1、高中奥林匹克物理竞赛解题方法四、等效法方法简介在一些物理问题中，一个过程的发展、一个状态的确定，往往是由多个因素决定的，在这一决定中，若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，则前一些因素与后一些因素是等效的，它们便可以互相代替，而对过程的发展或状态的确定，最后结果并不影响，这种以等效为前提而使某些因素互相代替来研究问题的方法就是等效法.等效思维的实质是在效果相同的情况下，将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律.因此应用等效法时往往是用较简单的因素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解.赛题精讲例 1：如图 41 所示，水平面上，有两
2、个竖直的光滑墙壁 A 和 B，相距为 d，一个小球以初速度 v0 从两墙之间的 O 点斜向上抛出，与 A 和 B 各发生一次弹性碰撞后，正好落回抛出点，求小球的抛射角 .解析：将弹性小球在两墙之间的反弹运动，可等效为一个完整的斜抛运动（见图）.所以可用解斜抛运动的方法求解.由题意得： gvtvdsin2cocs2000可解得抛射角 20arin1d例 2：质点由 A 向 B 做直线运动，A、B 间的距离为 L，已知质点在 A 点的速度为 v0，加速度为 a，如果将 L 分成相等的 n 段，质点每通过 L/n 的距离加速度均增加 a/n，求质点到达 B 时的速度.解析 从 A 到 B 的整个运动
3、过程中，由于加速度均匀增加，故此运动是非匀变速直线运动，而非匀变速直线运动，不能用匀变速直线运动公式求解，但若能将此运动用匀变速直线运动等效代替，则此运动就可以求解.因加速度随通过的距离均匀增加，则此运动中的平均加速度为 naanaa 2)13(2)1(2 末初平由匀变速运动的导出公式得 20vLB平解得 navB)13(20例 3 一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度 的大小与距老鼠洞中心的距离 sv成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离 s1=1m 的 A 点时，速度大小为 ，问当cmv/201老鼠到达距老鼠洞中心 s2=2m 的 B 点时，其速度大小 老鼠从 A 点到达 B 点所用的?2
4、时间 t=？解析 我们知道当汽车以恒定功率行驶时，其速度 v 与牵引力 F 成反比，即，v=P/F ，由此可把老鼠的运动等效为在外力以恒定的功率牵引下的弹簧的运动.由此分析，可写出 kxPFv当 11,sx时将其代入上式求解，得 21svk所以老鼠到达 B 点时的速度 scm/1012再根据外力做的功等于此等效弹簧弹性势能的增加， 212ksPt代入有关量可得 )(2121svPt由此可解得 st 5.70)(21此题也可以用图像法、类比法求解.例 4 如图 42 所示，半径为 r 的铅球内有一半径为 的2r球形空腔，其表面与球面相切，铅球的质量为 M.在铅球和空腔的中心连线上，距离铅球中心
5、L 处有一质量为 m 的小球（可以看成质点） ，求铅球对小球的引力.解析 因为铅球内部有一空腔，不能把它等效成位于球心的质点. 我们设想在铅球的空腔内填充一个密度与铅球相同的小铅球M，然后在对于小球 m 对称的另一侧位置放另一个相同的小铅球M，这样加入的两个小铅球对小球 m 的引力可以抵消，就这样将空腔铅球变成实心铅球，而结果是等效的.带空腔的铅球对 m 的引力等效于实心铅球与另一侧 M 对 m 的引力之和. 设空腔铅球对 m 的引力为 F，实心铅球与M 对 m 的引力分别为 F1、F 2. 则F=F1F 2 经计算可知： ，所以712218)(LG 图 42222 )(7)(rLGmMrF将
