1、- 1 -陇东学院 20062007 学年第二学期数学与应用数学专业常微分方程课程期末试卷（A）答案一、选择题（每题 3 分，共 15 分） 。1、B 2、D 3、C 4、B 5、A。二、解下列一阶微分方程（每小题 5 分，共 15 分）1、求解方程 ；2)(dxy解 令 ，则 ，代入原方程，得uyud， 2x2x显然， 为方程的一个解，从而 为原方程的一个解。00y当 时，分离变量，再积分，得uCxud2，xuln1ln1即通积分为： Cxyl2、求解方程 ；)1(d2解 当 时，分离变量得yxy12等式两端积分得12dCxy121ln222e,eCxy方程的通积分为212x3、求解方程 y
2、xe3d- 2 -解 齐次方程的通解为xCy3e令非齐次方程的特解为x3)(代入原方程，确定出 5e1原方程的通解为+ xCy3e254、解方程 0d)(22yx解 ，)3e(,2yMxyxN32),(6因此，原方程是全微分方程 取 ，原方程的通积分为)0,(,(0yxCxyx22)d3e或 00即 yxx232e)(5、求解方程 1)y解 令 ，则，原方程的参数形式为xp221xpy由 ，有xdxpd)2()(整理得 01dxp由 ，解得 ，代入参数形式的第三式，得原方程的一个特解为20px2- 3 -24xy由 ，解得 ，代入参数形式的第三式，得原方程通解为01dxpCxp22y三、解下列
3、方程组（每小题 8 分，共 16 分） 。1、求方程组 的通解；yxt4d解 特征方程为014EA即 032特征根为 ， 12对应特征向量应满足103141ba可确定出21同样可算出 对应的特征向量为22ba所以，原方程组的通解为ttCyx2ee31- 4 -2、 （8 分）求方程组 的通解，12321323dyytdyyt解 系数矩阵是1A特征方程为 3(2)0有三重特征根 1,3于是可设其解为 201()xYxRe解得 可分别取 ，相应的 为 ， 为0R,1R1,02R1120,于是可得原方程组三个线性无关解 12122121()00()0()0xxxYxexeYxxe由此可得方程的通解为
4、 123()()()()CYC四、解下列高阶方程（每小题 8 分，共 24 分） 。1、求方程 的通解，390yy解 特征方程为： ，即213，()4)由此得特征根为 ， ，12i32i- 5 -因此，基本解组为 ， ，xe2cos32xei所以通解为 。123xyCCs2、求方程 的通解，(4)540y解 特征方程为： ，即32，2()1由此得特征根为 ， ， 。 23i4i因此，基本解组为 ， ， ， xexcosnx所以通解为 。21234()siyCC3、求方程 的通解，5x解 对应齐次方程的特征方程为 ，即 。250(5)特征根为 ， ，因此齐次方程的通解为102512xyCe由于
5、是单特征根，故已知非齐次方程有形如21()yxAB的特解。将它代入已知方程，并比较 的同次幂系数，得x， ， ，故 。于是，可得通解为30C31y352xxe五、应用题（共 10 分） 。用拉普拉斯变换求解初值问题：； ， 。32txe(0)x()0解 设 是已知初值问题的解。对已知方程两端同时使用拉普拉斯变换，(),LtXst可分别得到 332xLxLx2()s1)X- 6 -3322ttLes故有 ()1()Xs1123s而 23,t t tLeeLes故所求的初值解为 2()tttx六、证明题（共 10 分） 。考察系统 的零解的稳定性与渐dxty解 在 上，初值为 的解为0t0(,)xy0()txtey其中 20x对任一 ，取 ，则当 时，有120()xy1 12 2200()tttey120()xyt故该系统的零解是稳定。又因为 1 12 2200lim(lim()ttt ttxey可见该系统的零解是渐近稳定的。
