点的最2yx23e23,0P远距离是 ，则短半轴之长 b=47（A） （B） （C） （D ）168141215、S=1,2,2003，A 是 S 的三元子集，满足：A 中的所有元素可以组成等差数列那么，这样的三元子集 A 的个数是（A） （B）320C210（C） （D）102326、长方体 ABCDA1B1C1D1，AC 1 为体对角线现以 A 为球心，AB、AD、AA 1、AC 1 为半径作四个同心球，其体积依次为V1、V 2、V 3、 V4，则有（A）V 4V 1+V2+V3 （B）V 4=V1+V2+V3（C） V4V 1+V2+V3 （D）不能确定，与长方体的棱长有关二、 填空题
27、：（每小题 9 分，共 54 分）1、已知 ，则 k 的取值范围为 cossin332、等差数列a n的首项 a1=8，且存在惟一的 k 使得点( k,ak)在圆 x2+y2=102上，则这样的等差数列共有 个3、在四面体 PABC 中，PA= PB=a，PC= AB=BC=CA=b，且 ab，则 的取值范围为 4、动点 A 对应的复数为 z=4(cos+isin)，定点 B 对应的复数为 2，点 C 为线段 AB 的中点，过点 C 作 AB 的垂线交 OA 与 D，则 D 所在的轨迹方程为 5、 被 8 所除得的余数为 2031k6、圆周上有 100 个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形
28、的个数为 三、 （20 分）已知抛物线 y2=2px(p0)的一条长为 l 的弦 AB求 AB 中点 M 到 y轴的最短距离，并求出此时点 M 的坐标四、 （20 分）单位正方体 ABCDA1B1C1D1 中，正方形 ABCD 的中心为点 M，正方形 A1B1C1D1 的中心为点 N，连 AN、B 1M（1）求证：AN、B 1M 为异面直线；（2）求出 AN 与 B1M 的夹角五、 （20 分）对正实数 a、b、c 求证：9cabb88222 第二试一、 （50 分）设 ABCD 是面积为 2 的长方形，P 为边 CD 上的一点， Q 为PAB的内切圆与边 AB 的切点乘积 PAPB 的值随着
29、长方形 ABCD 及点 P的变化而变化，当 PAPB 取最小值时，（1）证明：AB2BC；（2）求 AQBQ 的值二、 （50 分）给定由正整数组成的数列（n1）na21,（1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点(a1,a2)，(a 3,a4)，(a 2k-1,a2k)，均在曲线 x2+xyy2+1=0 上（2）若设 f(x)=xn+xn-1anxan-1，g(x)= x2x1，证明：g(x )整除 f(x)三、 （50 分）我们称 A1,A2,An为集合 A 的一个 n 分划，如果（1） ；（2） ，1ijnji求最小正整数 m，使得对 A1,2,m 的任意一个 13 分划A1,A2,A13，
30、一定存在某个集合 Ai(1i13)，在 Ai中有两个元素a、b 满足 ba b89参考答案第一试一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6答案 D C A C B C二、填空题：1、 ； 2、17；1,2,3、 ； 4、 ；, 132yx5、4； 6、117600三、 222,0,8,0,8pllMplll四、（1）证略； （2） 32arcos五、证略第二试一、（1）证略（提示：用面积法，得 PAPB 最小值为 2，此时APB90）；（2）AQ BQ=1二、证略（提示：用数学归纳法）三、m=117全国高中数学联赛模拟试题（六）（命题人：秦永 苟春鹏）第一试一、 选择题：（每小题 6 分，共 3
31、6 分）1、在复平面上，非零复数 z1、z 2 在以 i 对应的点为圆心，1 为半径的圆上，的实部为零，arg z1= ，则 z2=2z 6（A） （B）i3i3（C） （D）i2i22、已知函数 在1,2上恒正，则实数 a 的取值范围21logxaxf是（A） （B）85,21 ,3（C） （D）,3,213、已知双曲线过点 M(2,4)，N(4,4)，它的一个焦点为 F1(1,0)，则另一个焦点 F2 的轨迹方程是（A） （y0）或 x=1（y0）1645122x（B） （x0）或 x=1（y0）2（C） （y0）或 y=1（x0）1654x（D） （x0）或 y=1（x0）214、已知正
32、实数 a、b 满足 a+b=1，则 的整数部分是baM212（A）1 （B）2 （C）3 （D ）45、一条笔直的大街宽是 40 米，一条人行道穿过这条大街，并与大街成某一角度，人行道的宽度是 15 米，长度是 50 米，则人行道间的距离是（A）9 米 （B）10 米 （C）12 米 （D ）15 米6、一条铁路原有 m 个车站，为适应客运需要新增加 n 个车站（n1），则客运车票增加了 58 种（注：从甲站到乙站需要两种不同的车票），那么原有车站的个数是（A）12 （B）13 （C）14 （D ）15二、 填空题：（每小题 6 分，共 36 分）1、长方形 ABCD 的长 AB 是宽 BC