6、、代入式，解得空腔铅球对小球的引力为 )2(18221 r例 5 如图 4-3 所示，小球长为 L 的光滑斜面顶端自由下滑，滑到底端时与挡板碰撞并反向弹回，若每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前速度大小的，求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端时，小球总共通过的路程.4解析 小球与挡板碰撞后的速度小于碰撞前的速度，说明碰撞过程中损失能量，每次反弹距离都不及上次大，小球一步一步接近挡板，最终停在挡板处. 我们可以分别计算每次碰撞垢上升的距离 L1、L 2、L n，则小球总共通过的路程为，然后用等比数列求和公式求出结果，但是这种解法很麻sn)(221烦.我们假设小球与挡板碰撞不损失能量，其原来损失的能
7、量看做小球运动过程中克服阻力做功而消耗掉，最终结果是相同的，而阻力在整个运动过程中都有，就可以利用摩擦力做功求出路程.设第一次碰撞前后小球的速度分别为 、 ，碰撞后反弹的距离为 L1，则v1sin21sin21mgLmgLv其中 211 )54(,54v所 以碰撞中损失的动能为 )2516(212vEk根据等效性有 解得等效摩擦力Lf)(1 sin49mgf通过这个结果可以看出等效摩擦力与下滑的长度无关，所以在以后的运动过程中，等效摩擦力都相同. 以整个运动为研究过程，有 iLsf解出小球总共通过的总路程为 .941s此题也可以通过递推法求解，读者可试试.例 6 如图 44 所示，用两根等长的
8、轻质细线悬挂一个小球，设 L 和 已知，当小球垂直于纸面做简谐运动时，其周期为 .解析 此题是一个双线摆，而我们知道单摆的周期，若将又线摆摆长等效为单摆摆长，则双线摆的周期就可以求出来了.将双线摆摆长等效为单摆摆长 ，则此双线摆的周期为sinLglgT/si2/图 43图 44例 8 如图 45 所示，由一根长为 L 的刚性轻杆和杆端的小球组成的单摆做振幅很小的自由振动. 如果杆上的中点固定另一个相同的小球，使单摆变成一个异形复摆，求该复摆的振动周期.解析 复摆这一物理模型属于大学普通物理学的内容，中学阶段限于知识的局限，不能直接求解. 如能进行等效操作，将其转化成中学生熟悉的单摆模型，则求解
9、周期将变得简捷易行.设想有一摆长为 L0 的辅助单摆，与原复摆等周期，两摆分别从摆角 处从静止开始摆动，摆动到与竖直方向夹角为 时，具有相同的角速度 ，对两摆分别应用机械能守恒定律，于是得 22)(1)()cos(21)cos( lmlmgmgl 对单摆，得 00 l联立两式求解，得 l65故原复摆的周期为 .6520glT例 9 粗细均匀的 U 形管内装有某种液体，开始静止在水平面上，如图 46 所示，已知：L=10cm，当此 U 形管以 4m/s2 的加速度水平向右运动时，求两竖直管内液面的高度差.（g=10m/s 2）解析 当 U 形管向右加速运动时，可把液体当做放在等效重力场中， 的方
10、向是等效重力场的竖直方向，这时两边的液面应与等效重力场的水平方向g平行，即与 方向垂直.设 的方向与 g 的方向之间夹角为 ，则 4.0tang由图 46 可知液面与水平方向的夹角为 ，所以， .4.01tanmcLh例 10 光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为 R，在其最低点 A 处放一质量为 m 的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为 ，方向水平向右，g3现给小球一个水平向右的初速度 ，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周0v运动，求 .0v解析 小球同时受到重力和电场力作用，这时也可以认为小球处在等效重力场中.小球受到的等效重力为 mgmgG32)()2图
