1、2016 届高三文科数学 立几每日一题（2 月 1 日）1、如图 5，正三棱柱 ABCA 1B1C1 的所有棱长都为 4，D 为 CC1 中点。（I）求证：AB 1平面 A1BD；（II）求点 C 到平面 ABD 的距离。1.（）证明：如图，取 中点 ，连结 ， .BO1为正三角形， （1 分）ABC 正三棱柱 中，平面 平面 ，1A 1B且面 ABC面 =BC，AO面 （2 分）1C 面 ， . （3 分）BD1CBDO在正方形 中， 分别为 的中点， . （4 分）， 1， 1BDO ， 面 ， 面 . （5 分）1AO1,A 1A又 面 , （6 分）BBD在正方形 中， ， （7 分）
2、11又 平面 （8 分）AD1A（）解： ，三棱锥 的高 ，422BCDS1ABCD123hAO . （9 分）11833ABVh在 中， ，1 221145,4AAB底边 上的高为 ，1D 122 083hD . （10 分）112436ABS设三棱锥 的高为 ，则 ，1Ch11463CABDABVSh ，即 ， （11 分）11ABCDABV4683 ，即点 C 平面 的距离为 . （12 分）2h12（2 月 2 日）2、 如图 6，已知边长为 2 的等边PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面，BC2 ， 分别为 的中点。MO,BCD,（I）证明：AMPM （II ）求三棱锥
3、 MPAO 的体积。2.（）证明： 方法一： 是 的中点， . （1 分）CPC面 PCD面 ABCD,且面 PCD面 ABCD=CD，OP面 PCD， 面 . （2 分）OPABD从而 为直角三角形.,M 是边长为 2 的正三角形， , （3 分）C3PO又 是矩形，且 22CABD （4 分）21OAD（5 分）233P（6 分）2 6MB又 ，221OD ， （7 分）6P ， . （8 分）222APM方法二： 是 的中点， . （1 分）OCDCD面 面 ，面 面 ， ，PBABCPDO面 面 ，A 面 ， . （2 分）MOP又 是矩形， 分别是 的中点，且C, ,2BAC （3
4、分）2213OD（4 分）26AB（5 分）132M （6 分）22OAMAO 面 （7 分）,PP又 面 ， （8 分）（）由（）知， 面 ，即 面 ，且 ，BCDAOM3P是直角三角形，且 ， . （9 分）AO6A3 ， （10 分）11222MS， （11 分）363PAOAVP又 ，三棱锥 的体积为 . （12 分）MOMAO23. 如图，正三棱柱 1CB中，E 是 AC 中点（1）求证：平面 1；（2）若 21A，AB=2，求点 A 到平面 1的距离3.证明：（1）ABCA 1B1C1 是正三棱柱，AA 1平面 ABC， ABCE平 面BEAA 1ABC 是正三角形， E 是 AC
5、 中点，BEAC， AC, 平 面1C平 面BE 平面 ACC1A1BE 平面 BEC1平面 BEC1平面 ACC1A1（2）由题意知，点 A 到平面 BEC1 的距离即点 C 到平面 BEC1 的距离由（1）知平面 BEC1平面 ACC1A1，过点 C 作 CH C1E 于点 H，则 CH平面 BEC1，CH 为点 C 到平面 BEC1 的距离在直角CEC 1 中，CE=1 ，CC 1= ，C 1E= ，由等面积法可得 CH= 点 A 到平面 BEC1 的距离为4. 如图，三棱锥 中，平面 平面 ， ，点 D、E 在线段BPPBA2AC 上，且 AD=DE=EC=2，PD=PC=4 ，点 F
6、 在线段 AB 上，且EF/BC. (I)证明： AB平面 PFE.(II)若四棱锥 P-DFBC 的体积为 7，求线段 BC 的长.解析：(I) 如图, 由 , 知,E 为等腰 中边ECDPPDCBEDCFAPDC 的中点,故 .又平面 平面 ,平面 平面 = ,ACPEPABPCABC平面 , ，所以 平面 ,从而 .B因 = , ,故 .从而 与平面 内两条相交直线2F/EFFE都垂直,所以 平面 .EPAP(II)设 ,则在直角 中, AB=xBCBC2236xBCA从而 ,23612xSA由 , , EF/E得 ，故 ,即 .由 = ,BC9432ABCFSABCAFESDE21=
7、.AFEAFDS21ABC94261x从而四边形 DFBC 的面积为 AFDDFS223636xx23187x由(I)知， PE 平面 ABC，所以 PE 为四棱锥 P-DFBC 的高. 在直角 中，PECPE2C42体积 DFBVPESFB313261873x7故得 , 解得 或 ,由 ,可得 或 ,所以,0264x92x03x或 .C5. 如图 1，直角梯形 ABCD 中， AD BC， ABC90， E、 F 分别为 AD 和 BC 上的点，且EF AB， AD2 AE2 AB4 FC4.将四边形 EFCD 沿 EF 折起成如图 2 的形状，使 AD AE.(1)求证： BC平面 DAE
8、；(2)求四棱锥 D AEFB 的体积解析 (1)证明 BF AE， CF DE， BF CF F， AE DE E，平面 CBF平面 DAE.又 BC平面 CBF， BC平面 DAE.6 分(2)取 AE 的中点 H，连接 DH. EF DE， EF EA， EF平面 DAE.CC1ADBA1D1B1MO又 DH平面 DAE， EF DH. AE DE AD2， DH AE， DH .3 DH平面 AEFB.则四棱锥 DAEFB 的体积 V 22 .12 分13 3 4336. 在正方体 中， 为 的中点， 为 的中点，AB=21ABCM1DOC（I）求证： 平面 ；/（II）求证： 平面
