1、离散数学第四版 课后答案第 1 章 习题解答11 除（3） ， （4） ， （5） ， （11）外全是命题，其中， （1） ， （2） ， （8） ， （9） ，（10） ， （14） ， （15）是简单命题， （6） ， （7） ， （12） ， （13）是复合命题。分析 首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。本题中， （3）为疑问句， （5）为感叹句， （11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的 判断结果是不确定。又因为（1） ，（2） ， （8） ， （9） ， （10） ， （14） ， （15）都是简单的陈述句
2、，因而作为命题，它们都是简单命题。 （6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如， “虽然，但是” 、 “不仅，而且” 、 “一面，一面” 、 “和” 、 “与”等。但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。例如， （14） 、 （15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。12 （1）p: 2 是无理数
3、， p 为真命题。（2）p:5 能被 2 整除，p 为假命题。（6）pq。其中，p:2 是素数， q：三角形有三条边。由于 p 与 q 都是真命题，因而 pq 为假命题。（7）pq，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于 p 为假命题，q 为真命题，因而 pq 为假命题。（8）p:2000 年 10 月 1 日天气晴好，今日（ 1999 年 2 月 13 日）我们还不知道 p 的真假，但 p 的真值是确定的（客观存在的） ，只是现在不知道而已。（9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。1（10）p：小李在宿舍里. p 的真值则具体情况而定，是确定的。（12）pq，其
4、中，p:4 是偶数，q:4 是奇数。由于 q 是假命题，所以，q为假命题，pq 为真命题。（13）pq，其中，p:4 是偶数，q:4 是奇数，由于 q 是假命题，所以，pq为假命题。（14） p：李明与王华是同学，真值由具体情况而定（是确定的） 。（15） p：蓝色和黄色可以调配成绿色。这是真命题。分析 命题的真值是唯一确定的，有些命题的真值我们立即可知，有些则不能马上知道，但它们的真值不会变化，是客观存在的。13 令 p:2+2=4,q:3+3=6,则以下命题分别符号化为（1）pq（2）pq（3）pq（4）pq（5）pq（6）pq（7）pq（8）pq以上命题中， （1） ， （3） ， （4
5、） ， （5） ， （8）为真命题，其余均为假命题。分析 本题要求读者记住 pq 及 pq 的真值情况。pq 为假当且仅当p 为真,q 为假,而 pq 为真当且仅当 p 与 q 真值相同.由于 p 与 q 都是真命题，在 4 个蕴含式中，只有（2）pr，其中，p 同（1） ，r ：明天为 3 号。在这里，当 p 为真时，r 一定为假，pr 为假，当 p 为假时，无论 r 为真还是为假，pr 为真。215 （1）pq，其中，p：2 是偶数，q：2 是素数。此命题为真命题。（2）pq，其中，p：小王聪明，q：小王用功（3）pq，其中，p：天气冷，q：老王来了（4）pq，其中，p：他吃饭，q：他看电
6、视（5）pq，其中，p：天下大雨，q：他乘公共汽车上班（6）pq，其中，p，q 的含义同（5）（7）pq，其中，p，q 的含义同（5）（8）pq，其中，p：经一事，q：长一智分析 1在前 4 个复合命题中，都使用了合取联结词，都符号化为合取式，这正说明合取联结词在使用时是很灵活的。在符号化时，应该注意，不要将联结词部分放入简单命题中。例如，在（2）中，不能这样写简单命题：p：小王不但聪明，q：小王而且用功。在（4）中不能这样写：p：他一边吃饭， q：他一边看电视。2 后 4 个复合命题中，都使用了蕴含联结词，符号化为蕴含式，在这里，关键问题是要分清蕴含式的前件和后件。pq 所表达的基本逻辑关系