11、45图 46图 47等效重力加速度 gmGg32与竖直方向的夹角 ，如图 47 甲所示.所以 B 点为等效重力场中轨道的最高0点，如图 47，由题意，小球刚好能做完整的圆周运动，小球运动到 B 点时的速度RgvB在等效重力场中应用机械能守恒定律 2201)cos(1Bmvm将 、 分别代入上式，解得给小球的初速度为gBvgR)13(20例 11 空间某一体积为 V 的区域内的平均电场强度（ E）的定义为niiinVEE121 如图 48 所示，今有一半径为 a 原来不带电的金属球，现使它处于电量为 q 的点电荷的电场中，点电荷位于金属球外，与球心的距离为 R，试计算金属球表面的感应电荷所产生的
12、电场在此球内的平均电场强度.解析 金属球表面的感应电荷产生的球内电场，由静电平衡知识可知等于电量为 q 的点电荷在金属球内产生的电场，其大小相等，方向相反，因此求金属球表面的感应电荷产生的电场，相当于求点电荷 q 在金属球内产生的电场.由平均电场强度公式得 ni niininiiii VrkqEVE1 1211设金属球均匀带电，带电量为 q，其密度为 ，则有ni niiirkrVkE1122为带电球体在 q 所在点产生的场强，因而有 ，方向从 O 指向 q.niiq12 2RkqE图 47 甲图 48例 11 质量为 m 的小球带电量为 Q，在场强为 E 的水平匀强电场中获得竖直向上的初速度为
13、 . 若忽略空气阻力和重力加速度 g 随高度的变化，求小球在运动过程中的最小0v速度.解析 若把电场力 Eq 和重力 mg 合成一个力，则小球相当于只受一个力的作用，由于小球运动的初速度与其所受的合外力之间成一钝角，因此可以把小球的运动看成在等效重力 （即为合外力）作用下的斜抛运动，而做斜抛运动的物体在其速度方向与 垂直时G G的速度为最小，也就是斜抛运动的最高点，由此可见用这种等效法可以较快求得结果.电场力和重力的合力方向如图 49 所示，由图所示的几何关系可知 Eqmgtan小球从 O 点抛出时，在 y 方向上做匀减速直线运动，在 x 轴方向上做匀速直线运动. 当在 y 轴方向上的速度为零
14、时，小球只具有 x 轴方向上的速度，此时小球的速度为最小值，所以 2200min )(cosEqgvv此题也可以用矢量三角形求极值的方法求解，读者可自行解决.例 12 如图 410 所示，R 1、R 2、R 3 为定值电阻，但阻值未知，R x为电阻箱.当 Rx为 时，通过它的电流0时，通过它的电流8;12xAI为当 .602AIx则当 时，求电阻x.03.3x解析 电源电动势 、内电阻 r、电阻 R1、R 2、R 3 均未知，按题目给的电路模型列式求解，显然方程数少于未知量数，于是可采取变换电路结构的方法.将图 410 所示的虚线框内电路看成新的电源，则等效电路如图 410 甲所示，电源的电动
15、势为 ，内电阻为 . 根据r电学知识，新电路不改变 Rx和 Ix的对应关系，有),(1rIx2)(3rRIx图 49图 410图 410 甲由、两式，得 ，2,1rV代入式，可得 83xR例 13 如图 411 所示的甲、乙两个电阻电路具有这样的特性：对于任意阻值的RAB、R BC 和 RCA，相应的电阻 Ra、R b 和 Rc 可确定. 因此在对应点 A 和 a，B 和 b、C 和 c的电位是相同的，并且，流入对应点（例如 A 和 a）的电流也相同，利用这些条件证明： ，并证明对 Rb 和 Rc 也有类似的结果，利用上面的结果求图CABAa411 甲中 P 和 Q 两点之间的电阻.解析 图
