1、高中数学（人教 A 版）必修 5 能力强化提升及单元测试(25 份)第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理双基达标 限时 20 分钟1在ABC 中，若 a5，b3，C120，则 sin Asin B 的值是 ( )A. B. C. D.53 35 37 57解析 在ABC 中，C120，故 A，B 都是锐角据正弦定理 .sin Asin B ab 53答案 A2在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c.若 ac ，且角 A75，则6 2b ( )A2 B42 3C42 D. 3 6 2解析 如图所示在ABC 中，由正弦定理得 4.b2.bsin 30 6
2、 2sin 75 6 2sin45 303在ABC 中，若 sin Asin B，则角 A 与角 B 的大小关系为 ( )AA B BAsin B2Rsin A2Rsin B(R 为ABC 外接圆的半径)abAB.答案 A4在ABC 中，若 AC ，BC 2，B60，则 C_.6解析 由正弦定理得 ，2sin A 6sin 60sin A .22BC2b，有一解答案 6在ABC 中，若 ，试判断三角形的形状cos Acos B ba 43解 由正弦定理知 ，cos Acos B sin Bsin A 43sin Acos A sin Bcos B，sin 2Asin 2B，2A2B 或 2A2
3、B，AB 或 AB . 2又 1，B A，ABC 为直角三角形ba综合提高 限时 25 分钟7在ABC 中，若 ，则ABC 中最长的边是 ( sin Aa cos Bb cos Cc)Aa Bb Cc Db 或 c解析 由正弦定理知 sin B cos B，sin Ccos C，BC 45，A90 ，故选 A.答案 A8在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m( ，1)，n(cos A，sin 3A)，若 mn，且 acos Bbcos Ac sin C，则角 A，B 的大小为 ( )A. ， B. ，6 3 23 6C. ， D. ，3 6 3 3解析 mn， co
4、s Asin A0，3tan A ， A ，33由正弦定理得 sin Acos Bsin Bcos Asin 2C，sin(AB )sin 2C，即 sin C1，C ，B .2 6答案 C9在ABC 中，若 AB C123，a1，则_.a 2b csin A 2sin B sin C解析 由已知 A30，B60，C90 ， 2.asin A 2.asin A 2b2sin B csin C a 2b csin A 2sin B sin C答案 210在ABC 中，已知 a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，若 b2a，BA60，则A_.解析 b2a，sin B2sin A，又BA60
5、，sin(A60)2sin A即 sin Acos 60cos Asin 602sin A，化简得：sin A cos A， tan A ，A30.33 33答案 3011已知方程 x2( bcos A)x acos B0 的两根之积等于两根之和，且 a、b 为ABC 的两边，A、B 为两内角，试判定这个三角形的形状解：设方程的两根为 x1、x 2，由根与系数的关系，得Error!bcos A acos B.由正弦定理得：sin Bcos Asin Acos Bsin Acos B cos Asin B0，sin(AB )0.A、B 为ABC 的内角，0A，0B，AB.AB0，即 AB.故AB
6、C 为等腰三角形12(创新拓展)在ABC 中，已知 ，且 cos(AB) cos C1cos 2C.a ba sin Bsin B sin A(1)试确定ABC 的形状；(2)求 的取值范围a cb解 (1)在ABC 中，设其外接圆半径为 R，根据正弦定理得sin A ，sin B ，a2R b2R代入 ，得： ，a ba sin Bsin B sin A a ba bb ab 2a 2ab.cos(AB )cos C1cos 2C ，cos(AB )cos( AB)2sin 2C，sin Asin Bsin 2C.由正弦定理，得 2，a2Rb2R (c2R)abc 2.把代入得，b 2a 2