7、为，p 是 q 的充公条件，或者说 q 是 p 的必要条件，这种逻辑关系在叙述上也是很灵活的。例如， “因为 p，所以 q”， “只要 p，就 q”“p 仅当 q”“只有 q 才 p”“除非 q，否则p” “没有 q，就没有 p”等都表达了 q 是 p 的必要条件，因而都符号化为 pq 或pq 的蕴含式。在（5）中，q 是 p 的必要条件，因而符号化为 pq，而在（6） （7）中，p 成了 q 的必要条件，因而符号化为 qp。在（8）中，虽然没有出现联结词，但因两个命题的因果关系可知，应该符号化为蕴含式。16 （1） ， （2）的真值为 0， （3） ， （4）的真值为 1。分析 1 （1）中
8、公式含 3 个命题变项，因而它应该有 23=8 个赋值：000，3001，111 题中指派 p, q 为 0, r 为 1，于是就是考查 001 是该公式 p(q r)的成真赋值，还是成假赋值，易知 001 是它的成假赋值。2 在公式（2 ） ， （3） ， （4）中均含 4 个命题就项，因而共有 24=16 个赋值：0000，0001，1111。现在考查 0011 是它的成假赋值。1.7 （1） ， （2） ， （ 4） ， （9）均为重言式， （3） ， （7）为矛盾式， （5） ， （6） ， （8） ，（10）为非重言式的可满足式。一般说来，可用真值表法、等值演算法、主析取范式（主合取
9、范式）法等判断公式的类型。（1）对（1）采用两种方法判断它是重言式。真值表法表 1.2 给出了（1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列全为 1，所以， （1）为重言式。pqr p(pqr)p q r0 0 0 0 10 0 1 1 10 1 0 1 10 1 1 1 11 0 0 1 11 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1等值演算法p(pqr)p(ppr) （蕴含等值式）(pp)pr （结合律）1qr （排中律）1 （零律）4由最后一步可知， （1）为重言式。（2）用等值演算法判（2）为重言式。(pp)p(p)p （蕴含等值式）pp （等幂律） pp （蕴含等值式）1 （排
10、中律）（3）用等值演算法判（3）为矛盾式(pq)q(pq) q （蕴含等值式） pqq （德摩根律） p(qq) （结合律） p0 （矛盾律）0 （零律）由最后一步可知， （3）为矛盾式。（5）用两种方法判（5）为非重言式的可满足式。真值表法p q p pq qp (pq) (qp)0 0 1 0 1 10 1 1 1 1 11 0 0 1 1 11 1 0 1 0 0由表 1.3 可知（5）为非重言式的可满足式。主析取范式法(pq)(q p)(pq) (qp)5(pq)(qp)(pq)q ppq(p1)(1q)(p(qq)(pp)q)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)m
11、0m1m2.在（3）的主析取范式中不含全部（4 个）极小项，所以（3）为非重言式的可满足式，请读者在以上演算每一步的后面，填上所用基本的等值式。其余各式的类型，请读者自己验证。分析 1 真值表法判断公式的类别是万能。公式 A 为重言式当且仅当 A 的 o真值表的最后一旬全为 1；A 为矛盾式当且仅当 A 的真值表的最后一列全为 0；A 为非重言式的可满足式当且仅当 A 的真值表最后一列至少有一个 1，又至少有一个 0。真值表法不易出错，但当命题变项较多时，真值表的行数较多。2o 用等值演算法判断重言式与矛盾式比较方例，A 为重言式当且仅当 A 与 1 等值；A 为矛盾式当且仅当 A 与 0 等
12、值，当 A 为非重言式的可满足式时，经过等值演算可将 A化简，然后用观察法找到一个成真赋值，再找到一个成假赋值，就可判断 A 为非重言式的可满足式了。例如，对（6）用等值演算判断它的类型。(pp)q0q （矛盾律）(pq) (q 0) （等价等值式）(0q)(q0) （蕴含等值式）(1q) q （同一律）1q （零律）6q （同一律）到最后一步已将公式化得很简单。由此可知，无论 p 取 0 或 1 值，只要 q 取 0 值，原公式取值为 1，即 00 或 10 都为原公式的成真赋值，而 01，11 为成假赋值，于是公式为非重言式的可满足式。用主析取范式判断公式的类型也是万能的。A 为重言式当且
13、仅当 A 的主析取范式含2n（n 为 A 中所含命题变项的个数）个极小项； A 为矛盾式当且仅当 A 的主析取范式中不含任何极小项，记它的主析取范式为 0；A 为非重言式的可满足式当且仅当 A 的主析取范式中含极小项，但不是完全的。当命题变项较多时，用主析取范式法判公式的类型，运算量是很大的。用主合取范式判断公式的类型也是万能的。A 为重言式当且仅当 A 的主合取范式中不含任何极大项，此时记 A 的主合取范式为 1；A 为矛盾式当且仅当 A 的主合取范式含 2n个极大项（n 为 A 中含的命题变项的个数） ；A 为非重言式的可满足式当且仅当 A 的主析取范式中含含极大项，但不是全部的。1.8
