1、分数求和分数求和的常用方法：1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。典型例题一、公式法：计算： + + + + + +20812083420867分析：这道题中相邻两个加数之间相差 ，成等差数列，我们可以运用等差数列求1和公式：（首项+末项
2、）项数2 来计算。+ + + + + +20812083420867=（ ）200727=13二、图解法：计算： 24816324分析：解法一，先画出线段图：从图中可以看出： =1 =214816324613解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。因此，只要添上一个加数，就能凑成 ，依次向前类推，可以求出算式之和。6413 281624= （ ）61641= （ + ）143= 22164= 3解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半，根据这一特点，我们可以把原式扩大 2 倍，然后两式相减，消去一部分。设 x= 14816324那么，2x=（ ）2 16=1+ 2用得2
3、xx=1+ （ ）148163214816324x= 63所以， =2三、裂项法1、计算： + 612031901分析： 由于每个分数的分子均为 1，先分解分母去找规律：2=12，6=23，12=34，20=45，30=56，110=1011，这些分母均为两个连续自然数的乘积。再变数型：因为 = =1 ， = = ， = = ，2126321431= = - 。这样将连加运算变成加减混合运算，中间分数互相抵消，只留下10头和尾两个分数，给计算带来方便。+ 262130910=1 -41=1=102、计算： 5191332917分析：因为 =1 ， = ， = = ，445432941= 。所以
4、，我们可以将题中的每一个加数都扩大 4 倍后，再分裂成两个数37的差进行简便计算。 5191332917=（ ）44443=（1 ）41=（1 ）437= 93、计算：21 4153649139542分析：因为 =4 =4 =4（1 ） ,=4 =4 =4( ) ,=4 =4 =4( ) ,35417521=4 =4 =4( ) .2157所以，先用裂项法求出分数串的和，使计算简便。21 3415634919425=214（1 + + ）5771=212(1 )7=19124、计算： 650932970218分析：仔细观察后发现，每个加数的分子均比分母少 1.这样可变形为： =1 =121，
5、=1 =1 ， =1 =1 ， =1 =1 ，2112143054=1 =1 .然后再裂项相消。908109 26523721908=（1 ）（1 ）（1 ）(1 )(1 )6 901=199( )0=99( )21345109=99(1 )0=995、计算：1 +432121 10.321分析：可以看出，第一项的分母为 1，第二项的分母为两个数相加，依此类推，最后一个分母是 100 个数相加且都是等差数列。这样，利用等差数列求和公式，或利用分数基本性质，变分母为两个数相乘。再裂项求和。解法一：1 +43212 10.321= + )(.)1()()( = 0.54321=2（1 ）0= 9解
6、法二：原式= )109.21(.)4321()321()(21 = 0.43=2（ ）1.21=2（1 ）0= 96、计算： 5431231 1098分析：可以把题中的每两个加数分解成两个分数之差：， ，)321(321 )4312(14，此时，可消中间，留两头进行巧算。)098098原式= （ ） （ ）+ （ ）211= （ ）3421098= （ ）091= 804四、分组法：计算， + 204120432045620478 204991分析：算式中共有 2002 个分数，从第二个分数 开始依次往后数，每四个分数为一组，到 为止，共有 500 组，每组计算结果都是 0.1原式= +（ ）
7、20420432045（ ） +（ 67891204198204）1= +204= 3五、代入法：计算（1+ ）（ ）（1 ）（4132543251432）4132分析：可以把算式中相同的一部分式子，设字母代替，可化繁为简，化难为易。设 =A， =B，则51432原式=（1+A）B(1+B)A=BABAAB=BA=( )( )514324132=热点习题计算：1、 【1】491349753492、 【 】286183、 【 】302674、 209812071.19991 【 】57685、 【 】335.13 96、2+ 【41 】4202117、 【 】639288、 【 】3940259
8、1645134 219、 1720【原式=1 + - + + 243680=1（ ）+（ ）( )+（ ）5411=1( )+( )( )+( )131510=1 = 】2910、 + + + 020342627082901 1561798011【从第三个分数 开始依次往后数，每 8 个分数为一组，到最后一个分数 为止，共有 250 组，每组计算结果都是 0.所以，原式= + = 】202311、(1+ )（ ）(1+ )(51432615432615432)1【设 1+ =A， =B，原式=A（B+ ）（A+ ）B= 】12、 +（ ）)54321()4321()3(2 20198.2031
9、【原式= +1+ +2+2 +9 =（ +9 ）192=95】13、2001 年是中国共产党建党 80 周年， 是个有特殊意义的分数。如果下式大于2019，那么 n 最小等于多少？2019)1(.43n【1 ，n 】1209814、 )4321()()321()( )0.()9.321(0【先对分母用等差数列求和，再整体裂项求和。原式=1 54324194=14 ( )+ ( ) （ ）1212109=14 （ ）= 】015、 10.16412222 【利用公式 变形各项。原式= = 】2aa 102516、 1.8910.31 )9.53()64(22【利用 变形，分母=100，分子=（2+1） （2-1）+（4+3） （4-3）baba2（10099） （100-99） =3711199=10150,原式= = 】1052