7、c 2，即 a2c 2b 2.ABC 是直角三角形(2)由(1)知 B ，AC ，2 2C A .2sin Csin cos A.(2 A)根据正弦定理， a cb sin A sin Csin Bsin Acos A sin .2 (A 4)00，则ABCc2 a2 b22ab( )A一定是锐角三角形 B一定是直角三角形C一定是钝角三角形 D是锐角或直角三角形解析 0，c 2a 2b 20.c2 a2 b22aba 2b 2a，则 BA，7cos A .1 sin2A5714tan A .sin Acos A 3512(创新拓展)在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且
8、2asin A(2bc )sin B(2 cb)sin C.(1)求 A 的大小；(2)若 sin Bsin C1，试判断ABC 的形状解 (1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc) b(2c b)c，即 a2b 2c 2bc .由余弦定理 a2b 2c 22bc cos A，故 cos A .12又 A(0，)，A .23(2)由(1)中 a2b 2c 2bc 及正弦定理，可得sin2Asin 2Bsin 2Csin Bsin C，即 2sin 2Bsin 2Csin B sin C，(32)又 sin Bsin C1，得 sin Bsin C ，12又 038.22 3答案 无11.为了
9、测量两山顶 M、N 间的距离，飞机沿水平方向在 A、B 两点进行测量，A、B 、M、N 在同一个铅垂平面内，如图，飞机能测量的数据有俯角和 A、B 间的距离，请设计一个方案；包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算 M、N 间的距离的步骤解 需要测量的数据有 A 到 M、N 的俯角1、 1，B 到 M、N 的俯角 2、 2，A、B 的距离 d(如图所示) 方案一：第一步：计算 AM，由正弦定理AM ；dsin 2sin1 2第二步：计算 AN，由正弦定理 AN ；dsin 2sin2 1第三步：计算 MN，由余弦定理MN .AM2 AN2 2AMANcos1
10、1方案二：第一步：计算 BM，由正弦定理 BM ；dsin 1sin1 2第二步：计算 BN，由正弦定理 BN ；dsin 1sin2 1第三步：计算 MN，由余弦定理MN .BM2 BN2 2BMBNcos2 212(创新拓展) 某海上养殖基地 A 接到气象部门预报，位于基地南偏东 60距离 20( 1)海3里的海面上有一台风中心，影响半径为 20海里，正以每小时 10 海里的速度沿某一2方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且( 1)小时后开3始影响基地持续 2 小时求台风移动的方向解 如题图所示，设预报时台风中心为 B，开始影响基地时台风中心为 C，则 B，C，D 在同一直线
11、上，且 AD20 海里，AC 20 海里由题意知，AB20( 1) 海里，DC210 20 海里，BC( 1)3 2 2 310 海里2在ADC 中，DC 2AD 2AC 2，DAC90 ，ADC 45.在ABC 中，由余弦定理得cosBAC ，AC2 AB2 BC22ACAB 32BAC30，又B 位于 A 的南偏东 60，且 6030 90180，D 位于 A 的正北方向，又ADC45，台风移动的方向为 的方向，即北偏西 45方向CD 所以台风向北偏西 45方向移动第 2 课时 正、余弦定理在三角形中的应用双基达标 限时 20 分钟1在ABC 中，A60，AB2，且ABC 的面积 SABC
12、 ，则边 BC 的长为 ( 32)A. B3 C. D73 7解析 S ABC ABACsin A ，AC1.12 32由余弦定理可得 BC2AB 2AC 22ABAC cos A41221cos 603.即 BC.3答案 A2已知锐角ABC 的面积为 3 ，BC4，CA 3，则角 C 的大小为 ( 3)A75 B60 C45 D30解析 由ABC 的面积为 3 ，且 BC4，CA 3 可知3BCCAsin C 3 ，sin C ，12 3 32又ABC 为锐角三角形，C60.答案 B3一梯形的两腰长分别为 2 和 6，它的一个底角为 60，则它的另一个底角的余弦值为( )A. B. C D3
13、6 336 66 336解析 如图所示设梯形 ABCD 中，ADBC.由题意可知 C60.过 D 作 AB 的平行线 DB与 BC 交于 B.在BCD 中，BDAB 6，CD2，C60，DB C B，于是 sinDBC sin C ，CDB D 36cosDB C .故选 B.1 sin2CB D336答案 B4在ABC 中，已知 a5，b7，B120，则ABC 的面积为_解析 由余弦定理得 b2a 2c 22accos B，即 c25c240，解得 c3.S ABC acsin B 53sin 120 .12 12 1534答案 15345在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别是 a，b