14、（1）从左边开始演算(pq) (pq) p(qq) （分配律）p1 （排中律）p. （同一律）（2）从右边开始演算p(qr)p(qr) （蕴含等值式）(pq)(pr) （分配律）(pq) (p r). （蕴含等值式）（3）从左边开始演算(pq)7(pq) (qp)(pq)(pq)(pq)(p)(qq) (p q)(pq)(pq)(pq)(pq).请读者填上每步所用的基本等值式。本题也可以从右边开始演算(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(p q)(pq) (pq)(pq)(pq)(qp)(qq) (1pq)(qp) 1(pq) (qp)(pq).读者填上每步所用的基本的等值式。1.9 （1
15、）(pq) p)(pq)p （蕴含等值式）(pq) p) （德摩根律） pqp （结合律、交换律）(pp) q （矛盾式）0. （零律）8由最后一步可知该公式为矛盾式。（2）(pq)(qp) (pq)(pq)p) （蕴含等值式）由于较高层次等价号两边的公式相同，因而此公式无成假赋值，所以，它为重言式。（3）(pq)(qp)(pq) (qp) （蕴含等值式）(pq)(qp) （蕴含等值式）(pq)qp （德摩根律）qp （吸收律）pq. （交换律）由最后一步容易观察到，11 为该公式成假赋值，因而它不是重言式，又 00，01，10为成真赋值，因而它不是矛盾式，它是非重言式的可满足式。1.10 题
16、中给出的 F，G ，H，R 都是 2 元真值函数。给出的 5 个联结词集都是全功能集，可以用观察法或等值演算法寻找与真值函数等值的公式。首先寻找在各联结词集中与 F 等值的公式。（1）设 A=(pq)，易知 A 是,中公式且与 F 等值，即 FA.（2）设 B=pq，易知 B 是,中公式且与 F 等值，即 FB.（3）设 C=(pq)，易知 C 是, 中公式，且 FC.（4）设 D=(p(qq)(p (qq)，易知 D 为 中公式，且 FD.（5）设 E=(pp)q，易知 E 为 中公式，且 FE.分析 1 只要找到一个联结词集中与 F 等值的公式，经过等值演算就可以找出其他联结词集中与 F
17、等值的公式。例如，已知 A=(pq)是, 公式，且 FA 。进行以下演算，就可以找到 F 等值的其他联结词集中的公式。对 A 进行等值演算，消去联结词，用，取代，得9A=(pq)(pq)pq 记为 B.则 B 为,中公式，且 FB。再对 A 进行等值演算，消去，用，取代，得A=(pq)(pq)记为 C.则 C 为,中公式，且 FC。再对 B 进行演算，消去，用取代，在演算中，注意，对于任意的公式 A，有A(A A)AA.B=pq p(qq)(p(qq)(p(qq)(p(q q)(p(qq)记为 D.则 D 为中公式，且 FD.再对 C 进行演算，消去,用取代，在演算中注意，对于任意的公式 AA
18、(A A)AA.C=(pq)pq(pp) q 记为 E.则 E 为 中公式，且 FE.2 开始找一个与某真值函数等值的公式的方法，除观察法外，就是根据10该真值函数的真值表，求它的主析取范式，而后进行等值演算即可。例如，由 G 的真值表可知 G 的主析取范式为 m1m3 ，于是Gm1m3(pq)(pq)(pp)qq.由于公式 q 不带联结词，所以，它应该为任何联结词集中的合式公式。3 在各联结词集中找到的与某真值函数等值的公式并不唯一。例如，取A=qq. (,中公式 )B=qq. (, 中公式)C=qq. (, 中公式)D=(qq)(qq). (中公式)E=(qq) (qq). ( 中公式)则
19、 GABCDE, 对于同一个真值函数 G，找到与它等值的形式各异的公式。对于 H 和 R，请读者自己去完成。1.11 （1）对 C 是否为矛盾式进行讨论。当 C 不是矛盾式时，ACB C，则一定有 AB，这是因为，此时，ACA,B CB，所以，有AACBB必有 AB而当 C 不是矛盾式时，ACB C，不一定有 A B，举反例如下：设 A,B,C 均为含命题变项 p,q 的公式，A，B ，C 及 AC,B C 的真值表如表 1.4 所示，从表 1.4 可看出，ACB C，但 AB 。表 1.411p q A B C AVC BVC0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 01 0 1 1