33、的 倍，把它折成无底的正三棱柱，32使 AD 与 BC 重合折痕线 EF、GH 分别交原对角线 AC 于 M、N，则折后截面 AMN 与底面 AFH 所成的角是 2、在ABC 中，a、b、c 是角 A、B 、C 的对边，且满足 a2+b2=2c2，则角C 的最大值是 3、从盛满 a 升（a1）纯酒精的容器里倒出 1 升，然后填满水，再倒出 1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去则第 n 次操作后溶液的浓度是 4、已知函数 f(x)与 g(x)的定义域均为非负实数集，对任意 x0，规定 f(x)*g(x)=minf(x),g(x)若 f(x)=3x，g(x)= ，则 f(x)*g(x)的最大值5
34、2为 5、从 1 到 100 的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有 不同的取法6、若实数 a0，则满足 a5a3+a=2 的 a 值属于区间： ；63,0； ； 其中正确的是 63,2,62,0三、 （20 分）求证：经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面的面积四、 （20 分）直线 Ax+Bx+C=0（A BC0）与椭圆 b2x2+a2y2=a2b2 相交于P、Q 两点，O 为坐标原点，且 OPOQ求证： 22BAC五、 （20 分）某新建商场建有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有 190 名售货员，计划全商场日营业额（指每日卖出商品的总金额）为
35、60 万元，根据经验，各部商品每 1 万元营业额所需售货员人数如表 1，每 1 万元营业额所得利润如表 2商场将计划日营业额分配给三个经营部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为 c（万元）且满足 19c 19.7，又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万元，问这个商场怎样分配日营业额给三个部？各部分别安排多少名售货员？表 1 各部每 1 万元营业额所需人数表部门 人数百货部 5服装部 4家电部 2表 2 各部每 1 万元营业额所得利润表部门 利润百货部 0.3 万元服装部 0.5 万元家电部 0.2 万元第二试一、 （50 分）矩形 ABCD 的边 AD=AB，以 AB
36、 为直径在矩形之外作半圆，在半圆上任取不同于 A、B 的一点 P，连 PC、PD 交 AB 于 E、F ，若AE2+BF2=AB2，试求正实数 的值二、 （50 分）若 aiR +（i=1,2,n）， ，且 2nNniaS1求证： nkkS13nk12三、 （50 分）无穷数列 cn可由如下法则定义： cn+1=|1|12cn|，而 0c 11（1）证明：仅当 c1 是有理数时，数列自某一项开始成为周期数列（2）存在多少个不同的 c1 值，使得数列自某项之后以 T 为周期（对于每个 T=2,3,）？参考答案第一试一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6答案 A C A B C C二、填空题：1
37、、 ； 2、 ；633、 ； 4、 ；na15、2500； 6、三、证略四、证略五、8，23，29 或 10，20，30（万元），对应 40，92，58 或 50，80，60（人）第二试一、 ；2二、证略三、 （1）证略（2）无穷个全国高中数学联赛模拟试题（七）（选题人：李潜）第一试一、选择题：（每小题 6 分，共 36 分）7、 a、b 是异面直线，直线 c 与 a 所成的角等于 c 与 b 所成的角，则这样的直线 c 有（A）1 条 （B）2 条 （C）3 条 （D ）无数条8、 已知 f(x)是 R 上的奇函数，g(x)是 R 上的偶函数，若 f(x)g(x)=x2+2x+3，则 f(x
38、)+g(x)=（A）x 2+2x3 （B）x 2+2x3 （C）x 22x+3 （D ）x 22x+39、 已知 ABC，O 为ABC 内一点，AOB= BOC=COA= ，则使3AB+BC+CAm( AO+BO+CO)成立的 m 的最大值是（A）2 （B） （C） （D ）3532310、 设 x=0.820.5，y=sin1，z=log 3 则 x、y、z 的大小关系是7（A）xyz （B）yzx （C）zxy （D ）zyx11、 整数 的末尾两位数字是31095（A）10 （B）01 （C）00 （D ）2012、 设(a,b) 表示两自然数 a、b 的最大公约数设(a,b)=1，则(
