1、2008 年考研数学一真题一、选择题（1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 ）(1)设函数 ,则 的零点个数为()=20(2+)()(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】B。【解析】且 ，则 是 唯一的()=2 (2+2) (2+2)0 =0 ()零点综上所述，本题正确答案是 B。【考点】高等数学一元函数积分学积分上限的函数及其导数(2)函数 在点 处的梯度等于(,)= (0,1)(A) (B)i (C) (D) 【答案】A。【解析】(,)=(,)i+(,)(,)= 11+()2= 2+2 , (,)= 21+()2= 2+
2、2所以 (,)|(0,1)=(0,1)i+(0,1)=1i+0=i综上所述，本题正确答案是 A。【考点】高等数学多元函数微分学方向导数和梯度(3)在下列微分方程中，以为通解的是=1+22+32(1,2,3为 任意常数 )(A) (B)+44=0 +4+4=0(C) (D)4+4=0 +44=0【答案】D。【解析】由通解表达式 =1+22+32可知其特征根为 1=1,2,3=2可见其对应特征方程为 (1)(2+4)=32+44=0故对应微分方程为 +44=0综上所述，本题正确答案是 D。【考点】高等数学常微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程(4)设函数 在 内单调有界， 为数列，下列命题
3、正()(,+) 确的是(A)若 收敛，则 收敛 ()(B)若 单调，则 收敛 ()(C)若 收敛，则 收敛() (D)若 单调，则 收敛() 【答案】B。【解析】【方法一】由于 单调， 单调有界，则数列 单调有界，根据单 () ()调有界准则知数列 收敛。()【方法二】排除法：若取 , ,则显然 单调，()=1,01,0 =(1) ()收敛，但 ，显然 不收敛，排除 ()=1， 为 偶数1,n为 奇数 ()A。若取 ,显然 收敛且单调，但 不收()=,= () 敛，排除 C 和 D。综上所述，本题正确答案是 B。【考点】高等数学函数、极限、连续函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，极限存在的两
4、个准则：单调有界准则和夹逼准则(5)设 为 阶非零矩阵， 为 阶单位矩阵，若 ,则 3=0(A) 不可逆， 不可逆 +(B) 不可逆， 可逆 +(C) 可逆， 可逆 +(D) 可逆， 不可逆 +【答案】C。【解析】因为 ()(+2)=3=(+)(+2)=+3=所以可知 可逆， 可逆 +综上所述，本题正确答案是 C。【考点】线性代数矩阵矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件(6)设 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(,)=1在正交变换下的标准方程的图形如右图所示，则 的正特征值的个数为(A) (B)10(C)2 (D)3【答案】B。【解析】所给图形为双叶双曲线，标准方程为222222=1
5、二次型正交变换化为标准形时，其平方项的系数就是 的特征值，可知 的正特征值的个数为 1综上所述，本题正确答案是 B。【考点】线性代数二次型次型的标准形和规范形(7)设随机变量 独立同分布，且 的分布函数为 ,则, ()的分布函数为=,(A) (B)2() ()()(C) (D)11()2 1()1(y)【答案】A。【解析】()=max(,)=,=()()=2()综上所述，本题正确答案是 A。【考点】概率论与数理统计多维随机变量及其分布随机变量的独立性和不相关性，两个及两个以上随机变量简单函数的分布(8)设随机变量 ,且相关系数 ,则(0,1),(1,4) =1(A) (B)=21=1 =21=
6、1(C) (D)=2+1=1 =2+1=1【答案】D。【解析】由相关系数的性质可知：如果 则必有|=1, =+=1可得 =+已知 ,所以 ,得(0,1),(1,4)1=0+ =1又1=(,)而 (,)=(,+)=(,)=所以 1=14,=2即 =2+1=1综上所述，本题正确答案是 D。【考点】概率论与数理统计随机变量的数字特征随机变量函数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质二、填空题（9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分。 ）(9)微分方程 满足条件 的解是 。+=0 (1)=1 =【答案】 。1【解析】分离变量 得 ,l 两边积分有=1ln|=ln|+ln|=1利用条件， ，解得
7、 (1)=1 =1综上所述，本题正确答案是 。1【考点】高等数学常微分方程变量可分离的微分方程(10)曲线 在点 处的切线方程是 。sin()+ln()= (0,1)【答案】 =+1【解析】先求曲线在点 处的斜率(0,1)等式 两端对 求导得sin()=ln()= cos()(+)+1=1在上式中，将 代入可得=0,=1, (0)=1所以曲线在该点处的切线方程为 即1=, =+1综上所述，本题正确答案是 。=+1【考点】高等数学一元函数微分学导数的几何意义和物理意义(11)已知幂级数 在 处收敛，在 处发散，=0(+2) =0 =4则幂级数 的收敛域为 。=0(-3)【答案】 。(1,5【解析