20、 1 1 11 1 0 1 1 1 1(2) 对 C 是否为重言式进行讨论:若 C 为重言式,则 AC A,CB, 于是AACBC B.因而有AB当 C 不是重言式时,请读者举反例说明 , ACB C 时, 不一定有 AB.(3) 若AB, 则 AB.证明如下:AA (双重否定律)B (AB)B (双重否定律)所以AB1.12 (1) 设(1) 中公式为 A.A(p(qr)(pqr)A(p(qr)(pqr)Ap(q r)(p qr)A(pq)(qr)(pqr)A(pq(rr) (pqr)r) (pqr)(pqr)(pqr)Am0m1m712于是,公式 A 的主析取范式为m0m1m2m7 易知,
21、A 的主合取范式为M3M4 M5 M6A 的成真赋值为000, 001, 010, 111A 的成假赋值为011,100,101,110(2)设(2) 中公式为 BB(pq)(qp)(pq) (q p)(pq)(qp)(pq)(qp)(pq)q pqp (吸收律)(pq) )p(qp)(pq)p(pq)(pq)m0 m2 m3所以,B 的主析取范式为 m0m2m3.B 的主合取范式为 M1B 的成真赋值为 00,10,11.B 的成假赋值为 01.(3)设(3)中公式为 C.C(p q)qr(pq)qr13 p(qq)rp0r0.所以,C 的主析取范式为 0.C 的主合取范式为 M0 M1M2
22、M3C 的成假赋值为 00,01,10,11C 无成真赋值,C 为矛盾式.分析 1设公式 A 中含 n(n1) 个命题变项,且 A 的主析取范式中含 l(0l 2n) 个极小项,则 A 的主合邓范式中含 2nl 个极大项,而且极大项的角标分别为 0 到 2n1 这 2n 个十进制数中未在 A 的主析取范式的极小项角标中出现过的十进制数.在(1)中,n=3,A 的主析取范式中含 4 个极小项,所以,A 的主合取范式中必含 234=4 个极大项,它们的角标为 0 到 7 中未在主析取范式的极小项角标中出现过的 3,4,5,6. 这样,只要知道 A 的主析取范式,它的主合邓范式自然也就知道了 ,在(
23、2),(3)中情况类似.2 A 的主析取范式中极小项角标的二进制表示即为 A 的成真赋值.在(1) 中,由于主析取范式中的极小项角标分别为 0,1,2,7,它们的二进制表示分别为 000,001,010,111,所以,A 的成真赋值为以上各值.类似地,A 的主合取范式中所含极大项角标的二进制表示 ,即为 A 的成假赋值.1.13 (1) 首先求 p(q r)的主析取范式.p(qr)p(q r)pqr).由于演算过程较长,可以分别先求出由p,q,r 派生的极小项.注意,本公式中含 3 个命题变项,所以,极小项长度为 3.14pp(qq)(r r)(pqr) (pqr)(pqr)(pqr)m0m1
24、m2m3p(pp)q (r r)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)m0m1m4m5r(pp)(qq)r(pqr) (pqr)(pq r)(p qr)m1m31m5m7p(qr) m0m1m2m3 m4 m5m7类似地,可求出 q(pr)主的析取范式也为上式,由于公式的主析取范式的唯一性,可知,(p(q r)(q(p r).(2) pq(pq)pq(p(qq) (pp)q)(pq)(pq) (pp)(pq)(pq)(pq)(pp)15m0m1m2.pq(pq)pqm0.由于 pq 与 pq 的主析取范式不同.因而它们不等值,即 pq pq.1.14 设 p:A 输入;设 q:B 输入 ;设
25、 r:C 输入;由题的条件,容易写出 FA,FB,FC 的真值表,见表 1.5 所示.由真值表分别写出它们的主析范邓范式,而后,将它们都化成与之等值的 中的公式即可 .表 1.5p q r F F FA B C0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 10 1 0 0 1 00 1 1 0 1 01 0 0 1 0 01 0 1 1 0 01 1 0 1 0 01 1 1 1 0 0FA(pq r) (p qr) (p qr)(p qr)(pq)(rr)(pq)(rr)(pq)(pq) p16(pq)(pq)(pq)(pq)(p p)FB(pqr)(pqr)(pq)(rr)(pq)(pq)(p