9、；1O（）求三棱锥 的体积1AB6 （ I）证明：连结 ，则 与 的交点为 ，DCO为正方形的对角线，故 为 中点；,CBD连结 MO， 分别为 的中点，,OM1,， 2 分1/B平面 ， 平面 3 分AC1AC平面 4 分1/D（II） ， 平面 ，且 平面 ，B1BDABCD；且 ， 平面 6 分AC11平面 ， ， 7 分1O1OAC连结 ，在 中， ，BM223， ，221619B ， 10 分1OOM又 ， 平面 ； 11 分ACAC法二： , ODM=B1BO=Rt,21BDMMDOOBB1 , MOD=OB1B, ， 190MODB1OM（）求三棱锥 的体积OAB，1116332
10、OABMAVSA 14 分621法二：可证 平面 ，1OB则 111 112263333OABMBMVASOBM7. 如图,四棱锥 PCD,侧面 PA是边长为 的正三角形,且与底面垂直,底面CD是 60的菱形 , 为 的中点 求证: ； 求点 到平面 的距离8. 如图，已知等腰梯形 ABCD中， 1/, 2,BADBCE是 的中点，,将 E沿着 翻折成 1EAEBDM（）求证： 平面 ；（）若 ，求棱锥 的体积1 018. 【解析】 （I） 连接 DE，由题意可知四边形 ABED 和 AECD 是平行四边形，又 AB=AD，所以 ABED 是菱形 （2 分） 故 BMAE， .D 即 AEMB
11、1， .D （4 分）又因为 ， 、 平面 1，所以 平面 MDB1 （5 分）1 AE由题可得 AECD，所以 1C平 面 （6 分） （） 连接 CM，由（）得 AB=AE=BE=2 ，所以 1B为等边三角形 ，（7 分）31MB又 ，2CD01B，即 （9 分）121 MC又 AEB， ， 平面 CDE （10 分）1（11 分）322SCD（12 分）1 13BECDEVB9. 如图 4,三棱柱 中,侧面 侧面 , ,1A1AC1BA12CAB,160A, 为棱 的中点, 为 的中点.H11BAM1BDECABCA1B1C1DH图 4ABCEMGMHDC 1B1A1CBA() 求证:
12、平面 ；1AD1BH() 若 ,求三棱柱 的体积.21AC9.【解析】()连结 ,因为 为正三角形, 为棱 的中点,11H1C所以 ,从而 ,又面 面 ,AHC1AB面 面 , 面 ,11B1A所以 面 ,又 面 ,所以 ,2 分D1B1D设 ,由 ,所以 , ,2a122Ca,又 ,所以 ,11DBA19011AB:所以 ,又 ,11BA所以 ,90设 ,则 ,5 分1O11D由及 ,可得 平面 .6 分ABH1H()方法一:取 中点 ,连结 ,则 ,所以 面 .1M1C/A1C17 分所以 ,10 分11 6233CABABVS所以三棱柱 的体积为 .12 分1CABV方法二:取 中点 ,
13、连结 ,因为 为正三角形,所以 ,1G1AGC因为面 面 ,面 面 , 面 ,1111B,所以 面 ,又 面 ,所以 ,11ABABG又 ,所以 平面 ,所以 为三棱柱 的高,C1AB19 分经计算 , ,11 分3G11122ABCS所以三棱柱 的体积 .121 36ABCVSG分10. 如图 3，正方形 的边长为 ， 、 分别是 和 的中点， 是正方ABCD2EFDBCH形的对角线 与 的交点， 是正方形两对角线的交点，现沿 将 折起到EFNEF的位置，使得 ，连结 PA，PB，PD（如图 4） PPH（）求证： ；（）求三棱锥 的高.ABDPABCDE第 19 题（）证明： 、 分别是
14、和 的中点，EFCDBEF/BD. （1 分）又 ， ，ACBD故折起后有 . （2 分）PH又 ，所以 平面 （3 分）ABFED又 平面 ， ， （4 分）FE ， 平面 ，A,PH 平面 ， （5 分）BDPH又 平面 ， （6 分）BDA（）解：正方形 的边长为 ，C2 ， ， （7 分）4AC,1NPEF 是等腰三角形，连结 ，则 ，PBNBD2PNH 的面积 （8 分）D1422PBDS设三棱锥 的高为 ，则三棱锥 的体积为AhA（9 分）133BDPBV由（）可知 是三棱锥 的高，三棱锥 的体积：HPBDPABD（11 分）11421233PABDABSAH ，即 ，解得 ，即三
15、棱锥 的高为 . （12 分）PV43h211. 如图，四棱锥 中，侧棱 底面 ，底面 为菱形， 为侧ABCDPABCA棱 上一点C若 ，求证：平面 平面 ；PEE若 平面 ，求证： 是 的中点/11证明：连接 ，因为 为菱形，所以ABC1 分BDA因为 底面 ，所PD以2 分因为 ，所以 平面 4 分， 5 分ACPBDPACPCBD因为 ， ，所以 平面 6 分BEEE因为 平面 ，所以平面 平面 8 分设 ，连接 ，因为 为菱形，所以 9 分ODA O因为 平面 ，平面 平面 ，所以 11 分/F/所以 ， 是 的中点12 分CPP12.如图,在三棱柱 中,点 在平面 内的射影1B1ABC为棱 的中点,侧面 是边长为 2 的菱形,DA.C()证明: 平面 ;11BC()求三棱锥 的体积A