8、】由题设可知，幂级数 在 处收敛，在 处=0(+2) =0 =4发散,即 时，幂级数收敛。40,|+2|2对于幂级数 ，则收敛区间为=0(-3)|3|215又幂级数 在 处收敛，在 处发散，=0(+2) =0 =4所以对于幂级数 收敛域为 。=0(-3) (1,5综上所述，本题正确答案是 。(1,5【考点】高等数学无穷级数幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域(12)设曲面 是 的上侧，则 = 422。+2=【答案】 。4【解析】补曲面 ,取下侧，记1:2+24=0 =(,)|2+24则+2= +1+2- 1+2=+ 2=+202022=0+202203=4综上所述，本题正确答案是
9、。4【考点】高等数学多元函数积分学二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用，两类曲面积分的概念、性质及计算(13)设 为 2 阶矩阵， 为线性无关的 2 维列向量， ， 1,2 1=0，则 的非零特征值为 。2=21+2 【答案】1。【解析】【方法一】定义法：由1=0=01， (21+2)=21+2= 2=21+2可得矩阵 的特征值为 ，因此 的非零特征值为 。 1,0 1【方法二】矩阵相似：(1,2)=(0,21+2)=(1,2)0 20 1可知 ， 的特征值易得为 ，所以可得矩阵 的特0 20 1 0 20 1 1,0 征值为 ，因此 的非零特征值为 。1,0 1综上所述，本题正确答案是
10、 。1【考点】线性代数矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，相似变换、相似矩阵的概念及性质(14)设随机变量 服从参数为 1 的泊松分布，则 =(2)=。【答案】12【解析】由已知，有 ,所以=1 (2)=+()2=2所以 =(2)=2=12综上所述，本题正确答案是 。12【考点】概率论与数理统计随机变量的数字特征一维随机变量及函数的数字特征三、解答题： 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过1523程或演算步骤。(15)（本题满分 9 分）求极限lim0()4【解析】【方法一】（等价无穷小代换）lim0()4 =lim0()4（洛必达法则）=lim0cos()32
11、（ ）=13lim01()2 0=1(等价无穷小代换)=13lim01222=16【方法二】lim0()4（等价无穷小代换）=lim0()si4（变量代换 ）=limt03 =（洛必达法则）=limt0132（等价无穷小代换）=limt012232=16【方法三】lim0()4 =lim0()4 =lim0()3由泰勒公式 ,可得=33!+(3)n()= 33!+(3)则，上式 =lim0()3 =lim033!+(3)3=033!+(3)3 =16【方法四】lim0()4 =lim0()4 =lim0()3（拉格朗日中值定理）=lim0()3=lim03 =lim01-32 =16【方法五】
12、由于当 时, ,则0163 n()163所以lim0()4 =lim01634 =16【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学一元函数微分学微分中值定理，洛必达(LHospital)法则(16)（本题满分 9 分）计算曲线积分 ,其中 是曲线 上2+2(21) =从点 到点 的一段。(0,0)(,0)【解析】【方法一】2+2(21)=02+2(21)=022= 222|0+02=22+22|01202=22【方法二】添加 轴上从点 到点 的直线段 ， 为 与 围成的封 (,0) (0,0) 1 1闭区域，则2+2(21)= +12+2(21) 12
13、+2(21)=+02=4+0=00 4=022=0(12)=22【考点】高等数学多元函数积分学二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用，两类曲线积分的概念、性质及计算，格林(Green)公式(17)（本题满分 11 分）已知曲线 求曲线 距 面最远和最近的点。:2+222=0+3=5, 【解析】设 为曲线 上任意一点，则点 到 面的距离为 ，即(,) |原题化为求 在条件 下的最值点，2 2+222=0, +3=5构造拉格朗日函数(,)=2+2+(2+222)+( +35)解方程组=2+2+=0=2+2+=0=4+3=0=2+222=0= +35=0得 ，从而 = 22-22=02+3=5
14、得可能极值点： =1=1 =5=5有 |(1,1)=2+2=1,|(5,5)=2+2=5根据几何意义，曲线 上存在距 面最远和最近的点，故所求 点依次为 。(5,5,5),(1,1,1)【考点】高等数学多元函数微分学多元函数的极值和条件极值(18)（本题满分 10 分）设函数 连续，()(I)利用定义证明函数 可导，且 ；()=0() ()=()(II)当 是以 2 为周期的周期函数时，证明函数()也是以 2 为周期的周期函数。()=20()20()【解析】(I)对于任意的 ,由于函数 连续，所以x ()lim0(+)() =lim0+0 ()0() =lim0+ ()（积分中值定理）=lim