26、q) pq) p(qq).FC (pp r)(pq)r(pq)r(pq)r(pq)r(pq)r(pq) (pq) (r r)分析 在将公式化成或 中公式时,应分以下几步:(1)先将公式化成全功能集,中的公式.(2) 使用A(A A)AA,17或A(A A)AA.使用双重否定律AB(AB)(A B)(A B) (AB)或AB(AB)(A B)(A B) (AB)使用德 摩根律AB(AB)(AB)A B(AA) (BB)或AB(AB)(AB)A B(AA) (BB)115 设 p：矿样为铁；q：矿样为铜；r：矿样为锡.设F1(甲全对 )(乙对一半)(丙全错) ，(pq)(pr)(pr)(pr)(p
27、q prpr)(pqprp r)000.F2(甲全对 )(乙全错)( 丙对一半)(pq)(pr)(pr)(pr)18(pqpr pr)(pqprp r)000F3(甲对一半)(乙全对)(丙全错)(pq)(p q)(pr)(pr)(pqprp r(pq p r p r)(pqr) 0pqr.F4(甲对一半 )(乙全错) (丙全对) (pq)(pq)(pr)(p r)(pqr pr(pq prpr)0(pqr) pqr.F5(甲会错 )(乙对一半) (丙全对)(pq) (p r)(pr)(pr)(pqprpr(pqprpr)000.F6(甲全错 )(乙全对)(丙对一半)(pq) (p r) (pr
28、)(pr)19 (pqprpr(pqprpr)000.设F(一人全对 )(一人对一半) (一人全错)则 F 为真命题，并且FF1F2 F3F4F5F6(pqr) (p q r)1.但，矿样不可能既是铜又是锡，于是 q,r 中必有假命题，所以pqr 0,因而必有pqr 1.于是，必有 P 为真，q 与 r 为假，即矿样为铁。1.16 令 p：今天是 1 号；q：明天是 5 号.由于本题给出的推理都比较简单，因而可以直接判断推理的形式结构是否为重言式。（1）推理的形式结构为(pq) pq.可以用多种方法判断上公式为重言式，其实，本推理满足假言推理定律，即(pq) pq.所以，推理正确。（2）推理的
29、形式结构为(pq) pq.可以用多种方法证明上公式不是重言式，其实，当 p 为假（即今天不是 1 号） ，q 为真（明天真是 5 号） ，也即 01 是上面公式的成假赋值，所以，推理的20形式结构不是重方式，故，推理不正确。（3）推理的形式结构为(pq) pq.可以用多种方法证明上面公式为重言式，其实，它满足拒取式推理定律，即(pq) pq.所以，推理正确。（4）推理的形式结构为(pq) pq.可以用多种方法证明上公式不是重言式，01 为上公式的成假赋值，所以，推理不正确。分析 对于前提与结论都比较简单的推理，最好直接判推理的形式结构是否为重言式，来判断推理是否正确，若能观察出一个成假赋值，立
30、刻可知，推理不正确。117 (1)证明 qr 前提引入r 前提引入q 析取三段论(pq) 前提引入pq 置换p 析取三段论（2）证明 p(qs) 前提引入q(qs) 置换q 前提引入ps 假言推理pr 前提引入21r p 置换rs 假言三段论（3）证明 p 附加前提引入pq 前提引入q 假言推理pq 合取或者证明 pq 前提引入pq 置换(pp)(pq) 置换p(pq) 置换p(pq) 置换（4）证明 前提引入(s t)(ts) 置换 化简tr 前提引入ts 假言推理 前提引入(qs)(s q) 置换sq 化简q 似言推理q p 前提引入22 p 假言推理r 化简pqsr 合取分析 由于(A1
31、A2L Ak)(CB)(A1A2LAk)(CB)(A1A2LAkC)BA1A2LAkCB所以,当推理的结论也为蕴含式时,可以将结论的前件作为推理的前提,称为附加前提,并称使用附加前提的证明方法为附加前提证明法.(3)中第一个证明 ,即为附加前提证明法.1.18 设 p：他是理科生q：他是文科生r：他学好数学前提 pr,qp,r结论 q通过对前提和结论的观察，知道推理是正确的，下面用构造证明法给以证明。证明 pr 前提引入r 前提引入p 拒取式q p 前提引入q 拒邓式q 置理119 本题可以用多种方法求解，根据要求回答问题，解本题最好的方法是真值表示或主析取范式法。这里采用主析取范式的主析取范
32、式（过程略）23p(qr)m2m4m5m6m7所以，成真赋值为 010，100，101，110，111，由给也，成假赋值为000，001，011，由给出，公式是非重言式的可满足式，由给出。120 答案 A：； B：； C：分析 解本题的方法不限于求主析取范式或主合取范式，也可以利用真值表法。方法 1： 求主析取范式(pq)r(pq) r(pq) (rr)(pp)(qq)rm1m3m5m6m7从上式可知，(pq) r 的主析取范式中含 5 个极小项。极小项角码的二进制表示为成真赋值，因而成真赋值为 001，011，101，110，111。由成真赋值立即可知成假赋值为000，010，100，成假赋