16、411 中甲、乙两种电路的接法分别叫三角形接法和星形接法，只有这两种电路任意两对应点之间的总电阻部分都相等，两个电路可以互相等效，对应点A、a、B 、b 和 C、c 将具有相同的电势.由 Rab=RAB，R ac=RAC，R bc=RBC，对 ab 间，有CABABCAB R1)1(同样，ac 间和 bc 间，也有CABABCACRR1)(ABAABcb R1)1(将+得： CABAaR再通过和+，并整理，就得到 Rb 和 RC 的表达式.ABCAcCABAbR下面利用以上结果求图 412 乙中 P 和 Q 两点之间的电阻. 用星形接法代替三角形接法，可得图 412 乙所示电路，PRQS 回路
17、是一个平衡的惠斯登电桥，所以在 RS 之间无电流，因此它与图 412 丙所示电路是等效的. 因此 PQ 之间的总电阻 RPQ 可通过这三个并联电阻求和得到.图 411412 甲 412 乙 412 丙4)6183(PQR例 14 如图 413 所示，放在磁感应强度 B=0.6T 的匀强磁场中的长方形金属线框abcd，框平面与磁感应强度方向垂直，其中 ab 和 bc 各是一段粗细均匀的电阻丝Rab=5 ，R bc=3，线框其余部分电阻忽略不计.现让导体 EF 搁置在 ab、cd 边上，其有效长度 L=0.5m，且与 ab 垂直，阻值 REF=1，并使其从金属框 ad 端以恒定的速度 V=10m/
18、s向右滑动，当 EF 滑过 ab 长的 4/5 距离时，问流过 aE 端的电流多大？解析 EF 向右运动时，产生感应电动势 ，当 EF 滑过 ab 长的 时，电路图可等效54为如图 413 甲所示的电路.根据题设可以求出 EF 产生的感应电动势 ，VBLV3)105.6(,4bcEbaERR此时电源内阻为导体 EF 的电阻， ，则电路中的总电阻为1EFr3)(bcEaRr电路中的总电流为 .1AI通过 aE 的电流为 aE50例 15 有一薄平凹透镜，凹面半径为 0.5m，玻璃的折射率为 1.5，且在平面上镀一层反射层，如图 414 所示，在此系统的左侧主轴上放一物 S，S 距系统 1.5m，
19、问 S 成像于何处？解析 本题可等效为物点 S 先经薄平凹透镜成像，其像为平面镜的物，平面镜对物成像又为薄平凹透镜成像的物，根据成像规律，逐次求出最终像的位置.根据以上分析，首先考虑物 S 经平凹透镜的成像 ，S图 413图 413 甲图 414根据公式 11fP其中 )(1)5.0)(.)(21 mRnf故有 mPP6.5.11成像在左侧，为虚像，该虚像再经平凹透镜成像 后，其像距为S6.012成像在右侧，为虚像，该虚像再经平凹透镜成像 ，有)(1,.,1233 mfPfP其 中故 成虚像于系统右侧 0.375m 处75.016.033此题还可用假设法求解.针对训练1半径为 R 的金属球与大
20、地相连，距球心 L 处有一带电量为+q 的点电荷如图 415 所示. 求（1）球上感应电荷的总电量；（2）q 受到的库仑力.2如图 416 所示，设 9,40,1,5,80, 654321 RRR，求 AB 之间的电阻.7图 415图 416 图 417 图 4183电路如图 417 所示， 时， ，求 AB 间的等效35431R12电阻.4有 9 个电阻联成如图 418 电路，图中数字的单位是 ，求 PQ 两点间的等效电阻.5如图 419 所示电路，求 AB 两点间的等效电阻.6如图 420 所示，由 5 个电阻联成的网络，试求 AB 两点间的等效电阻.7由 7 个阻值均为 r 的电阻组成的
21、网络元如图 421 甲所示.由这种网络元彼此连接形成的无限梯形网络如图 421 乙所示.试求 P、Q 两点之间的等效电阻.8图 422 表示一交流电的电流随时间而变化的图像，此交流电流有效值是（ ）A B C D25A5A25.3A5.39磁流体发电机的示意图如图 423 所示，横截面为距形的管道长为 L，宽为 a，高为 b，上下两个侧面是绝缘体，相距为 a 的两个侧面是电阻可忽略的导体，此两导体侧面与负载电阻 RL 相连.整个管道放在一个匀强磁场中，磁感应强度的大小为 B，方向垂直于图 419 图 420图 421 甲 图 421 乙图 422 图 423 图 424上下侧面向上. 现有电离