14、，c，已知 A ，b1，三角形 ABC 的外3接圆半径为 1，则ABC 的面积 S_.解析 由正弦定理 2R，a ，sin asin A bsin B 3B ，a b，AB，B ，C .S ABC .12 6 2 32答案 326(2011海口高一月考)在 ABC 中，A120，c b，a ，S ABC ，求 b，c .21 3解 S ABC bcsin A ， bc4.12 3又 a2b 2c 22bc cos A，bc5，又 cb，由得 b1，c 4.综合提高 限时 25 分钟7在ABC 中，c ，b1，B30 ，则ABC 的面积为 ( 3)A. 或 B. 或32 3 32 34C. 或
15、D.334 3解析 根据正弦定理：sin C sin 30 .csin Bb 3 32cb，CB30 ，C60或 120.当 C60时， A180 ( BC)180(3060)90，ABC 的面积 S bc ；12 32当 C120时， A180 (30120)30，ABC 的面积 S bcsin A 1 sin 30 .12 12 3 34答案 B8在ABC 中，A60，b1，其面积为 ，则 等于 ( 3asin A)A. B. C. D32393 2293 2633 3解析 由 SABC bcsin A 可知 c4.12 3由余弦定理得 a2b 2c 22bccos A1168cos 60
16、13，a . .13asin A 13sin 60 2393答案 A9已知等腰三角形的底边长为 6，一腰长为 12，则它的内切圆面积为_解析 不妨设三角形三边为 a，b，c，且 a6，bc12，由余弦定理得：cos A ，b2 c2 a22bc 122 122 6221212 78sin A .1 (78)2 158由 (abc)r bcsin A 得 r .12 12 3155S 内切圆 r 2 .275答案 27510在ABCD 中，AB 6，AD3，BAD60，则ABCD 的对角线 AC 长为_，面积为_解析 在ABCD 中，连接 AC，则 CDAB 6，ADC180 BAD 18060
17、120.根据余弦定理得，AC AD2 CD2 2ADCDcos 120 32 62 236( 12)3 .7SABCD2S ABD AB ADsinBAD63sin 60 9 .3答案 3 97 311在ABC 中，内角 A，B，C 对边分别是 a，b，c，已知 c2，C .3(1)若ABC 的面积等于 ，求 a，b；3(2)若 sin B2sin A，求ABC 的面积解 (1)S absin C ab ，12 12 32 3ab4. c 2a 2b 22abcos C(ab) 22ab2abcos C( ab) 2124.ab4. 由可得 a2，b2.(2)sin B2sin A，b2a.又
18、c 2a 2b 22abcos C(ab) 23ab4.a ，b .233 433S absin C .12 23312(创新拓展)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 cos C ，15(1)求 sin 的值；(C 4)(2)若 1 ，ab ，求边 c 的值及ABC 的面积CA CB 37解 (1)由 sin2Ccos 2C1，得 sin C .265则 sin sin Ccos cos Csin .(C 4) 4 4 265 22 15 22 43 210(2)因为 C | | |cos C1，则 ab5.CA B CA CB 又 ab ，所以 a2b 2(ab)
19、22ab27.37所以 c2a 2b 22abcos C25，则 c5.所以 SABC absin C .12 6第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法第 1 课时 数列的概念与通项公式双基达标 限时 20 分钟1下列说法中，正确的是 ( )A数列 1,3,5,7 可表示为1,3,5,7B数列 1,0，1，2 与数列 2，1,0,1 是相同的数列C数列 的第 k 项是 1n 1n 1kD数列 0,2,4,6,8，可表示为 an2n( nN *)解析 A 错，1,3,5,7是集合B 错，是两个不同的数列，顺序不同 C 正确，a k1 .D 错，a n2(n 1)(nN *)k 1k 1k答案