33、值的十进制的十进表示为极大项的角码，因而极大项为M0,M2,M4，故有 3 个极大项。方法 2：求主合取范式，分析类似主析取范式法。方法 3：真值表法由真值表，求出成真赋值，将成真赋值转化成十进制数做为极小项的角码，这样就求出了全部极小项，也容易求出极大项。121 答案 A：； B：； C：分析 可用构造证明法解此题。（1） qr 前提引入r 前提引入q 析取三段论24(pq) 前提引入pq 置换p 析取三段论至此可知p 是（1）的逻辑结论。（2） rs 前提引入s 前提引入r 析取三段论(pq) r 前提引入(pq) 置换pq 置换至此可知pq 是（2）的国逻辑结论。（3） pq 前提引入p
34、q 置换前提引入qr 前提引入qr 置换pr 假言推理rs 前提引入ps 假言推理至此可知 ps 是（3）的逻辑结论。122 答案 A：分析 在本题中，设 A，B ，C 分别表示 3 个开关状态的命题变项，开关的扳键向上时，对应命题变项的真值为 1，否则为 0，由真值表易知。F(AB C)(ABC)(A BC) (A BC)25A (BC)(BC)A(BC) (BC)(A(BC)(A(B C)(BC) (A(BC)(A (BC) (BC) (A(B C)(A(BC)ABC26第 2 章 习题解答2.1 本题没有给出个体域,因而使用全 总个体域.(1) 令 F(x):x 是鸟G(x):x 会飞翔
35、.命题符号化为x(F(x) G(x).(2)令 F(x):x 为人.G(x):x 爱吃糖命题符号化为x(F(x)G(x)或者x(F(x) G(x)(3)令 F(x):x 为人.G(x):x 爱看小说.命题符号化为x(F(x) G(x).(4) F(x):x 为人.G(x):x 爱看电视.命题符号化为x(F(x)G(x).分析 1如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。 （1）-（4）中的 F(x)都是特性谓词。2 初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为27x(F(x) G(x)即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。将（1）中命
36、题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。 ”因而符号化应该使用联结词而不能使用。若使用，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。 ”这显然改变了原命题的意义。3 （2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2） ， （4）中两公式各为等值的。2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为xF(x)其中 F(x):(x+1)2=x2+2x+1,此命题在(a),(b),(c)中均为真命题。（2） 在(a),(b),(c)中均符号化为xG(x)其中 G(x):x+2=0，此命题在（a）中为假命题，在(b)(c
37、)中均为真命题。（3）在(a),(b),(c)中均符号化为xH(x)其中 H(x):5x=1.此命题在 (a),(b)中均为假命题，在(c)中为真命题。分析 1命题的真值与个体域有关。2 有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题“人都呼吸” 。在个体域为人类集合时，应符号化为xF(x)这里，F(x):x 呼吸，没有引入特性谓词。在个体域为全总个体域时，应符号化为x(F(x) G(x)这里，F(x):x 为人，且 F(x)为特性谓词。G(x):x 呼吸。2823 因题目中未给出个体域，因而应采用全总个体域。（1） 令：F(x):x 是大学生，G(x):x 是文科生，H(x):x 是理科生，命题符号化为x(F(x) (G(x)H(x)（2）令 F(x):x 是人，G(y):y 是化，H(x):x 喜欢，命题符 号化为x(F(x) y(G(y)H(x,y)（3）令 F(x):x 是人，G(x):x 犯错误，命题符号化为x(F(x)G(x),或另一种等值的形式为x(F(x) G(x)（4）令 F(x):x 在北京工作，G(x):x 是北京人，命题符号化为x(F(x)G(x),或x(F(x) G(x),（5）令 F(x):x 是金属，G(y):y 是液体，H(x,y):x 溶解在 y 中，命题符号化为