39、a2+b2,a3+b3)为（A）1 （B）2 （C）1 或 2 （D ）可能大于 2二、填空题：（每小题 9 分，共 54 分）1、若 f(x)=x10+2x92x82x7+x6+3x2+6x+1，则 f( 1)= 22、设 F1、F 2 是双曲线 x2y2=4 的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，从 F1引F 1PF2 平分线的垂线，垂足为 M，则点 M 的轨迹方程是 3、给定数列x n，x 1=1，且 ，则 x1999x601= nnx3114、正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E 是 CD 中点，F 是 BB1 中点，则四面体 AD1EF 的体积是 5、在坐标平面上，由条件
40、 所限定的平面区域的面积是 32xy6、12 个朋友每周聚餐一次，每周他们分成三组，每组 4 人，不同组坐不同的桌子若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子，则至少需要 周三、（20 分）已知椭圆 过定点 A(1,0)，且焦点在 x 轴上，椭圆与曲线12byax|y|=x 的交点为 B、C现有以 A 为焦点，过 B、C 且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标 M(m,0)当椭圆的离心率 e 满足 ，求实数132m 的取值范围四、（20 分）a、b、c 均为实数， ab，bc ，ca证明： 223b2五、（20 分）已知 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx，满足（i）a、b、c、d 均
41、大于 0；（ii）对于任一个 x2, 1,0,1,2 ，f (x)为整数；（iii）f(1)=1,f(5)=70 试说明，对于每个整数 x，f(x )是否为整数第二试一、（50 分）设 K 为 ABC 的内心，点 C1、B 1 分别为边 AB、AC 的中点，直线AC 与 C1K 交于点 B2，直线 AB 于 B1K 交于点 C2若 AB 2C2 于ABC的面积相等，试求CAB二、（50 分）设 ，f(x)=(xw)(x w3)(xw7)(xw9)5sincow求证：f(x )为一整系数多项式，且 f(x)不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积三、（50 分）在圆上有 21 个点求在以这些点
42、为端点组成的所有的弧中，不超过 120的弧的条数的最小值参考答案第一试一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6答案 D A C B C C二、填空题：1、4； 2、x 2+y2=4；3、0； 4、 ；255、16； 6、5三、 42,1四、证略五、是第二试一、60；二、证略三、100全国高中数学联赛模拟试题（八）（选题人：李潜）第一试一、选择题：（每小题 6 分，共 36 分）1、设 logab 是一个整数，且 ，给出下列四个结论2logl1logabaa ； log ab+logba=0；20ab1； ab1=0其中正确结论的个数是（A）1 （B）2 （C）3 （D ）42、若ABC 的三边
43、长 a、b、c 满足 ，则它的最大内角02cba度数是（A）150 （B）120 （C）90 （D ）603、定长为 l（ ）的线段 AB 的两端点都在双曲线ab2（a0，b0），则 AB 中点 M 的横坐标的最小值为12yx（A） （B）2l2bal（C） （D）2bal2l4、在复平面上，曲线 z4+z=1 与圆|z|=1 的交点个数为（A）0 （B）1 （C）2 （D ）35、设 E=(x,y)|0x 2,0y 2 、F=(x,y)|x10,y2,y x4是直角坐标平面上的两个点集，则集合 G=所组成的图形面积是E212121 ,（A）6 （B）2 （C）6.5 （D ）76、正方形纸片
44、 ABCD，沿对角线 AC 对折，使 D 在面 ABC 外，这时 DB 与面 ABC 所成的角一定不等于（A）30 （B）45 （C）60 （D ）90二、填空题：（每小题 9 分，共 54 分）1、已知 ，则 的值24 cosin2cosi3cosincosin等于 2、 = 2041313、在 RtABC 中，ABAC，以 C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在 AB 内，且椭圆过 A、B 点，则这个椭圆的离心率等于 4、从1,2,3, ,20中选出三个数，使得没有两个数相邻，有 种不同的选法5、设 a、b 均为正数，且存在复数 z 满足 ，则 ab 的最大值1ibaz等于 6、使不等式 对惟一的一个整数 k 成立的最大正整数 n 为 13758kn三、（20 分）