22、气体（正、负带电粒子）持续稳定的流经管道，为了使问题简化，设横截面上各点流速相同. 已知流速与电离气体所受的压力成正比；且无论有无磁场存在时，都维持管道两端电离气体的压强差皆为 p. 设无磁场存在时电离气体的流速为 . 求有0v磁场存在时流体发电机的电动势的大小 . 已知电离气体的平均电阻率为 .10一匀质细导线圆环，总电阻为 R，半径为 a，圆环内充满方向垂直于环面的匀强磁场，磁场以速率 K 均匀地随时间增强，环上的 A、D、C 三点位置对称. 电流计 G 连接A、C 两点，如图 424 所示，若电流计内阻为 RG，求通过电流计的电流大小 .11固定在匀强磁场中的正方形导线框 abcd，各边
23、长为 L1，其中 ab 是一端电阻为 R 的均匀电阻丝，其余三边均为电阻可忽略的铜线，磁场的磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里，现有一与 ab 段的材料、粗细、长度都相同的电阻丝 PQ 架在导线框上，如图 425 所示，以恒定的速度 从 ad 滑向 bc，当 PQ 滑过 1/3Lv的距离时，通过 aP 段电阻丝的电流是多大？方向如何？12如图 426 所示，一根长的薄导体平板沿 x 轴放置，板面位于水平位置，板的宽度为 L，电阻可忽略不计，aebcfd 是圆弧形均匀导线，其电阻为 3R，圆弧所在的平面与 x轴垂直，圆弧的两端 a 和 d 与导体板的两个侧面相接解，并可在其上滑动. 圆弧ae=e
24、b=cf=fd=（ 1/8）圆周长，圆弧 bc=（1/4）圆周长，一内阻 Rg=nR 的体积很小的电压表位于圆弧的圆心 O 处，电压表的两端分别用电阻可以忽略的直导线与 b 和 c 点相连，整个装置处在磁感应强度为 B、方向竖直向上的匀强磁场中. 当导体板不动而圆弧导线与电压表一起以恒定的速度 v 沿 x 轴方向平移运动时（1）求电压表的读数；（2）求 e 点与 f 点的电势差（U eR f）.13如图 427 所示，长为 2a、电阻为 r 的均匀细导线首尾相接形成一个半径为 a 的圆.现将电阻为R 的电压表，以及电阻可以忽略的导线，按图 a 和图 b所示的方式分别与圆的两点相连接. 这两点之
25、间的弧线所对圆心角为 .若在垂直圆平面的方向上有均匀变化图 425图 426图 427的匀强磁场，已知磁感应强度的变化率为 k，试问在图a、b 两种情形中，电压表的读数各为多少？14一平凸透镜焦距为 f，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它 2f 处，垂直于主轴主置一高为 H 的物，其下端位于透镜的主轴上如图 428 所示.（1）用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实；（2）用计算法求出此像的位置和大小.15如图 429 所示，折射率 n=1.5 的全反射棱镜上方 6cm 处放置一物体 AB，棱镜直角边长为 6cm，棱镜右侧 10cm 处放置一焦距 f1=10cm 的凸透镜，透镜右侧 15cm 处再放置一焦距 f2=10cm 的凹透镜，求该光学系统成像的位置和放大率.图 28 图 29答案：1 2 3 4 5 6 2)(,RLqK107.04.171.32r 8C 9 10 11 a 向LbRaBvp10RqKaG2vBL1P12 （1） （2） 130,RnBa3avn)23( 224)(sinRrka14 （1）图略 （2）距光心 15凹透镜的右侧 10cm 处，放大率为 2Hf1,