20、 C2已知数列 ，3， ， ， 3 ， ，则 9 是这个数列的 ( ) 3 15 21 3 32n 1A第 12 项 B第 13 项C第 14 项 D第 15 项解析 令 an 9，解得 n14.32n 1答案 C3在数列 1,1,2,3,5,8，x,21,34,55 中，x 等于 ( )A11 B12 C13 D14解析 从第三项起每一项都等于前连续两项的和，即 ana n1 a n2 ，所以x5813.答案 C4600 是数列 12,23,34,45，的第_项解析 a nn(n1)6002425，n24.答案 245已知数列a n满足 a10， (nN *)，则数列 an是_数列(填“递增
21、”或an 1an 12“递减”)解析 由已知 a10，a n1 an(nN *)，12得 an0(nN *)又 an1 a n ana n an0，易知正确答案 A8古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图 1 中的 1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )A289 B1 024 C1 225 D1 378解析 由图形可得三角形数构成的数列通项 an (n1) ，同理可得正方形数构成的数n2列通项 bnn 2，而所给的选项中只有 1 225
22、满足 a49 b 3535 21 225.故选 C.49502答案 C9数列 ， ，的一个通项公式是_3512 51137解析 数列可写为： ， ， ，3548 511 614分子满足：312,422,532,642，分母满足：5312,8322,11332,14342，故通项公式为 an .n 23n 2答案 a nn 23n 210如图 1 是第七届国际数学教育大会(简称 ICME7) 的会徽图案，会徽的主体图案是由如图 2 的一连串直角三角形演化而成的，其中 OA1A 1A2A 2A3A 7A81，如果把图 2 中的直角三角形继续作下去，记 OA1，OA 2， OAn，的长度构成数列a
23、n，则此数列的通项公式为 an_.解析 OA 11，OA 2 ，OA 3 ，OA n ，2 3 na 11，a 2 ，a 3 ，a n .2 3 n答案 n11已知数列 .9n2 9n 29n2 1 (1)求这个数列的第 10 项；(2) 是不是该数列中的项，为什么？98101(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1) 内；(4)在区间 内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由(13，23)(1)解 设 f(n) .9n2 9n 29n2 1 3n 13n 23n 13n 1 3n 23n 1令 n10，得第 10 项 a10f(10) .2831(2)解 令 ，得 9n300.3n
24、23n 1 98101此方程无正整数解，所以 不是该数列中的项98101(3)证明 a n 1 ，3n 23n 1 3n 1 33n 1 33n 1又 nN *，0 1，0a n1.33n 1数列中的各项都在区间(0,1)内(4)解 令 an ，13 3n 23n 1 23Error!Error! n .76 83当且仅当 n2 时，上式成立，故区间 上有数列中的项，且只有一项(13，23)为 a2 .4712(创新拓展)已知 an的通项公式为 an3n1，是否存在 m，k N *，满足ama m1 a k？如果存在，求出 m，k 的值；如果不存在，说明理由解 由 ama m1 a k，得 6
25、m53k1，整理后，可得 k2m ，43m，kN *， k 2m 为整数，不存在 m，kN *使等式成立第 2 课时 数列的性质与递推公式双基达标 限时 20 分钟1在递减数列a n中，a nkn(k 为常数)，则实数 k 的取值范围是 ( )AR B(0，)C(，0) D( ，0解析 a n是递减数列，a n1 a nk( n1)kn k0，(n1)a n1 na n0. .an 1an nn 1a na 1 a2a1a3a2 anan 11 .12 23 34 n 1n 1n法二 (换元法)由已知得( n1) an1 na n0，设 bnna n，则 bn1 b n0.b n是常数列b nb 11a 11，即 nan1.a n .1n综合提高 限时 25 分钟7数列 1,3,6,10,15，的递推公式是 ( )Aa n1 a nn，nN *Ba na n1 n，nN *，n2Ca n1 a n(n1)，nN *，n2Da na n1 (n1)，nN *，n2解析 经验证 B 选项合适答案 B8已知数列a n满足 an1 Error!若 a1 ，则 a2 011 的值为 ( ) 67A. B. C. D.67 57 37 17