15、0()=lim0()其中 介于 和 之间。 +又 ,可知 可导，且lim0()=() ()=0() ()=()(II)【方法一】对于任意的 ，有(+2)=2+20 ()(+2)20()=2(+2)20()=2(020()()=20()20()=2()20()所以， (+2)()=0从而有 （常数）(+2)()=又 (0+2)(0)=(2)(0)=0则 ， ，即 也是以 2 为周期的周期=0 (+2)()=0 ()函数。【方法二】对于任意的 ，有(+2)=2+20 ()(+2)20()=220()+2+22 ()20()220()=2+22 ()20()+22 ()=0(+2) (=+2)=0(
16、)=0()则 (+2)=20()20()=()故 也是以 2 为周期的周期函数。()【方法三】对于任意的 ，有(+2)=2+20 ()(+2)20()=2x0()+2+2 ()20()220()由于 以 2 为周期，则() +2 ()=20()所以(+2)=2x0()- 20()=()故 也是以 2 为周期的周期函数。()【方法四】对于任意的 ，有(+2)=2+20 ()(+2)20()+20 ()=-2(+2)=t2=0-2()+0()则(+2)=20-2()+20()20()220()=()+20-2()220()= ()故 也是以 2 为周期的周期函数。()【考点】高等数学函数、极限、连
17、续函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性高等数学一元函数积分学积分上限的函数及其导数(19)（本题满分 11 分）将函数 展开成余弦级数，并求()=12(0)的和。=1(1)12【解析】因为 是偶函数，于是 ,对 有() =0(=1,2,)=1,2,=20()=2002=20102=22|0-02=420=42|0-0=42(1)=4(1)+120=20(12)=2(123)所以 ()=02+=1=123+=14(1)+12 令 ,=0(0)=123+=14(1)+12 =1故 =1(1)12 =212【考点】高等数学无穷级数函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数，函数在 上的正弦级数和
18、余弦级数0,l(20)（本题满分 10 分）设 为 3 维列向量，矩阵 ,其中 分别是, =+ ,的转置。证明：,(I)秩 ；()2(II)若 线性相关，则秩 。, ()2【解析】(I)因为 为 3 维列向量，所以 都是 3 阶矩阵，, ,且秩 ()1,()1那么 ()=(+)()+ ()2(II) 线性相关，则设, =于是， ()=(+)=(1+2)()12【考点】线性代数矩阵矩阵的秩(21)（本题满分 12 分）设 元线性方程组 ，其中 =2 1 2 2 1 2 21 2 2 1 2 2, =12,=100(I)证明行列式 ；|=(+1)(II)当 为何值时，该方程组有唯一解，并求 ； 1
19、(III)当 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。【解析】(I)数学归纳法：记 阶行列式 的值为 | =(+1)当 时 ,命题 正确；=1 1=2 =(+1)当 时， ,命题正确=2 2=|2 12 2|=32设 时，命题 正确 =(+1)当 时，按第一列展开，则有=2|2 1 2 2 1 2 2 12 2|1+2(1)2+1|1 0 2 2 1 2 2 12 2|1=2122=2(1)2(1)2=(+1)命题正确，所以 。|=(+1)(II)由克拉默法则， 方程组有唯一解，故 时方程组|0 0有唯一解，且用克拉默法则，有1=|1 1 0 2 1 0 2 21 0 2 21| =1(+1)
20、= (+1)(III)当 时，方程组为=00 1 0 1 1012=100由 ,方程组有无穷多解，其通解为()=()=1,其中 为任意常数。(0,1,0,0)+(1,0,0,0) (22)（本题满分 11 分）设二维随机变量 相互独立， 的概率密度为, ， 的概率为=13(=1,0,1)f ()=1, 010, 其他 记 。=+() 求 ；12|=0() 求 概率密度 。 f()【解析】() 12=0=0,12=0=0,12=0=12=12() ()=+=+,=1+,=0+,=1=+1,=1+,=0+1,=1=+1=1+=0+1=1=13(+1+1)=13(+1)+()+(1)所以 f()=(
21、)=13(+1)+()+(1)=13,120, 其他 【考点】概率论与数理统计多维随机变量的分布二维随机变量函数的分布(23)（本题满分 11 分）设 为来自 的简单随机样本，记1,2, (,2)=1=1,2= 11=1()2,=212（）证明 是 的无偏估计量； 2（）当 时，求 。=0, =1 【解析】() 因为 ET=(212)=(2)(12)=()2+()1(2)=22+2=2所以 是 的无偏估计量。 2（）当 时， ， ，=0, =1 (0,1)()22(1)，从而 ，D(1)22(1) ()2=2 (1)2=2(1)所以 =(212)=(2)+(1)2(2)=12( )2+12 1(1)2(1)2=122+12 1(1)22(1)= 2(1)【考点】概率论与数理统计数理统计的基本概念统计量的数字特征
